De grafiek van de functie \(f(x) = 11 x - 8 - \begin{vmatrix}x^{2} - 3 x - 40\end{vmatrix}\) heeft knikpunten \(A\) en \(B\) en top \(T \text{.}\) Zie de figuur.
4p
a
Bereken exact de coördinaten van \(A \text{,}\) \(B\) en \(T \text{.}\)
2p
b
Bereken exact voor welke \(p\) de vergelijking \(f(x) = p\) vier oplossingen heeft.
5p
c
Bereken exact de nulpunten van \(f \text{.}\)
a
[Knikken bij]
\(x^{2} - 3 x - 40 = 0\)
\((x + 5) (x - 8) = 0\)
\(x = -5 ∨ x = 8\)
1p
○
\(f(-5) = -63\) en \(f(8) = 80\) dus \(A (-5 , -63)\) en \(B (8 , 80)\)
1p
○
Top voor \(-5 < x < 8\) en daar is \(\begin{vmatrix}x^{2} - 3 x - 40\end{vmatrix} = -x^{2} + 3 x + 40 \text{,}\) dus daar geldt
\(f(x) = 11 x - 8 - (-x^{2} + 3 x + 40) = x^{2} + 8 x - 48\)
1p
○
\(x_{T} = {-8 \over 2 ⋅ 1} = -4\) en \(y_{T} = f(-4) = -64 \text{,}\) dus \(T (-4 , -64) \text{.}\)
1p
b
De vergelijking \(f(x) = p\) heeft vier oplossingen als de lijn \(y = p\) tussen \(A\) en \(T\) ligt.
1p
○
Dus \(-64 < p < -63\) (want \(y_{T} = -64\) en \(y_{A} = -63 \text{).}\)
1p
c
Tussen \(A\) en \(B\) geldt \(-5 < x < 8\) en \(f(x) = x^{2} + 8 x - 48 \text{,}\) dus \(f(x) = 0\) geeft daar
\(x^{2} + 8 x - 48 = 0\)
\((x + 12) (x - 4) = 0\)
\(x = -12 ∨ x = 4\)
1p
○
\(-5 < x < 8 \text{,}\) dus \(x = -12\) voldoet niet
1p
○
Rechts van \(B\) geldt \(x > 8 \text{,}\) dus \(\begin{vmatrix}x^{2} - 3 x - 40\end{vmatrix} = x^{2} - 3 x - 40\) en
\(f(x) = 11 x - 8 - (x^{2} - 3 x - 40) = -x^{2} + 14 x + 32\)
1p
○
\(f(x) = 0\) geeft daar
\(-x^{2} + 14 x + 32 = 0\)
\(x^{2} - 14 x - 32 = 0\)
\((x + 2) (x - 16) = 0\)
\(x = -2 ∨ x = 16\)
1p
○
\(x > 8 \text{,}\) dus \(x = -2\) voldoet niet.
De nulpunten van \(f\) zijn dus \(4\) en \(16 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de functies \(f(x) = 3 x - 2 + \begin{vmatrix}2 - 4 x\end{vmatrix}\) en \(g(x) = 3 x + 4 \text{.}\)
De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{.}\)
2p
a
Bereken exact de coördinaten van het knikpunt van de grafiek van \(f \text{.}\)
4p
b
Bereken exact de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\)
a
Knik als \(2 - 4 x = 0 \text{,}\) dus als \(x = \frac{1}{2} \text{.}\)
1p
○
\(f(\frac{1}{2}) = 3 ⋅ \frac{1}{2} - 2 + 0 = -\frac{1}{2} \text{,}\) dus het knikpunt is \((\frac{1}{2} , -\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
b
Voor \(x < \frac{1}{2}\) geldt \(2 - 4 x > 0 \text{,}\) dus
\(\begin{vmatrix}2 - 4 x\end{vmatrix} = \begin{cases}(2 - 4 x) \text{ als } x < \frac{1}{2} \\ -(2 - 4 x) = (-2 + 4 x) \text{ als } x ≥ \frac{1}{2}\end{cases}\)
1p
○
\(f(x) = \begin{cases}3 x - 2 + (2 - 4 x) = -x \text{ als } x < \frac{1}{2} \\ 3 x - 2 + (-2 + 4 x) = 7 x - 4 \text{ als } x ≥ \frac{1}{2}\end{cases}\)
1p
○
[punt \(A \text{]}\)
\(-x = 3 x + 4\)
\(-4 x = 4\)
\(x = -1\)
\(g(-1) = 1 \text{,}\) dus \(A (-1 , 1) \text{.}\)
1p
○
[punt \(B \text{]}\)
\(7 x - 4 = 3 x + 4\)
\(4 x = 8\)
\(x = 2\)
\(g(2) = 10 \text{,}\) dus \(B (2 , 10) \text{.}\)
1p