Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 5)^{2} + (y - 2)^{2} = 15\) en de lijn \(l{:}\,2 x + y = 2 \text{.}\)
6p
Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\)
○
\(M (-5 , 2)\) en \(r = \sqrt{15} \text{.}\)
1p
○
De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,x - 2 y = c \\ M (-5 , 2)\end{rcases} c = 1 ⋅ -5 - 2 ⋅ 2 = -9\)
Dus \(n{:}\,x - 2 y = -9 \text{.}\)
1p
○
\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}2 x + y = 2 \\ x - 2 y = -9\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x + y = 2 \\ 2 x - 4 y = -18\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(5 y = 20\) dus \(y = 4 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}2 x + y = 2 \\ y = 4\end{rcases} \begin{matrix}2 x + 1 ⋅ 4 = 2 \\ x = -1\end{matrix}\)
Dus \(S (-1 , 4) \text{.}\)
1p
○
\(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(-5 - -1)^{2} + (2 - 4)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\)
1p
○
\(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{20}-\sqrt{15} = -\sqrt{15}+2 \sqrt{5} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 4 y - 2 = 0\) en het punt \(A (-2 , -4) \text{.}\)
3p
Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + (y + 2)^{2} = 6\)
Dus \(M (0 , -2)\) en \(r = \sqrt{6} \text{.}\)
1p
○
\(d(M , A) = \sqrt{(0 - -2)^{2} + (-2 - -4)^{2}} = \sqrt{8} \text{.}\)
1p
○
Er geldt \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(d(c , A) = d(M , A) - r = \sqrt{8} - \sqrt{6} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn het punt \(A (3 , 2)\) en de lijn \(l{:}\,x + 2 y = -3 \text{.}\)
4p
Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\)
○
De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,2 x - y = c \\ A (3 , 2)\end{rcases} c = 2 ⋅ 3 - 1 ⋅ 2 = 4\)
Dus \(n{:}\,2 x - y = 4 \text{.}\)
1p
○
\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}x + 2 y = -3 \\ 2 x - y = 4\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x + 4 y = -6 \\ 2 x - y = 4\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(5 y = -10\) dus \(y = -2 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}x + 2 y = -3 \\ y = -2\end{rcases} \begin{matrix}x + 2 ⋅ -2 = -3 \\ x = 1\end{matrix}\)
Dus \(S (1 , -2) \text{.}\)
1p
○
\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(3 - 1)^{2} + (2 - -2)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn het punt \(A (-7 , 3)\) en de lijn \(l{:}\,6 x + 5 y = 9 \text{.}\)
1p
Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\)
○
\(d(A , l) = \frac{\vert 6 \cdot -7+15-9 \vert}{\sqrt{6^{2}+5^{2}}} = \frac{36}{\sqrt{61}} = {36 \over 61} \sqrt{61}\)
1p
Hieronder zijn de cirkel \(c \text{: } (x - 3)^{2} + (y + 14)^{2} = 38 \text{,}\) de lijn \(l{:}\,x - 2 y = -3\) en het punt \(A (-1 , -4)\) getekend.
8p
Bepaal op algebraïsche wijze of \(A\) dichter bij \(c\) of dichter bij \(l\) ligt.
○
\(M (3 , -14)\) en \(r = \sqrt{38} \text{.}\)
1p
○
\(d(A , M) = \sqrt{(-1 - 3)^{2} + (-4 - -14)^{2}} = \sqrt{116}\)
1p
○
\(d(A , c) = d(A , M) - r = \sqrt{116} - \sqrt{38} = 4{,}605...\)
1p
○
(lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{)}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - y = c \\ A (-1 , -4)\end{rcases} c = -2 ⋅ -1 - 1 ⋅ -4 = 6\)
1p
○
(\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{)}\)
\(\begin{cases}x - 2 y = -3 \\ -2 x - y = 6\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x - 4 y = -6 \\ -2 x - y = 6\end{cases}\)
Optellen geeft \(-5 y = 0\) dus \(y = 0 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}x - 2 y = -3 \\ y = 0\end{rcases} \begin{matrix}x - 2 ⋅ 0 = -3 \\ x = -3\end{matrix}\)
Dus \(S (-3 , 0) \text{.}\)
1p
○
\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-1 - -3)^{2} + (-4 - 0)^{2}} = \sqrt{20} = 4{,}472...\)
1p
○
\(d(A , c) > d(A , l) \text{,}\) dus \(A\) ligt dichter bij \(l\) dan bij \(c \text{.}\)
1p
Hieronder zijn de cirkel \(c \text{: } x^{2} + y^{2} - 22 x + 22 y + 188 = 0 \text{,}\) de lijn \(l{:}\,2 x - 3 y = 4\) en het punt \(A (4 , -3)\) getekend.
9p
Bepaal op algebraïsche wijze of \(A\) dichter bij \(c\) of dichter bij \(l\) ligt.
○
\(x^{2} + y^{2} - 22 x + 22 y + 188 = 0\)
\((x - 11)^{2} - 121 + (y + 11)^{2} - 121 + 188 = 0\)
\((x - 11)^{2} + (y + 11)^{2} = 54\)
1p
○
\(M (11 , -11)\) en \(r = \sqrt{54} \text{.}\)
1p
○
\(d(A , M) = \sqrt{(4 - 11)^{2} + (-3 - -11)^{2}} = \sqrt{113}\)
1p
○
\(d(A , c) = d(A , M) - r = \sqrt{113} - \sqrt{54} = 3{,}281...\)
1p
○
(lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{)}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-3 x - 2 y = c \\ A (4 , -3)\end{rcases} c = -3 ⋅ 4 - 2 ⋅ -3 = -6\)
1p
○
(\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{)}\)
\(\begin{cases}2 x - 3 y = 4 \\ -3 x - 2 y = -6\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}6 x - 9 y = 12 \\ -6 x - 4 y = -12\end{cases}\)
Optellen geeft \(-13 y = 0\) dus \(y = 0 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}2 x - 3 y = 4 \\ y = 0\end{rcases} \begin{matrix}2 x - 3 ⋅ 0 = 4 \\ x = 2\end{matrix}\)
Dus \(S (2 , 0) \text{.}\)
1p
○
\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(4 - 2)^{2} + (-3 - 0)^{2}} = \sqrt{13} = 3{,}605...\)
1p
○
\(d(A , c) < d(A , l) \text{,}\) dus \(A\) ligt dichter bij \(c\) dan bij \(l \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x - 16 y + 83 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x + 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 10 \text{.}\)
3p
Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 5)^{2} + (y - 8)^{2} = 6\)
Dus \(M_{1} (5 , 8)\) en \(r_{1} = \sqrt{6} \text{.}\)
1p
○
Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (-2 , 2) \text{,}\) dus
\(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(5 - -2)^{2} + (8 - 2)^{2}} = \sqrt{85} \text{.}\)
1p
○
Er geldt \(r_{2} = \sqrt{10} \text{,}\) dus
\(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{85}-\sqrt{6}-\sqrt{10} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (-4 , -3)\) en \(B (-2 , -4) \text{.}\)
1p
Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\)
○
\(d(A , B) = \sqrt{(-4 - -2)^{2} + (-3 - -4)^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 5\) en het punt \(A (5 , -3) \text{.}\)
3p
Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt.
○
\(M (3 , -2)\) en \(r = \sqrt{5} \text{.}\)
1p
○
\(d(M , A) = \sqrt{(5 - 3)^{2} + (-3 - -2)^{2}} = \sqrt{5} \text{.}\)
1p
○
\(d(M , A) = r \text{,}\) dus \(A\) ligt op \(c \text{.}\)
1p
Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met de hoekpunten \(A (0 , 4) \text{,}\) \(B (-8 , 1)\) en \(C (3 , 2) \text{.}\)
6p
Bereken exact de oppervlakte van \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C \text{.}\)
○
\(d(A , B) = \sqrt{(-8-0)^{2}+(1-4)^{2}} = \sqrt{73}\)
1p
○
Lijn \(l\) door \(A\) en \(B\) heeft \(\text{rc}_{l} = {\Delta y \over \Delta x} = {1 - 4 \over -8 - 0} = \frac{3}{8}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = \frac{3}{8} x + b \\ \text{door } A (0 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{3}{8} ⋅ 0 + b = 4 \\ 0 + b = 4 \\ b = 4\end{matrix}\)
1p
○
\(y = {3 \over 8} x+4\) geeft \({3 \over 8} x-y+4 = 0\) oftewel \(3 x-8 y+32 = 0\)
1p
○
\(d(l , C) = \frac{\vert 3 \cdot 3-8 \cdot 2+32 \vert}{\sqrt{3^{2}+(-8)^{2}}} = \frac{25}{\sqrt{73}}\)
1p
○
\(O(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C) = {1 \over 2} \sqrt{73} \cdot \frac{25}{\sqrt{73}} = 12\frac{1}{2} \text{.}\)
1p
Gegeven is de lijn \(l{:}\,12 x - 5 y = -1 \text{.}\)
4p
Bereken exact de coördinaten van de punten \(P\) op de \(y \text{-}\)as die op afstand \(4\) van \(l\) liggen.
○
\(P (0 , p)\) is een punt op de \(y \text{-}\)as.
\(d(P , l) = \frac{\vert 12 \cdot 0-5 p+1 \vert}{12^{2}+(-5)^{2}} = {\vert -5 p+1 \vert \over 13}\)
1p
○
\(d(P , l) = 4\) geeft
\({\vert -5 p+1 \vert \over 13} = 4\)
\(\vert -5 p+1 \vert = 52\)
1p
○
\(-5 p + 1 = 52 ∨ -5 p + 1 = -52\)
\(-5 p = 51 ∨ -5 p = -53\)
\(p = -10\frac{1}{5} ∨ p = 10\frac{3}{5}\)
1p
○
Dus \(P_{1} (0 , -10\frac{1}{5})\) en \(P_{2} (0 , 10\frac{3}{5}) \text{.}\)
1p