Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x - 2 y + 4 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = -1\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
2p
Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B \text{.}\)
○
\(x = -1\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\((-1)^{2} + y^{2} + 8 ⋅ -1 - 2 y + 4 = 0 \text{.}\)
1p
○
De vergelijking oplossen geeft
\(y^{2} - 2 y - 3 = 0\)
\((y + 1) (y - 3) = 0\)
\(y = -1 ∨ y = 3\)
\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (-1 , 3)\) en \(B (-1 , -1) \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 6 = 0 \text{.}\)
2p
Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y - 6 = 0\)
\((x - 3)^{2} - 9 + (y + 1)^{2} - 1 - 6 = 0\)
\((x - 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 16 \text{.}\)
1p
○
Dus \(M (3 , -1)\) en \(r = \sqrt{16} = 4 \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 x - 3 y + 9 = 0 \text{.}\)
2p
Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 10 x - 3 y + 9 = 0\)
\((x + 5)^{2} - 25 + (y - 1\frac{1}{2})^{2} - 2\frac{1}{4} + 9 = 0\)
\((x + 5)^{2} + (y - 1\frac{1}{2})^{2} = 18\frac{1}{4} \text{.}\)
1p
○
Dus \(M (-5 , 1\frac{1}{2})\) en \(r = \sqrt{18\frac{1}{4}} \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 4 x - 32 = 0 \text{.}\)
2p
Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 4 x - 32 = 0\)
\((x + 2)^{2} - 4 + y^{2} - 32 = 0\)
\((x + 2)^{2} + y^{2} = 36 \text{.}\)
1p
○
Dus \(M (-2 , 0)\) en \(r = \sqrt{36} = 6 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (-6 , -1)\) en \(B (0 , -2) \text{.}\)
3p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)
○
Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus
\(M ({1 \over 2} (-6 + 0) , {1 \over 2} (-1 + -2)) = M (-3 , -1\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
○
\(r = d(M , A) = \sqrt{(-3 - -6)^{2} + (-1\frac{1}{2} - -1)^{2}} = \sqrt{9\frac{1}{4}} \text{.}\)
1p
○
\(c{:}\,(x + 3)^{2} + (y + 1\frac{1}{2})^{2} = 9\frac{1}{4} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(M (2 , 1)\) en \(A (4 , 0) \text{.}\)
2p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.
○
\(r = d(M , A) = \sqrt{(2 - 4)^{2} + (1 - 0)^{2}} = \sqrt{5} \text{.}\)
1p
○
\(c{:}\,(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 5 \text{.}\)
1p
Gegeven is het punt \(M (-2 , -1) \text{.}\)
1p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7 \text{.}\)
○
\(c{:}\,(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 49 \text{.}\)
1p
Gegeven is het punt \(M (0 , 7) \text{.}\)
1p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(5 \text{.}\)
○
\(c{:}\,x^{2} + (y - 7)^{2} = 25 \text{.}\)
1p
Gegeven is het punt \(M (6 , 3) \text{.}\)
2p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4 \text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 \text{.}\)
○
\(c{:}\,(x - 6)^{2} + (y - 3)^{2} = 16 \text{.}\)
1p
○
Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} - 12 x + 36 + y^{2} - 6 y + 9 = 16\)
en dus
\(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 12 x - 6 y + 29 = 0 \text{.}\)
1p
Er zijn twee cirkels \(c_{1}\) en \(c_{2}\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y = 2 x + 1\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(y \text{-}\)as raken.
4p
Stel van zowel \(c_{1}\) als \(c_{2}\) een vergelijking op.
○
De cirkels raken de \(y \text{-}\)as en hebben straal \(5 \text{,}\) dus \(x_{M} = 5\) of \(x_{M} = -5 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 2 x + 1 \\ x_{M} = 5\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 2 ⋅ 5 + 1 = 11\)
1p
○
Middelpunt \(M_{1} (5 , 11)\) en straal \(r = 5 \text{,}\) dus
\(c_{1}{:}\,(x - 5)^{2} + (y - 11)^{2} = 25\)
1p
○
Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y = 2 x + 1 \\ x_{M} = -5\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 2 ⋅ -5 + 1 = -9\)
Middelpunt \(M_{2} (-5 , -9)\) en straal \(r = 5 \text{,}\) dus
\(c_{2}{:}\,(x + 5)^{2} + (y + 9)^{2} = 25\)
1p
Gegeven is het punt \(M (3 , -6) \text{.}\)
2p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x \text{-}\)as.
○
Cirkel \(c\) raakt aan de \(x \text{-}\)as, dus \(r = d(M , x \text{-as}) = 6 \text{.}\)
1p
○
\(c{:}\,(x - 3)^{2} + (y + 6)^{2} = 36 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn het punt \(A (5 , 4)\) en de lijn \(l{:}\,x + 2 y = -2 \text{.}\)
5p
Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A (5 , 4)\) die de lijn \(l{:}\,x + 2 y = -2\) raakt.
○
De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,2 x - y = c \\ A (5 , 4)\end{rcases} c = 2 ⋅ 5 - 1 ⋅ 4 = 6\)
Dus \(n{:}\,2 x - y = 6 \text{.}\)
1p
○
\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}x + 2 y = -2 \\ 2 x - y = 6\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x + 4 y = -4 \\ 2 x - y = 6\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(5 y = -10\) dus \(y = -2 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}x + 2 y = -2 \\ y = -2\end{rcases} \begin{matrix}x + 2 ⋅ -2 = -2 \\ x = 2\end{matrix}\)
Dus \(S (2 , -2) \text{.}\)
1p
○
\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(5 - 2)^{2} + (4 - -2)^{2}} = \sqrt{45} \text{.}\)
1p
○
\(A (5 , 4)\) en \(r = d(A , l) = \sqrt{45} \text{,}\) dus
\(c{:}\,(x - 5)^{2} + (y - 4)^{2} = 45 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,3 x + y = 4\) en de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x - 6 y - 2 = 0 \text{.}\)
4p
Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van \(l\) en \(c \text{.}\)
○
Omschrijven van \(l\) geeft \(y = -3 x + 4 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 6 x - 6 y - 2 = 0\) geeft
\(x^{2} + (-3 x + 4)^{2} + 6 x - 6 (-3 x + 4) - 2 = 0 \text{.}\)
1p
○
Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} + 9 x^{2} - 24 x + 16 + 6 x + 18 x - 24 - 2 = 0\)
\(10 x^{2} - 10 = 0 \text{.}\)
1p
○
Oplossen van de vergelijking geeft
\(x^{2} - 1 = 0\)
\((x + 1) (x - 1) = 0\)
Dus \(x = -1 ∨ x = 1 \text{.}\)
1p
○
Invullen van \(x = -1\) in \(y = -3 x + 4\) geeft \(y = 7 \text{,}\) dus snijpunt \((-1 , 7) \text{.}\)
Invullen van \(x = 1\) geeft \(y = 1 \text{,}\) dus snijpunt \((1 , 1) \text{.}\)
1p