Gegeven is de functie \(f(x) = x^{5} - 3\frac{1}{3} x^{3} - 15 x \text{.}\)
4p
Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{3} \text{.}\)
○
\(f'(x) = 5 x^{4} - 10 x^{2} - 15\)
1p
○
\(f'(\sqrt{3}) = 5 (\sqrt{3})^{4} - 10 (\sqrt{3})^{2} - 15 = 0\)
1p
○
Schets:
1p
○
\(f'(\sqrt{3}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{3} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{3} \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = -2 x^{3} - 15 x^{2} - 36 x - 26 \text{.}\)
4p
Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
\(f'(x) = -6 x^{2} - 30 x - 36\)
1p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(-6 x^{2} - 30 x - 36 = 0\)
\(x^{2} + 5 x + 6 = 0\)
\((x + 3) (x + 2) = 0\)
\(x = -3 ∨ x = -2\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(-3) = 1\) en max. is \(f(-2) = 2 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x^{4} + 8 x^{3} - 18 x^{2} + 13 \text{.}\)
4p
Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
\(f'(x) = 12 x^{3} + 24 x^{2} - 36 x\)
1p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(12 x^{3} + 24 x^{2} - 36 x = 0\)
\(x^{3} + 2 x^{2} - 3 x = 0\)
\(x (x + 3) (x - 1) = 0\)
\(x = 0 ∨ x = -3 ∨ x = 1\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(-3) = -122 \text{,}\) max. is \(f(0) = 13\) en min. is \(f(1) = 6 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{4} x - \sqrt{5 x - 5} \text{.}\)
6p
a
Bereken exact de top van \(f \text{.}\)
2p
b
Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\)
a
\(f(x) = \frac{1}{4} x - \sqrt{5 x - 5} = \frac{1}{4} x - (5 x - 5)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} ⋅ (5 x - 5)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 5 = \frac{1}{4} - {5 \over 2 \sqrt{5 x - 5}} \text{.}\)
2p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{1}{4} - {5 \over 2 \sqrt{5 x - 5}} = 0\)
\(-{5 \over 2 \sqrt{5 x - 5}} = -\frac{1}{4}\)
Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2 \sqrt{5 x - 5} = 20\)
\(\sqrt{5 x - 5} = 10\)
1p
○
Kwadrateren geeft
\(5 x - 5 = 100\)
\(x = 21\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(21) = -4\frac{3}{4} \text{.}\)
1p
b
\(5 x - 5 ≥ 0\) geeft \(x ≥ 1 \text{,}\) dus \(D_{f} = [1 , \rightarrow ⟩ \text{.}\)
1p
○
min. is \(f(21) = -4\frac{3}{4} \text{,}\) dus \(B_{f} = [-4\frac{3}{4} , \rightarrow ⟩ \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = {3 x^{2} + 12 \over 4 x} \text{.}\)
5p
Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
Uitdelen geeft
\(f(x) = {3 x^{2} + 12 \over 4 x} = {3 x^{2} \over 4 x} + {12 \over 4 x} = \frac{3}{4} x + 3 x^{-1}\)
De afgeleide is dan
\(f'(x) = \frac{3}{4} + 3 ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{3}{4} - {3 \over x^{2}} \text{.}\)
2p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{3}{4} - {3 \over x^{2}} = 0\)
\(\frac{3}{4} = {3 \over x^{2}}\)
Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(3 x^{2} = 12\)
\(x^{2} = 4\)
\(x = \sqrt{4} = 2 ∨ x = -\sqrt{4} = -2\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(-2) = -3\) en max. is \(f(2) = 3 \text{.}\)
1p