Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = x^{2} + p x + 6 \text{.}\)
3p
a
Bereken exact voor welke \(p\) het minimum van \(f_{p}\) negatief is.
3p
b
Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken van de functies \(f_{p}\) liggen.
a
Voor elke \(p\) is de grafiek van \(f_{p}\) een dalparabool, dus \(D > 0\) (want voor een negatief minimum moet een dalparabool twee snijpunten hebben met de \(x \text{-}\)as).
1p
○
\(D = p^{2} - 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = p^{2} - 24\)
1p
○
(\(D > 0\) geeft)
\(p^{2} - 24 > 0\)
\(p^{2} > 24\)
\(p < -2 \sqrt{6} ∨ p > 2 \sqrt{6}\)
1p
b
\(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ 1} = {-p \over 2}\)
1p
○
Hieruit volgt \(p = -2 x\)
1p
○
(Substitutie van \(p = -2 x\) in \(y = x^{2} + p x + 6\) geeft)
\(y = x^{2} - 2 x ⋅ x + 6\)
\(y = x^{2} - 2 x^{2} + 6\)
\(y = -x^{2} + 6\)
1p
Voor elke waarde van \(p ≠ 0\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = p x^{2} - 7 x + 4 \text{.}\)
3p
a
Bereken exact voor welke \(p\) de grafiek van \(f_{p}\) geen snijpunten met de \(x \text{-}\)as heeft.
3p
b
Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken van de functies \(f_{p}\) liggen.
a
Geen snijpunten met de \(x \text{-}\)as betekent \(D < 0 \text{.}\)
1p
○
\(D = (-7)^{2} - 4 ⋅ p ⋅ 4 = 49 - 16 p\)
1p
○
(\(D < 0\) geeft)
\(49 - 16 p < 0\)
\(-16 p < -49\)
\(p > 3\frac{1}{16}\)
1p
b
\(x_{\text{top}} = {7 \over 2 p}\)
1p
○
Hieruit volgt \(p = {7 \over 2 x}\)
1p
○
(Substitutie van \(p = {7 \over 2 x}\) in \(y = p x^{2} - 7 x + 4\) geeft)
\(y = {7 \over 2 x} ⋅ x^{2} - 7 x + 4\)
\(y = 3\frac{1}{2} x - 7 x + 4\)
\(y = -3\frac{1}{2} x + 4\)
1p
Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = \frac{1}{4} x^{2} + p x + 1 \text{.}\)
3p
Bereken exact voor welke \(p\) het minimum \(-15\) is.
○
\(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ \frac{1}{4}} = -2 p\)
1p
○
\(y_{\text{top}} = f_{p} (-2 p)\)
\(\text{} = \frac{1}{4} ⋅ (-2 p)^{2} + p ⋅ -2 p + 1\)
\(\text{} = \frac{1}{4} ⋅ 4 p^{2} - 2 p^{2} + 1\)
\(\text{} = -p^{2} + 1\)
1p
○
(Het minimum is \(-15\) geeft)
\(-p^{2} + 1 = -15\)
\(-p^{2} = -16\)
\(p^{2} = 16\)
\(p = 4 ∨ p = -4\)
1p
Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = 2 x^{2} + p x + 5 \text{.}\)
4p
Bereken exact voor welke \(p\) de top van de grafiek van \(f_{p}\) op de lijn \(y = x + 2\) ligt.
○
\(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ 2} = -\frac{1}{4} p\)
1p
○
\(y_{\text{top}} = f_{p} (-\frac{1}{4} p)\)
\(\text{} = 2 ⋅ (-\frac{1}{4} p)^{2} + p ⋅ -\frac{1}{4} p + 5\)
\(\text{} = 2 ⋅ \frac{1}{16} p^{2} - \frac{1}{4} p^{2} + 5\)
\(\text{} = -\frac{1}{8} p^{2} + 5\)
1p
○
\(\begin{rcases}(-\frac{1}{4} p , -\frac{1}{8} p^{2} + 5) \\ y = x + 2\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{1}{8} p^{2} + 5 = -\frac{1}{4} p + 2\end{matrix}\)
1p
○
\(-\frac{1}{8} p^{2} + \frac{1}{4} p + 3 = 0\)
\(p^{2} - 2 p - 24 = 0\)
\((p + 4) (p - 6) = 0\)
\(p = -4 ∨ p = 6\)
1p
Van de functie \(f_{p} (x) = p x^{2} - 2 x + 5\) is de extreme waarde \(1 \text{.}\)
3p
a
Bereken exact de waarde van \(p \text{.}\)
1p
b
Is de extreme waarde een maximum of een minimum? Licht toe.
a
\(x_{\text{top}} = {2 \over 2 ⋅ p} = {1 \over p}\)
1p
○
\(y_{\text{top}} = f_{p} ({1 \over p})\)
\(\text{} = p ⋅ ({1 \over p})^{2} - 2 ⋅ {1 \over p} + 5\)
\(\text{} = p ⋅ {1 \over p^{2}} - {2 \over p} + 5\)
\(\text{} = {1 \over p} - {2 \over p} + 5\)
\(\text{} = -{1 \over p} + 5\)
1p
○
(De extreme waarde is \(1\) geeft)
\(-{1 \over p} + 5 = 1\)
\(-{1 \over p} = -4\)
\(p = {-1 \over -4} = \frac{1}{4}\)
1p
b
\(f_{\frac{1}{4}} (x) = \frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 5\)
De grafiek is een dalparabool, dus de extreme waarde is een minimum.
1p
Bereken exact voor welke \(p\) de vergelijking
4p
\(-x^{2} - 5 x + p = 2\) geen oplossingen heeft.
○
Geen oplossingen betekent \(D < 0 \text{.}\)
1p
○
\(-x^{2} - 5 x + p = 2\)
\(-x^{2} - 5 x + p - 2 = 0\)
\(D = (-5)^{2} - 4 ⋅ -1 ⋅ (p - 2)\)
1p
○
\(D = 25 + 4 (p - 2)\)
\(\text{} = 25 + 4 p - 8\)
\(\text{} = 4 p + 17\)
1p
○
(\(D < 0\) geeft)
\(4 p + 17 < 0\)
\(4 p < -17\)
\(p < -4\frac{1}{4}\)
1p
Bereken exact voor welke \(p\) de vergelijking
3p
\(-x^{2} + p x - 5 = 3\) één oplossing heeft.
○
Één oplossing betekent \(D = 0 \text{.}\)
1p
○
\(-x^{2} + p x - 5 = 3\)
\(-x^{2} + p x - 8 = 0\)
\(D = p^{2} - 4 ⋅ -1 ⋅ -8 = p^{2} - 32\)
1p
○
(\(D = 0\) geeft)
\(p^{2} - 32 = 0\)
\(p^{2} = 32\)
\(p = -4 \sqrt{2} ∨ p = 4 \sqrt{2}\)
1p
Bereken exact voor welke \(p\) de vergelijking
4p
\(p x^{2} - 6 x - 3 = -2\) geen oplossingen heeft.
○
Als \(p ≠ 0\) dan heeft de vergelijking geen oplossingen als \(D < 0 \text{.}\)
1p
○
\(p x^{2} - 6 x - 3 = -2\)
\(p x^{2} - 6 x - 1 = 0\)
\(D = (-6)^{2} - 4 ⋅ p ⋅ -3 = 36 + 12 p\)
1p
○
(\(D < 0\) geeft)
\(36 + 12 p < 0\)
\(12 p < -36\)
\(p < -3\)
1p
○
Als \(p = 0\) dan geeft wordt de vergelijking \(-6 x - 3 = 0\) en deze heeft één oplossing.
Dus geen oplossingen voor \(p < -3\)
1p