4p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.
○
Rasterpunten \((2 , 10\,000)\) en \((8 , 700)\) aflezen.
1p
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({700 \over 10\,000})^{{1 \over 8 - 2}} = 0{,}641...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}641...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 10\,000{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}641...^{2} = 10\,000{,}00 \\ b = {10\,000{,}00 \over 0{,}641...^{2}} \\ b = 24264{,}275...\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 24\,264 ⋅ 0{,}642^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
\(y\) | \(28{,}25\) | \(22{,}88\) | \(18{,}53\) | \(15{,}01\) | \(12{,}16\) |
3p
a
Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\({22{,}88 \over 28{,}25} ≈ 0{,}81\)
1p
○
\({18{,}53 \over 22{,}88} ≈ 0{,}81\)
\({15{,}01 \over 18{,}53} ≈ 0{,}81\)
\({12{,}16 \over 15{,}01} ≈ 0{,}81\)
1p
○
De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}81\)
1p
○
\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 28{,}25 \text{.}\)
1p
○
Dus \(y = 28{,}25 ⋅ 0{,}81^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(2\,009\) | \(2\,013\) | \(2\,014\) | \(2\,020\) | \(2\,025\) |
\(y\) | \(13{,}96\) | \(19{,}71\) | \(21{,}48\) | \(36{,}02\) | \(55{,}43\) |
3p
a
Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,007 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\(g = ({19{,}71 \over 13{,}96})^{{1 \over 2\,013 - 2\,009}} ≈ 1{,}09\)
1p
○
\(g = ({21{,}48 \over 19{,}71})^{{1 \over 2\,014 - 2\,013}} ≈ 1{,}09\)
\(g = ({36{,}02 \over 21{,}48})^{{1 \over 2\,020 - 2\,014}} ≈ 1{,}09\)
\(g = ({55{,}43 \over 36{,}02})^{{1 \over 2\,025 - 2\,020}} ≈ 1{,}09\)
1p
○
De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}09\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}09^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 13{,}96\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}09^{2} = 13{,}96 \\ b = {13{,}96 \over 1{,}09^{2}} \\ b ≈ 11{,}75\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = 11{,}75 ⋅ 1{,}09^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(4{,}2\%\) per uur. Op \(x = 0\) is \(y = 282 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in uur.
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{uur}} = 1 - {4{,}2 \over 100} = 0{,}958 \text{.}\)
1p
○
De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 282 \text{.}\)
1p
○
\(y = 282 ⋅ 0{,}958^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 2\) is \(y = 492\) en bij \(x = 5\) is \(y = 446 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({446 \over 492})^{{1 \over 5 - 2}} = 0{,}967...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}967...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 492\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}967...^{2} = 492 \\ b = {492 \over 0{,}967...^{2}} ≈ 525\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 525 ⋅ 0{,}968^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 535\) en bij \(x = 7\) is \(y = 648 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({648 \over 535})^{{1 \over 7 - 3}} = 1{,}049...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}049...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 535\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}049...^{3} = 535 \\ b = {535 \over 1{,}049...^{3}} ≈ 463\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 463 ⋅ 1{,}049^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \((2 , 9)\) en \((6 , 4) \text{.}\)
3p
a
Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten.
3p
b
Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten.
a
\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {4 - 9 \over 6 - 2} = -1{,}25\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = -1{,}25 x + b \\ \text{door } (2 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}-1{,}25 ⋅ 2 + b = 9 \\ -2{,}5 + b = 9 \\ b = 11{,}5\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(l{:}\,y = -1{,}25 x + 11{,}5\)
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({4 \over 9})^{{1 \over 6 - 2}} = 0{,}816...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}816...^{x} \\ \text{door } (2 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}9 = b ⋅ 0{,}816...^{2} \\ b = {9 \over 0{,}816...^{2}} \\ b = 13{,}5\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = 13{,}5 ⋅ 0{,}816^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
\(y\) | \(42{,}65\) | \(31{,}13\) | \(22{,}73\) | \(16{,}59\) |
3p
a
Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\({31{,}13 \over 42{,}65} ≈ 0{,}73\)
1p
○
\({22{,}73 \over 31{,}13} ≈ 0{,}73\)
\({16{,}59 \over 22{,}73} ≈ 0{,}73\)
1p
○
De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}73\)
1p
○
\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 42{,}65 \text{.}\)
1p
○
Dus \(y = 42{,}65 ⋅ 0{,}73^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(2\,012\) | \(2\,017\) | \(2\,019\) | \(2\,020\) | \(2\,023\) |
\(y\) | \(36{,}26\) | \(28{,}51\) | \(25{,}41\) | \(23{,}86\) | \(19{,}21\) |
3p
a
Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,008 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\({\Delta y \over \Delta x} = {28{,}51 - 36{,}26 \over 2\,017 - 2\,012} = -1{,}55\)
1p
○
\({\Delta y \over \Delta x} = {25{,}41 - 28{,}51 \over 2\,019 - 2\,017} = -1{,}55\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {23{,}86 - 25{,}41 \over 2\,020 - 2\,019} = -1{,}55\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {19{,}21 - 23{,}86 \over 2\,023 - 2\,020} = -1{,}55\)
1p
○
De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.
1p
b
\(y = a x + b\) met \(a = -1{,}55\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = -1{,}55 x + b \\ x = 4 \text{ en } y = 36{,}26\end{rcases} \begin{matrix}-1{,}55 ⋅ 4 + b = 36{,}26 \\ -6{,}2 + b = 36{,}26 \\ b = 42{,}46\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = -1{,}55 x + 42{,}46\)
1p
3p
Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\)
○
Punt \(\text{A} (2 , 6\,000) \text{.}\)
1p
○
Punt \(\text{B} (5 , 90\,000) \text{.}\)
1p
○
Punt \(\text{C} (8 , 800) \text{.}\)
1p
5p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.
○
Rasterpunten \((1 , 2)\) en \((6 , 6)\) aflezen.
1p
○
\(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {6 - 2 \over 6 - 1} = \frac{4}{5}\)
1p
○
\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{4}{5} x + b \\ \text{door } (1 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{4}{5} ⋅ 1 + b = 2 \\ \frac{4}{5} + b = 2 \\ b = 1\frac{1}{5}\end{matrix}\)
1p
○
\(\log(y) = \frac{4}{5} x + 1\frac{1}{5}\)
\(y = 10^{\frac{4}{5} x + 1\frac{1}{5}}\)
1p
○
\(y = 10^{\frac{4}{5} x} ⋅ 10^{1\frac{1}{5}}\)
\(\text{ } = 10^{1\frac{1}{5}} ⋅ (10^{\frac{4}{5}})^{x}\)
\(\text{ } = 16 ⋅ 6{,}310^{x}\)
1p
5p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.
○
Rasterpunten \((2 , 4)\) en \((5 , 5)\) aflezen.
1p
○
\(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {5 - 4 \over 5 - 2} = \frac{1}{3}\)
1p
○
\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{1}{3} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (2 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{3} ⋅ 2 + b = 4 \\ \frac{2}{3} + b = 4 \\ b = 3\frac{1}{3}\end{matrix}\)
1p
○
\(\log(y) = \frac{1}{3} ⋅ \log(x) + 3\frac{1}{3}\)
\(\log(y) = \log(x^{\frac{1}{3}}) + \log(10^{3\frac{1}{3}})\)
\(\log(y) = \log(10^{3\frac{1}{3}} ⋅ x^{\frac{1}{3}})\)
1p
○
\(y = 10^{3\frac{1}{3}} ⋅ x^{\frac{1}{3}}\)
\(y = 2\,154 ⋅ x^{0{,}33}\)
1p
3p
Teken de punten \(A (1 , 6) \text{,}\) \(B (4 , 500)\) en \(C (8 , 70) \text{.}\)
○
3p
1p
a
Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?
1p
b
Welke formule hoort er bij dat verband?
a
De grafiek hoort bij een logaritmisch verband.
1p
b
Hierbij hoort de formule \(y = a ⋅ \log(x) + b \text{.}\)
1p