Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,5 x - 2 y = -3\) en \(l{:}\,15 x - 6 y = 1 \text{.}\)
1p
Onderzoek of de lijnen samenvallen, evenwijdig zijn of snijden.
○
\(\frac{5}{15} = \frac{2}{6} ≠ -\frac{3}{1} \text{,}\) dus de lijnen \(k\) en \(l\) zijn evenwijdig.
1p
Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,4 x + 6 y = 2\) en \(l{:}\,12 x + p y = q \text{.}\)
3p
Bereken voor welke \(p\) en \(q\) de lijnen geen punt gemeenschappelijk hebben.
○
\({4 \over 12} = {6 \over p} = {2 \over q}\)
1p
○
\({4 \over 12} = {6 \over p}\) geeft \(p = 18\) en \({4 \over 12} = {2 \over q}\) geeft \(q = 6\)
1p
○
Geen punt gemeenschappelijk, dus \(p = 18\) en \(q ≠ 6 \text{.}\)
1p
De lijnen \(k{:}\,2 x + y = 0\) en \(l{:}\,4 x + 3 y = 3\) snijden elkaar in het punt \(S \text{.}\)
4p
Bereken de coördinaten van \(S \text{.}\)
○
\(\begin{cases}2 x + y = 0 \\ 4 x + 3 y = 3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}6 x + 3 y = 0 \\ 4 x + 3 y = 3\end{cases}\)
1p
○
Aftrekken geeft \(2 x = -3\) dus \(x = -1\frac{1}{2} \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}2 x + y = 0 \\ x = -1\frac{1}{2}\end{rcases} \begin{matrix}2 ⋅ -1\frac{1}{2} + y = 0 \\ y = 3\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(S (-1\frac{1}{2} , 3) \text{.}\)
1p
De lijnen \(k{:}\,3 x - 2 y = -2\) en \(l{:}\,y = 3 x - 3\) snijden elkaar in het punt \(S \text{.}\)
4p
Bereken de coördinaten van \(S \text{.}\)
○
Substitutie geeft \(3 x - 2 (3 x - 3) = -2\)
1p
○
\(3 x - 6 x + 6 = -2\)
\(-3 x = -8\)
Dus \(x = 2\frac{2}{3} \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 3 x - 3 \\ x = 2\frac{2}{3}\end{rcases} y = 3 ⋅ 2\frac{2}{3} - 3 = 5\)
1p
○
Dus \(S (2\frac{2}{3} , 5) \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,3 x + 7 y = 1\) en \(l{:}\,8 x + 5 y = 2 \text{.}\)
3p
Bereken de hoek tussen de lijnen \(k\) en \(l \text{.}\) Rond af op één decimaal nauwkeurig.
○
\(k{:}\,3 x + 7 y = 1\) omschrijven geeft \(y = -\frac{3}{7} x + \frac{1}{7}\) dus \(\text{rc}_{k} = -\frac{3}{7} \text{.}\)
\(l{:}\,8 x + 5 y = 2\) omschrijven geeft \(y = -1\frac{3}{5} x + \frac{2}{5}\) dus \(\text{rc}_{l} = -1\frac{3}{5} \text{.}\)
1p
○
\(\tan(\alpha ) = -\frac{3}{7}\) geeft \(\alpha = \tan^{-1}(-\frac{3}{7}) = -23{,}19...\degree \text{.}\)
\(\tan(\beta ) = -1\frac{3}{5}\) geeft \(\beta = \tan^{-1}(-1\frac{3}{5}) = -57{,}99...\degree \text{.}\)
1p
○
\(\varphi = \alpha - \beta = -23{,}19...\degree - -57{,}99...\degree = 34{,}79...\degree \text{,}\) dus de gevraagde hoek is \(34{,}8\degree \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,5 x + 6 y = q\) en \(l{:}\,p x + 2 y = -\frac{2}{3} \text{.}\)
3p
a
Bereken voor welke \(p\) en \(q\) de lijnen geen punt gemeenschappelijk hebben.
3p
b
Bereken voor welke \(p\) en \(q\) de lijnen elkaar snijden in het punt \((3 , 2) \text{.}\)
3p
c
Neem \(p = 1\) en \(q = 6\) en bereken de hoek tussen de lijnen \(k\) en \(l \text{.}\)
Rond af op één decimaal.
a
\({5 \over p} = {6 \over 2} = {q \over -\frac{2}{3}}\)
1p
○
\({5 \over p} = {6 \over 2}\) geeft \(p = 1\frac{2}{3}\) en \({6 \over 2} = {q \over -\frac{2}{3}}\) geeft \(q = -2\)
1p
○
Geen punt gemeenschappelijk, dus \(p = 1\frac{2}{3}\) en \(q ≠ -2 \text{.}\)
1p
b
\(\begin{rcases}p x + 2 y = -\frac{2}{3} \\ \text{door } (3 , 2)\end{rcases}\) geeft \(p ⋅ 3 + 2 ⋅ 2 = -\frac{2}{3}\)
1p
○
(oplossen)
\(3 p + 4 = -\frac{2}{3}\)
\(3 p = -4\frac{2}{3}\)
\(p = -1\frac{5}{9}\)
1p
○
\(\begin{rcases}5 x + 6 y = q \\ \text{door } (3 , 2)\end{rcases}\) geeft \(q = 5 ⋅ 3 + 6 ⋅ 2 = 27\)
1p
c
\(5 x + 6 y = 6\) geeft \(y = -\frac{5}{6} x + 1\)
\(x + 2 y = -\frac{2}{3}\) geeft \(y = -\frac{1}{2} x - \frac{1}{3}\)
1p
○
\(\tan(\alpha ) = -\frac{5}{6}\) geeft \(\alpha = \tan^{-1}(-\frac{5}{6}) = -39{,}80...\degree\)
\(\tan(\beta ) = -\frac{1}{2}\) geeft \(\beta = \tan^{-1}(-\frac{1}{2}) = -26{,}56...\degree\)
1p
○
\(\alpha - \beta = -39{,}80...\degree - -26{,}56...\degree = -13{,}24...\degree \text{,}\) dus de gevraagde hoek is \(13{,}2\degree \text{.}\)
1p
De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (-9 , -6)\) en is evenwijdig aan de lijn \(k{:}\,7 x + 5 y = -8 \text{.}\)
2p
Stel een vergelijking op van lijn \(l\) in de vorm \(a x + b y = c \text{.}\)
○
\(k \parallel l \text{,}\) dus \(l{:}\,7 x + 5 y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}7 x + 5 y = c \\ \text{door } A (-9 , -6)\end{rcases} c = 7 ⋅ -9 + 5 ⋅ -6 = -93\)
Dus \(l{:}\,7 x + 5 y = -93 \text{.}\)
1p
De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (-9 , 2)\) en staat loodrecht op de lijn \(k{:}\,4 x - 3 y = 6 \text{.}\)
2p
Stel een vergelijking op van lijn \(l\) in de vorm \(a x + b y = c \text{.}\)
○
\(k \perp l \text{,}\) dus \(l{:}\,-3 x - 4 y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}-3 x - 4 y = c \\ \text{door } A (-9 , 2)\end{rcases} c = -3 ⋅ -9 - 4 ⋅ 2 = 19\)
Dus \(l{:}\,-3 x - 4 y = 19 \text{.}\)
1p