2p
Wat is de definitie van de afgeleide functie \(f'(x) \text{?}\)
○
De afgeleide functie \(f'(x)\) is de formule van de hellingsgrafiek van \(f(x)\) en geeft dus voor iedere waarde van \(x\) de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt \((x , f(x)) \text{.}\)
2p
Gegeven is de functie \(f(x) = (x^{2}-1) (x+6)+5 x^{2} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 3\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Bereken exact de \(y \text{-}\)coördinaat van het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(3) = (3^{2}-1) (3+6)+5 \cdot 3^{2} = 117\)
1p
○
Dus \(y_{A} = 117 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = -1+\sqrt{x+23} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 2\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Bereken exact de coördinaten van het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(2) = -1+\sqrt{2+23} = 4\)
1p
○
Dus \(A (2 , 4) \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{x+7}+5 x^{3} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 2\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Toon algebraïsch aan dat de \(y \text{-}\)coördinaat van het punt \(A\) gelijk is aan \(43 \text{.}\)
○
\(f(2) = \sqrt{2+7}+5 \cdot 2^{3} = 43\)
1p
○
Dus geldt inderdaad \(y_{A} = 43 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x+(x^{2}+6) (x+2) \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -5\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Ligt het punt \(A\) boven of onder de \(x \text{-}\)as?
○
\(f(-5) = 3 \cdot -5+((-5)^{2}+6) (-5+2) = -108\)
1p
○
\(f(-5) < 0 \text{,}\) dus \(A\) ligt onder de \(x \text{-}\)as.
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{3}{(-2 x+7)^{2}}-3 x^{2} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 5\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
3p
Bereken exact de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan \(f\) in het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(x) = \frac{3}{(-2 x+7)^{2}}-3 x^{2}\) geeft
\(f'(x) = \frac{12}{(-2 x+7)^{3}}-6 x\)
2p
○
\(\text{rc} = f'(5) = \frac{12}{(-2 \cdot 5+7)^{3}}-6 \cdot 5 = -30\frac{12}{27}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = x+\sqrt{-6 x+28} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 4\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
3p
Bereken exact de helling van de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(x) = x+\sqrt{-6 x+28}\) geeft
\(f'(x) = 1+\frac{-3}{\sqrt{-6 x+28}}\)
2p
○
\(\text{helling} = f'(4) = 1+\frac{-3}{\sqrt{-6 \cdot 4+28}} = -\frac{1}{2}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = 5 x^{2}+\sqrt{-6 x-9} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -3\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
3p
Toon algebraïsch aan dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan \(f\) in het punt \(A\) gelijk is aan \(-31 \text{.}\)
○
\(f(x) = 5 x^{2}+\sqrt{-6 x-9}\) geeft
\(f'(x) = 10 x+\frac{-3}{\sqrt{-6 x-9}}\)
2p
○
\(\text{rc} = f'(-3) = 10 \cdot -3+\frac{-3}{\sqrt{-6 \cdot -3-9}} = -31\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = (x^{2}+2) (x+4)+4 x \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -3\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
4p
Is de grafiek van \(f\) in het punt \(A\) stijgend of dalend?
○
\(f(x) = (x^{2}+2) (x+4)+4 x\) geeft
\(f'(x) = 3 x^{2}+8 x+6\)
2p
○
\(f'(-3) = 3 \cdot (-3)^{2}+8 \cdot -3+6 = 9\)
1p
○
\(f'(-3) > 0 \text{,}\) dus stijgend.
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{4}{(2 x-8)^{2}}+5 x^{2} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 5\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
1p
a
Bereken exact de \(y \text{-}\)coördinaat van het punt \(A \text{.}\)
3p
b
Bereken exact de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan \(f\) in het punt \(A \text{.}\)
a
\(f(5) = \frac{4}{(2 \cdot 5-8)^{2}}+5 \cdot 5^{2} = 126\)
1p
b
\(f(x) = \frac{4}{(2 x-8)^{2}}+5 x^{2}\) geeft
\(f'(x) = \frac{-16}{(2 x-8)^{3}}+10 x\)
2p
○
\(f'(5) = \frac{-16}{(2 \cdot 5-8)^{3}}+10 \cdot 5 = 48\)
1p