De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = t^{2} - 2 t \\ y(t) = -\frac{1}{3} t^{3} + 9 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.
○
\(x'(t) = 2 t - 2\)
\(y'(t) = -t^{2} + 9\)
1p
○
[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t) = 0\)
\(2 t - 2 = 0\)
\(2 t = 2\)
\(t = 1\)
1p
○
\(y'(1) = 8 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 1\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((-1 , 8\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{2} t^{2} - 6 t \\ y(t) = -\frac{2}{3} t^{3} + 8 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as.
○
\(x'(t) = -3 t - 6\)
\(y'(t) = -2 t^{2} + 8\)
1p
○
[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t) = 0\)
\(-2 t^{2} + 8 = 0\)
\(t^{2} - 4 = 0\)
\(t^{2} = 4\)
\(t = -2 ∨ t = 2\)
1p
○
\(x'(-2) = 0 \text{,}\) dus voor \(t = -2\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((6 , -10\frac{2}{3}) \text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as.
1p
○
\(x'(2) = -12 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 2\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((-18 , 10\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -\frac{1}{2} t^{2} - t \\ y(t) = -\frac{1}{3} t^{3} + 13 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
De baan snijdt zichzelf voor \(t = -7\) en voor \(t = 5\) in het punt \((-17\frac{1}{2} , 23\frac{1}{3}) \text{.}\)
5p
Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.
○
\(x'(t) = -t - 1\)
\(y'(t) = -t^{2} + 13\)
1p
○
\(\overrightarrow{v} (-7) = \begin{pmatrix}x'(-7) \\ y'(-7)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ -36\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{v} (5) = \begin{pmatrix}x'(5) \\ y'(5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6 \\ -12\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -36\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}-6 \\ -12\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -36\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-6 \\ -12\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {396 \over \sqrt{1\,332} ⋅ \sqrt{180}}\)
1p
○
\(\varphi = \cos^{-1}({396 \over \sqrt{1\,332} ⋅ \sqrt{180}}) ≈ 36{,}0\degree\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 2 t \\ y(t) = -t^{2} - 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
5p
Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t = -3 \text{.}\)
○
\(x'(t) = 2 t^{2} - 2\)
\(y'(t) = -2 t - 4\)
1p
○
\(t = -3\) geeft het punt \((-12 , 3) \text{.}\)
1p
○
[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (-3) = \begin{pmatrix}x'(-3) \\ y'(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}2 \\ -16\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,2 x - 16 y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}l{:}\,2 x - 16 y = c \\ \text{door } (-12 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}c = 2 ⋅ -12 - 16 ⋅ 3 = -72\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,2 x - 16 y = -72 \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{3} t^{3} - 3 t \\ y(t) = t^{2} - 3 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x \text{-}\)as.
○
Snijpunt met de \(x \text{-}\)as betekent \(y(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(t^{2} - 3 t = 0\)
1p
○
[Oplossen geeft]
\(t (t - 3) = 0\)
\(t = 0 ∨ t = 3\)
1p
○
[De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(x(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = 3\) geeft \(x(3) = 27 \text{,}\) dus \((27 , 0)\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{3} t^{3} - 12 t \\ y(t) = 1\frac{1}{2} t^{2} - 3 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y \text{-}\)as.
○
Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(1\frac{1}{3} t^{3} - 12 t = 0\)
1p
○
[Oplossen geeft]
\(t (\frac{4}{3} t^{2} - 12) = 0\)
\(t = 0 ∨ \frac{4}{3} t^{2} - 12 = 0\)
\(t = 0 ∨ t^{2} - 9 = 0\)
\(t = 0 ∨ t^{2} = 9\)
\(t = 0 ∨ t = -3 ∨ t = 3\)
1p
○
[De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -3\) geeft \(y(-3) = 22\frac{1}{2} \text{,}\) dus \((0 , 22\frac{1}{2})\)
\(t = 3\) geeft \(y(3) = 4\frac{1}{2} \text{,}\) dus \((0 , 4\frac{1}{2})\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{2} t^{2} - 3 t \\ y(t) = -t^{3} + 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
a
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y \text{-}\)as.
5p
b
Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t = -2 \text{.}\)
2p
c
Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -1 \text{.}\)
a
Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(1\frac{1}{2} t^{2} - 3 t = 0\)
1p
○
[Oplossen geeft]
\(t^{2} - 2 t = 0\)
\(t (t - 2) = 0\)
\(t = 0 ∨ t = 2\)
1p
○
[De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = 2\) geeft \(y(2) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
1p
b
\(x'(t) = 3 t - 3\)
\(y'(t) = -3 t^{2} + 4\)
1p
○
\(t = -2\) geeft het punt \((12 , 0) \text{.}\)
1p
○
[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (-2) = \begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9 \\ -8\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}8 \\ -9\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,8 x - 9 y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}l{:}\,8 x - 9 y = c \\ \text{door } (12 , 0)\end{rcases} \begin{matrix}c = 8 ⋅ 12 - 9 ⋅ 0 = 96\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,9 x - 8 y = 96 \text{.}\)
1p
c
[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (-1) = \begin{pmatrix}x'(-1) \\ y'(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Dus de baansnelheid is]
\(v(-1) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-1)\end{vmatrix} = \sqrt{(-6)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{37} \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t \\ y(t) = -\frac{1}{3} t^{3} + 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
a
Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((-12 , -5\frac{1}{3}) \text{.}\)
3p
b
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.
3p
c
Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.
a
[Oplossen van \(x(t) = -12\) geeft]
\(-1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t = -12\)
\(-\frac{3}{2} t^{2} + 3 t + 12 = 0\)
\(t^{2} - 2 t - 8 = 0\)
\((t + 2) (t - 4) = 0\)
\(t = -2 ∨ t = 4\)
1p
○
\(y(-2) = -5\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = -2\) geeft het punt \((-12 , -5\frac{1}{3}) \text{.}\)
1p
○
\(y(4) = -5\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = 4\) geeft ook het punt \((-12 , -5\frac{1}{3}) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.
1p
b
\(x'(t) = -3 t + 3\)
\(y'(t) = -t^{2} + 4\)
1p
○
[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t) = 0\)
\(-3 t + 3 = 0\)
\(-3 t = -3\)
\(t = 1\)
1p
○
\(y'(1) = 3 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 1\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((1\frac{1}{2} , 3\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
c
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-3 t + 3)^{2} + (-t^{2} + 4)^{2}} \text{.}\)
1p
○
Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(-3 x + 3)^{2} + (-x^{2} + 4)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = 1{,}550...\) en \(y = 2{,}296...\)
1p
○
De minimale baansnelheid is ongeveer \(2{,}30\) voor \(t = 1{,}55 \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 2\frac{1}{2} t^{2} - 5 t \\ y(t) = -\frac{2}{3} t^{3} + 8 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
a
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as.
De baan snijdt zichzelf voor \(t = -2\) en voor \(t = 4\) in het punt \((20 , -10\frac{2}{3}) \text{.}\)
4p
b
Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.
3p
c
Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -1 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\(x'(t) = 5 t - 5\)
\(y'(t) = -2 t^{2} + 8\)
1p
○
[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t) = 0\)
\(-2 t^{2} + 8 = 0\)
\(t^{2} - 4 = 0\)
\(t^{2} = 4\)
\(t = -2 ∨ t = 2\)
1p
○
\(x'(-2) = -15 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -2\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((20 , -10\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
○
\(x'(2) = 5 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 2\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((0 , 10\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
b
\(\overrightarrow{v} (-2) = \begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-15 \\ 0\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{v} (4) = \begin{pmatrix}x'(4) \\ y'(4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}15 \\ -24\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-15 \\ 0\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}15 \\ -24\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-15 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}15 \\ -24\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {225 \over \sqrt{225} ⋅ \sqrt{801}}\)
1p
○
\(\varphi = \cos^{-1}({225 \over \sqrt{225} ⋅ \sqrt{801}}) ≈ 58{,}0\degree\)
1p
c
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(5 t - 5)^{2} + (-2 t^{2} + 8)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{4 t^{4} - 7 t^{2} - 50 t + 89} \text{.}\)
1p
○
[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{4 t^{4} - 7 t^{2} - 50 t + 89}} ⋅ (16 t^{3} - 14 t - 50)\)
\(\text{} = {8 t^{3} - 7 t - 25 \over \sqrt{4 t^{4} - 7 t^{2} - 50 t + 89}}\)
1p
○
[Invullen van \(t = -1\) geeft]
\(a(-1) = {-26 \over \sqrt{136}} ≈ -2{,}23\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = \frac{1}{2} t^{2} + t \\ y(t) = -t^{3} + 12 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((4 , 16) \text{.}\)
○
[Oplossen van \(x(t) = 4\) geeft]
\(\frac{1}{2} t^{2} + t = 4\)
\(\frac{1}{2} t^{2} + t - 4 = 0\)
\(t^{2} + 2 t - 8 = 0\)
\((t + 4) (t - 2) = 0\)
\(t = -4 ∨ t = 2\)
1p
○
\(y(-4) = 16 \text{,}\) dus \(t = -4\) geeft het punt \((4 , 16) \text{.}\)
1p
○
\(y(2) = 16 \text{,}\) dus \(t = 2\) geeft ook het punt \((4 , 16) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.
1p