Gegeven is de functie \(f (x) = {x^{2} + 8 x + 15 \over x + 4} \text{.}\)
De grafiek van \(f\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \(A\) en \(B \text{.}\)
5p
Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn \(l\) in het punt \(A \text{.}\)
○
(\(f (x) = 0\) geeft snijpunten \(x \text{-}\)as)
\({x^{2} + 8 x + 15 \over x + 4} = 0\)
\(x^{2} + 8 x + 15 = 0\)
1p
○
(som-productmethode)
\((x + 5) (x + 3) = 0\)
\(x = -5 ∨ x = -3\)
Dus \(A (-5 , 0)\)
1p
○
\(f'(x) = \frac{(x+4) (2 x+8)-(x^{2}+8 x+15) \cdot 1}{(x+4)^{2}}\)
1p
○
\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = f'(-5) = 2\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 2 x + b \\ \text{door } A (-5 , 0)\end{rcases} \begin{matrix}2 ⋅ -5 + b = 0 \\ b = 10\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = 2 x + 10 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = -x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 3 \text{.}\) Op de grafiek van \(f\) ligt het punt \(A\) met \(x_{A} = 2 \text{.}\)
4p
Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn \(l\) aan \(f\) in \(A \text{.}\)
○
\(f(2) = 7 \text{,}\) dus \(A (2 , 7) \text{.}\)
1p
○
\(f(x) = -x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 3\) geeft \(f'(x) = -3 x^{2} + 6 x + 3 \text{.}\)
1p
○
Stel \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = f'(2) = 3 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 3 x + b \\ \text{door } A (2 , 7)\end{rcases} \begin{matrix}3 ⋅ 2 + b = 7 \\ 6 + b = 7 \\ b = 1\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = 3 x + 1 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = x^{2}+(x^{2}+3) (x-6) \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 4\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
5p
Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn \(l\) aan \(f\) in \(A \text{.}\)
○
\(f(4) = 4^{2}+(4^{2}+3) (4-6) = -22 \text{,}\) dus \(A (4 , -22)\)
1p
○
\(f(x) = x^{2}+(x^{2}+3) (x-6)\) geeft
\(f'(x) = -10 x+3 x^{2}+3\)
2p
○
\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = f'(4) = -10 \cdot 4+3 \cdot 4^{2}+3 = 11\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 11 x + b \\ \text{door } A (4 , -22)\end{rcases} \begin{matrix}11 ⋅ 4 + b = -22 \\ 44 + b = -22 \\ b = -66\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = 11 x - 66 \text{.}\)
1p