Gegeven is de cirkel \(c \text{: } (x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 64\) en het punt \(A (-3 , -7)\) buiten \(c \text{.}\)
5p
Stel langs algebraïsche weg vergelijkingen op van de lijnen \(l\) die door \(A\) gaan en \(c\) raken.
○
\(\begin{rcases}l{:}\,y = a x + b \\ A (-3 , -7)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ -3 + b = -7 \\ b = 3 a-7\end{matrix}\)
oftewel
\(l \text{: } y = a x+3 a-7\)
\(l \text{: } a x-y+3 a-7 = 0\)
1p
○
Van \(c\) is \(M (4 , -3)\) en \(r = 8 \text{.}\)
\(d(M , l) = \frac{\vert 4 a--3+3 a-7 \vert}{\sqrt{a^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{\vert 7 a-4 \vert}{\sqrt{a^{2}+1}} = 8\)
1p
○
(oplossen)
\(\vert 7 a-4 \vert = 8 \sqrt{a^{2}+1}\)
\((\vert 7 a-4 \vert)^{2} = (8 \sqrt{a^{2}+1})^{2}\)
\(49 a^{2}-56 a+16 = 64 a^{2}+64\)
1p
○
\(-15 a^{2} - 56 a - 48 = 0\)
\(15 a^{2} + 56 a + 48 = 0\)
\(D = 56^{2} - 4 ⋅ 15 ⋅ 48 = 256\)
\(a = {-56 - \sqrt{256} \over 2 ⋅ 15} ∨ a = {-56 + \sqrt{256} \over 2 ⋅ 15}\)
\(a = -2\frac{2}{5} ∨ a = -1\frac{1}{3}\)
1p
○
\(a = -2\frac{2}{5}\) geeft \(b = 3 \cdot -2\frac{2}{5}-7 = -14\frac{1}{5} \text{,}\) dus \(l_{1} \text{: } y = -2\frac{2}{5} x-14\frac{1}{5}\)
\(a = -1\frac{1}{3}\) geeft \(b = 3 \cdot -1\frac{1}{3}-7 = -11 \text{,}\) dus \(l_{2} \text{: } y = -1\frac{1}{3} x-11\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 8 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (7 , 5) \text{.}\)
4p
Stel de vergelijking van \(l\) op.
○
Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 17\)
Dus \(M (3 , 4)\) en \(r = \sqrt{17} \text{.}\)
1p
○
De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {4 - 5 \over 3 - 7} = \frac{1}{4} \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = \frac{1}{4}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -4\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = -4 x + b \\ \text{door } A (7 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}5 = -4 ⋅ 7 + b \\ 5 = -28 + b \\ b = 33\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -4 x + 33 \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x + 10 y - 18 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 1\) en \(y_{A} < y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)
6p
Stel de vergelijking op van \(l \text{.}\)
○
\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x + 10 y - 18 = 0 \\ x = 1\end{rcases}\) geeft
\(1^{2} + y^{2} + 6 ⋅ 1 + 10 y - 18 = 0\)
\(y^{2} + 10 y - 11 = 0\)
\((y + 11) (y - 1) = 0\)
\(y = -11 ∨ y = 1\)
1p
○
\(y_{A} < y_{B} \text{,}\) dus \(A (1 , -11)\) en \(B (1 , 1) \text{.}\)
1p
○
(kwadraatafsplitsen)
\((x + 3)^{2} - 9 + (y + 5)^{2} - 25 - 18 = 0\)
\((x + 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 52\)
Dus \(M (-3 , -5) \text{.}\)
1p
○
(voor de lijn door \(B\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{BM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {-5 - 1 \over -3 - 1} = 1\frac{1}{2} \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}\text{BM} \perp l \text{, dus } \text{rc}_{\text{BM}} ⋅ \text{rc}_{l} = -1 \\ \text{rc}_{\text{BM}} = 1\frac{1}{2}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{2}{3}\)
1p
○
\(\begin{rcases}l{:}\,y = -\frac{2}{3} x + b \\ \text{door } B (1 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}1 = -\frac{2}{3} ⋅ 1 + b \\ 1 = -\frac{2}{3} + b \\ b = 1\frac{2}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{2}{3} x + 1\frac{2}{3} \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x + 24 y + 140 = 0 \text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(2\) die \(c\) raken.
5p
Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.
○
Stel \(y = 2 x + b \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 2 x + 24 y + 140 = 0\) geeft
\(x^{2} + (2 x + b)^{2} + 2 x + 24 (2 x + b) + 140 = 0 \text{.}\)
1p
○
Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + 4 x^{2} + 4 b x + b^{2} + 2 x + 48 x + 24 b + 140 = 0\)
\(5 x^{2} + (4 b + 50) x + (b^{2} + 24 b + 140) = 0\)
1p
○
De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (4 b + 50)^{2} - 4 ⋅ 5 ⋅ (b^{2} + 24 b + 140)\)
\(D = 16 b^{2} + 400 b + 2\,500 - 20 b^{2} - 480 b - 2\,800\)
\(D = -4 b^{2} - 80 b - 300\)
1p
○
Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-4 b^{2} - 80 b - 300 = 0\)
\(b^{2} + 20 b + 75 = 0\)
\((b + 15) (b + 5) = 0\)
\(b = -15 ∨ b = -5\)
1p
○
De vergelijkingen zijn \(y = 2 x - 15\) en \(y = 2 x - 5 \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x - 81 = 0 \text{.}\)
5p
Stel langs algebraïsche weg vergelijkingen op van de lijnen \(l\) met richtingscoëfficiënt \(\frac{1}{3}\) die \(c\) raken.
○
\(l \text{: } y = {1 \over 3} x+b\) geeft \(l \text{: } {1 \over 3} x-y+b = 0\)
1p
○
(kwadraatafsplitsen)
\((x+3)^{2}-9+y^{2}-81 = 0\)
\((x + 3)^{2} + y^{2} = 90\)
Dus \(M (-3 , 0)\) en \(r = \sqrt{90} \text{.}\)
1p
○
\(d(M , l) = \frac{\vert {1 \over 3} \cdot -3-1 \cdot 0+b \vert}{\sqrt{({1 \over 3})^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{\vert -1+b \vert}{\sqrt{{10 \over 9}}} = \sqrt{90}\)
1p
○
(oplossen)
\(\vert -1+b \vert = \sqrt{90} \cdot \sqrt{{10 \over 9}} = 10\)
\(-1+b = 10 ∨ -1+b = -10\)
\(b = 1+10 = 11 ∨ b = 1-10 = -9\)
1p
○
\(b = 11\) geeft \(l_{1} \text{: } y = {1 \over 3} x+11\)
\(b = -9\) geeft \(l_{2} \text{: } y = {1 \over 3} x-9\)
1p
Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 2 x + 10 y + 13 = 0\) en het punt \(A (0 , 3) \text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c \text{.}\)
5p
Stel van beide lijnen de vergelijking op.
○
Stel \(y = a x + 3 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 2 x + 10 y + 13 = 0\) geeft
\(x^{2} + (a x + 3)^{2} - 2 x + 10 (a x + 3) + 13 = 0 \text{.}\)
1p
○
Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + a^{2} x^{2} + 6 a x + 9 - 2 x + 10 a x + 30 + 13 = 0\)
\((1 + a^{2}) x^{2} + (16 a - 2) x + 52 = 0\)
1p
○
De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (16 a - 2)^{2} - 4 ⋅ (1 + a^{2}) ⋅ 52\)
\(D = 256 a^{2} - 64 a + 4 - 208 - 208 a^{2}\)
\(D = 48 a^{2} - 64 a - 204\)
1p
○
Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(48 a^{2} - 64 a - 204 = 0\)
\(12 a^{2} - 16 a - 51 = 0\)
\(D = (-16)^{2} - 4 ⋅ 12 ⋅ -51 = 2\,704\) dus \(\sqrt{D} = 52\)
\(a = {16 - 52 \over 24} = -1\frac{1}{2} ∨ a = {16 + 52 \over 24} = 2\frac{5}{6} \text{.}\)
1p
○
De vergelijkingen zijn \(y = -1\frac{1}{2} x + 3\) en \(y = 2\frac{5}{6} x + 3 \text{.}\)
1p