Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 0{,}4^{x} + 8 x^{2}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}4^{x}\) naar 0.
1p
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{2}\) heel groot en dus wordt ook \(8 x^{2}\) heel groot.
1p
○
Dus wordt \(0{,}4^{x} + 8 x^{2}\) heel groot.
De formule heeft dus geen grenswaarde.
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {740 \over 14 + 22 ⋅ 1{,}81^{x}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}81^{x}\) heel groot (want \(1{,}81 > 1 \text{)}\)
1p
○
Dus wordt \(22 ⋅ 1{,}81^{x}\) heel groot
en dus wordt \(14 + 22 ⋅ 1{,}81^{x}\) heel groot.
1p
○
Dus nadert \({740 \over 14 + 22 ⋅ 1{,}81^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {546 \over 7 - 14 ⋅ 0{,}32^{x}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}32^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}32 < 1 \text{)}\)
1p
○
Dus nadert \(-14 ⋅ 0{,}32^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(7 - 14 ⋅ 0{,}32^{x}\) naar \(7 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \({546 \over 7 - 14 ⋅ 0{,}32^{x}}\) naar \({546 \over 7} = 78\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(78 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 9 (1 + 0{,}69^{x})\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}69^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}69 < 1 \text{).}\)
1p
○
Dus nadert \(1 + 0{,}69^{x}\) naar \(1 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(9 (1 + 0{,}69^{x})\) naar \(9 ⋅ 1 = 9\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(9 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 4 - {57 \over 1{,}2^{x}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}2^{x}\) heel groot (want \(1{,}2 > 1 \text{).}\)
1p
○
Dus nadert \({57 \over 1{,}2^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(4 - {57 \over 1{,}2^{x}}\) naar \(4\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(4 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 90 + 30 ⋅ e^{-0{,}2 x}\)
○
Er geldt \(e^{-0{,}2 x} = {1 \over e^{0{,}2 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}2 x\) heel groot, dus wordt \(e^{0{,}2 x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over e^{0{,}2 x}}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(30 ⋅ e^{-0{,}2 x}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(90 + 30 ⋅ e^{-0{,}2 x}\) naar \(90 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(90 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 1 - {5 \over x^{6}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{6}\) heel groot.
1p
○
Dus nadert \({5 \over x^{6}}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(1 - {5 \over x^{6}}\) naar \(1\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(1 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {3 x^{2} - 8 x - 9 \over 4 x^{2} + 2 x + 6}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({3 x^{2} \over 4 x^{2}} \text{.}\)
1p
○
Er geldt \({3 x^{2} \over 4 x^{2}} = {3 \over 4} = \frac{3}{4} \text{.}\)
1p
○
De grenswaarde van \(y\) is dus \(\frac{3}{4} \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {860 \over 25 + 9 ⋅ \ln(x)}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(\ln(x)\) heel groot.
1p
○
Dus wordt \(9 ⋅ \ln(x)\) heel groot
en dus wordt \(25 + 9 ⋅ \ln(x)\) heel groot.
1p
○
Dus nadert \({860 \over 25 + 9 ⋅ \ln(x)}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = -3 x^{2} + 8 x + 2\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan bepaalt de hoogste machten van \(x\) het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \(-3 x^{2}\)
1p
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(-3 x^{2}\) heel groot negatief.
1p
○
De gegeven formule heeft dus geen grenswaarde.
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 80 + 10 ⋅ x^{-0{,}4}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}4}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}4} = {1 \over x^{0{,}4}}\) en \(x^{0{,}4}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.
1p
○
Dus nadert \(10 ⋅ x^{-0{,}4}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(80 + 10 x^{-0{,}4}\) naar \(80 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(80 \text{.}\)
1p