De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 2 t^{2} - 4 t \\ y(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + 7 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -2 \text{.}\)
○
\(x'(t) = 4 t - 4\)
\(y'(t) = -4 t^{2} + 7\)
1p
○
[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (-2) = \begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-12 \\ -9\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Dus de baansnelheid is]
\(v(-2) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-2)\end{vmatrix} = \sqrt{(-12)^{2} + (-9)^{2}} = \sqrt{225} = 15 \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -1\frac{2}{3} t^{3} + 15 t \\ y(t) = t^{2} - 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.
○
\(x'(t) = -5 t^{2} + 15\)
\(y'(t) = 2 t - 4\)
1p
○
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-5 t^{2} + 15)^{2} + (2 t - 4)^{2}} \text{.}\)
1p
○
Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(-5 x^{2} + 15)^{2} + (2 x - 4)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = 1{,}735...\) en \(y = 0{,}532...\)
1p
○
De minimale baansnelheid is ongeveer \(0{,}53\) voor \(t = 1{,}74 \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2 t^{2} + 6 t \\ y(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + 3 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = 1 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
○
\(x'(t) = -4 t + 6\)
\(y'(t) = -4 t^{2} + 3\)
1p
○
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-4 t + 6)^{2} + (-4 t^{2} + 3)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{16 t^{4} - 8 t^{2} - 48 t + 45} \text{.}\)
1p
○
[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{16 t^{4} - 8 t^{2} - 48 t + 45}} ⋅ (64 t^{3} - 16 t - 48)\)
\(\text{} = {32 t^{3} - 8 t - 24 \over \sqrt{16 t^{4} - 8 t^{2} - 48 t + 45}}\)
1p
○
[Invullen van \(t = 1\) geeft]
\(a(1) = {0 \over \sqrt{5}} = 0{,}00\)
1p