Gegeven is de functie \(f(x) = {3 \over x - 3}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = 2 \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\)
7p
Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\)
○
\(f(2) = -3 \text{,}\) dus \(A (2 , -3)\)
1p
○
\(f(x) = {3 \over x - 3} = 3 (x - 3)^{-1}\) geeft
\(f'(x) = 3 ⋅ -1 ⋅ (x - 3)^{-2} ⋅ 1 = {-3 \over (x - 3)^{2}}\)
2p
○
\(\text{rc}_{k} = f'(2) = -3\)
1p
○
\(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = \frac{1}{3} \text{,}\) dus \(y = \frac{1}{3} x + b\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = \frac{1}{3} x + b \\ \text{door } A (2 , -3)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{3} ⋅ 2 + b = -3 \\ \frac{2}{3} + b = -3 \\ b = -3\frac{2}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = \frac{1}{3} x - 3\frac{2}{3} \text{.}\)
1p
○
\(B (0 , -3\frac{2}{3})\)
1p
Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} - 2 x - 5\) en \(g(x) = -x^{2} - 3 x + 1 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\)
7p
Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\)
○
De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^{2} - 2 x - 5 = -x^{2} - 3 x + 1\)
\(2 x^{2} + x - 6 = 0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 1^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -6 = 49\) geeft
\(x = {-1 - \sqrt{49} \over 2 ⋅ 2} = -2 ∨ x = {-1 + \sqrt{49} \over 2 ⋅ 2} = 1\frac{1}{2}\)
1p
○
\(x_{A} = -2 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-2) = 3\)
1p
○
\(g'(x) = -2 x - 3\)
1p
○
\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-2) = 1 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = x + b \\ \text{door } A (-2 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}1 ⋅ -2 + b = 3 \\ -2 + b = 3 \\ b = 5\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = x + 5 \text{.}\)
1p
○
Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^{2} - 2 x - 5 = x + 5\)
\(x^{2} - 3 x - 10 = 0\)
\((x + 2) (x - 5) = 0\)
\(x = -2 ∨ x = 5\)
1p
○
\(x_{C} = 5 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(5) = 10\) en
\(C (5 , 10) \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4\frac{1}{2} x^{2} + 22 x + 3\frac{1}{2} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(2 \text{.}\)
4p
Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\)
○
\(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4\frac{1}{2} x^{2} + 22 x + 3\frac{1}{2}\) geeft \(f'(x) = x^{2} - 9 x + 22 \text{.}\)
1p
○
\(f'(x) = 2\) geeft
\(x^{2} - 9 x + 22 = 2\)
\(x^{2} - 9 x + 20 = 0\)
\((x - 4) (x - 5) = 0\)
\(x = 4 ∨ x = 5 \text{.}\)
1p
○
\(f(4) = 40\frac{5}{6} \text{,}\) dus \(A (4 , 40\frac{5}{6}) \text{.}\)
1p
○
\(f(5) = 42\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(B (5 , 42\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p