Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A

'Betrouwbaarheidsintervallen'.

havo wiskunde A 7.2 Betrouwbaarheidsintervallen voor het populatiegemiddelde

Betrouwbaarheidsintervallen (1)

opgave 1

In een steekproef onder \(205\) deelnemers blijkt het gemiddelde gelijk te zijn aan \(\bar{X}=9{,}33\text{.}\) De bijbehorende standaardafwijking is \(S=1{,}94\text{.}\)

3p

Bereken het \(95\%\text{-}\)betrouwbaarheidsinterval van het populatiegemiddelde in 2 decimalen nauwkeurig.

BetrouwbaarheidsintervalVanGemiddelde
008k - Betrouwbaarheidsintervallen - basis - 1ms

\(\bar{X}-2⋅{S \over \sqrt{n}}=9{,}33-2⋅{1{,}94 \over \sqrt{205}}≈9{,}06\text{.}\)

1p

\(\bar{X}+2⋅{S \over \sqrt{n}}=9{,}33+2⋅{1{,}94 \over \sqrt{205}}≈9{,}60\text{.}\)

1p

Het \(95\%\text{-}\)betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is \([9{,}06; 9{,}60]\text{.}\)

1p

havo wiskunde A 7.3 Betrouwbaarheidsintervallen voor de populatieproportie

Betrouwbaarheidsintervallen (2)

opgave 1

In een steekproef blijken \(71\) van de \(223\) deelnemers verkouden.

5p

Bereken het \(95\%\text{-}\)betrouwbaarheidsinterval van de populatieproportie.

BetrouwbaarheidsintervalBijProportie (1)
008h - Betrouwbaarheidsintervallen - basis - 0ms

De steekproefproportie is \(\hat{p}={71 \over 223}=0{,}318...\)

1p

\(\sigma =\sqrt{{\hat{p}(1-\hat{p}) \over n}}=\sqrt{{0{,}318...⋅0{,}681... \over 223}}=0{,}031...\)

1p

\(\hat{p}-2\sigma =0{,}318...-2⋅0{,}031...≈0{,}256\text{.}\)

1p

\(\hat{p}+2\sigma =0{,}318...+2⋅0{,}031...≈0{,}381\text{.}\)

1p

Het \(95\%\text{-}\)betrouwbaarheidsinterval is \([0{,}256; 0{,}381]\text{.}\)

1p

opgave 2

In een steekproef geeft \(13\%\) van de \(232\) deelnemers aan dat ze een huisdier hebben.

5p

Bereken het \(95\%\text{-}\)betrouwbaarheidsinterval van het percentage van de gehele populatie.

BetrouwbaarheidsintervalBijProportie (2)
008j - Betrouwbaarheidsintervallen - basis - 0ms

De steekproefproportie is \(\hat{p}=13\%=0{,}13\text{.}\)

1p

\(\sigma =\sqrt{{\hat{p}(1-\hat{p}) \over n}}=\sqrt{{0{,}13⋅0{,}87 \over 232}}=0{,}0220...\)

1p

\(\hat{p}-2\sigma =0{,}13-2⋅0{,}0220...≈0{,}086\text{.}\)

1p

\(\hat{p}+2\sigma =0{,}13+2⋅0{,}0220...≈0{,}174\text{.}\)

1p

Het \(95\%\text{-}\)betrouwbaarheidsinterval is \([8{,}6\%; 17{,}4\%]\text{.}\)

1p

havo wiskunde A 7.4 Betrouwbaarheidsintervallen toepassen

Betrouwbaarheidsintervallen (2)

opgave 1

De populatieproportie ligt met \(95\%\) zekerheid in \([0{,}184; 0{,}336]\text{.}\)

4p

Bereken de steekproefomvang.

SteekproefomvangBijProportie
008i - Betrouwbaarheidsintervallen - basis - 0ms

\(\hat{p}={0{,}184+0{,}336 \over 2}=0{,}26\) en \(\text{breedte}=0{,}336-0{,}184=0{,}152\text{.}\)

1p

Los op \(4⋅\sqrt{{0{,}26⋅0{,}74 \over n}}=0{,}152\text{.}\)

1p

Voer in
\(y_1=4⋅\sqrt{{0{,}26⋅0{,}74 \over x}}\)
\(y_2=0{,}152\)
Optie 'intersect' geeft \(x=133{,}240...\)

1p

De steekproefomvang is dus \(133\text{.}\)

1p

opgave 2

Het populatiegemiddelde ligt met \(95\%\) zekerheid in \([5{,}63; 6{,}27]\text{.}\)

4p

Bereken de steekproefomvang als gegeven is dat \(S=2{,}00\text{.}\)

SteekproefomvangBijGemiddelde
008m - Betrouwbaarheidsintervallen - basis - 1ms

\(S=2{,}00\) en \(\text{breedte}=6{,}27-5{,}63=0{,}64\text{.}\)

1p

Los op \(4⋅{2{,}00 \over \sqrt{n}}=0{,}64\text{.}\)

1p

Voer in
\(y_1=4⋅{2{,}00 \over \sqrt{x}}\)
\(y_2=0{,}64\)
Optie 'intersect' geeft \(x=156{,}25\)

1p

De steekproefomvang is dus \(156\text{.}\)

1p

"