Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(2{,}1\%\) per seconde. Op \(x = 0\) is \(y = 395 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in seconden. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{seconde}} = 1 - {2{,}1 \over 100} = 0{,}979 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 395 \text{.}\) 1p ○ \(y = 395 ⋅ 0{,}979^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.1 Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({20{,}07 \over 20{,}48} ≈ 0{,}98\) 1p ○ \({19{,}67 \over 20{,}07} ≈ 0{,}98\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}98\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 20{,}48 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 20{,}48 ⋅ 0{,}98^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,020 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(15{,}19 - 13{,}34 = 1{,}85\) 1p ○ \(17{,}04 - 15{,}19 = 1{,}85\) 1p ○ Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = 1{,}85\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 13{,}34 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 1{,}85 x + 13{,}34\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \((2 , 9)\) en \((4 , 4) \text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 23ms - data pool: #87 (22ms) - dynamic variables a \(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {4 - 9 \over 4 - 2} = -2{,}5\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -2{,}5 x + b \\ \text{door } (2 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}-2{,}5 ⋅ 2 + b = 9 \\ -5 + b = 9 \\ b = 14\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y = -2{,}5 x + 14\) 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({4 \over 9})^{{1 \over 4 - 2}} = 0{,}666...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}666...^{x} \\ \text{door } (2 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}9 = b ⋅ 0{,}666...^{2} \\ b = {9 \over 0{,}666...^{2}} \\ b = 20{,}25\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 20{,}25 ⋅ 0{,}667^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 2\) is \(y = 520\) en bij \(x = 6\) is \(y = 620 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({620 \over 520})^{{1 \over 6 - 2}} = 1{,}044...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}044...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 520\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}044...^{2} = 520 \\ b = {520 \over 1{,}044...^{2}} ≈ 476\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 476 ⋅ 1{,}045^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 3\) is \(y = 321\) en bij \(x = 7\) is \(y = 267 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({267 \over 321})^{{1 \over 7 - 3}} = 0{,}954...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}954...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 321\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}954...^{3} = 321 \\ b = {321 \over 0{,}954...^{3}} ≈ 369\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 369 ⋅ 0{,}955^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({972{,}60 \over 7\,592{,}46})^{{1 \over 7 - 1}} ≈ 0{,}71\) 1p ○ \(g = ({175{,}48 \over 972{,}60})^{{1 \over 12 - 7}} ≈ 0{,}71\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}71\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}71^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 7\,592{,}46\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}71^{1} = 7\,592{,}46 \\ b = {7\,592{,}46 \over 0{,}71^{1}} \\ b ≈ 10\,693{,}61\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 10\,693{,}61 ⋅ 0{,}71^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,008 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({154{,}53 \over 57{,}18})^{{1 \over 2\,019 - 2\,014}} ≈ 1{,}22\) 1p ○ \(g = ({230{,}00 \over 154{,}53})^{{1 \over 2\,021 - 2\,019}} ≈ 1{,}22\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}22\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}22^{x} \\ x = 6 \text{ en } y = 57{,}18\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}22^{6} = 57{,}18 \\ b = {57{,}18 \over 1{,}22^{6}} \\ b ≈ 17{,}34\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 17{,}34 ⋅ 1{,}22^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.4 Logaritmisch papier en redeneren met groeiformules | |||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((2 , 70)\) en \((8 , 1\,000)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({1\,000 \over 70})^{{1 \over 8 - 2}} = 1{,}557...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}557...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 70{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}557...^{2} = 70{,}00 \\ b = {70{,}00 \over 1{,}557...^{2}} \\ b = 28{,}848...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 29 ⋅ 1{,}558^{x} \text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ Punt \(\text{A} (1 , 70\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (5 , 4\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (7 , 800) \text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A (1 , 40\,000) \text{,}\) \(B (4 , 700\,000)\) en \(C (9 , 2\,000) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p |