Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(4{,}5\%\) per uur. Op \(x=0\) is \(y=599\text{.}\) Hierbij is \(x\) in uur. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ \(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{uur}}=1+{4{,}5 \over 100}=1{,}045\text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=599\text{.}\) 1p ○ \(y=599⋅1{,}045^x\text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.1 Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,019\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({21{,}83 \over 16{,}79}≈1{,}30\) 1p ○ \({28{,}38 \over 21{,}83}≈1{,}30\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}3\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=16{,}79\text{.}\) 1p ○ Dus \(y=16{,}79⋅1{,}30^x\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({16{,}27 \over 17{,}49}≈0{,}93\) 1p ○ \({15{,}13 \over 16{,}27}≈0{,}93\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}93\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=17{,}49\text{.}\) 1p ○ Dus \(y=17{,}49⋅0{,}93^x\text{.}\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \((2, 5)\) en \((4, 2)\text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 27ms - data pool: #87 (27ms) - dynamic variables a \(y=ax+b\) met \(a={\Delta y \over \Delta x}={2-5 \over 4-2}=-1{,}5\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=-1{,}5x+b \\ \text{door }(2, 5)\end{rcases}\begin{matrix}-1{,}5⋅2+b=5 \\ -3+b=5 \\ b=8\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y=-1{,}5x+8\) 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=({2 \over 5})^{{1 \over 4-2}}=0{,}632...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}632...^x \\ \text{door }(2, 5)\end{rcases}\begin{matrix}5=b⋅0{,}632...^2 \\ b={5 \over 0{,}632...^2} \\ b=12{,}5\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=12{,}5⋅0{,}632^x\text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x=4\) is \(y=412\) en bij \(x=6\) is \(y=438\text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y=b⋅g^x\) met \(g=({438 \over 412})^{{1 \over 6-4}}=1{,}031...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅1{,}031...^x \\ x=4\text{ en }y=412\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}031...^4=412 \\ b={412 \over 1{,}031...^4}≈365\end{matrix}\) 1p ○ \(y=365⋅1{,}031^x\text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x=3\) is \(y=185\) en bij \(x=5\) is \(y=173\text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables b \(y=b⋅g^x\) met \(g=({173 \over 185})^{{1 \over 5-3}}=0{,}967...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}967...^x \\ x=3\text{ en }y=185\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}967...^3=185 \\ b={185 \over 0{,}967...^3}≈205\end{matrix}\) 1p ○ \(y=205⋅0{,}967^x\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g=({15{,}29 \over 14{,}43})^{{1 \over 6-5}}≈1{,}06\) 1p ○ \(g=({19{,}31 \over 15{,}29})^{{1 \over 10-6}}≈1{,}06\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}06\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅1{,}06^x \\ x=5\text{ en }y=14{,}43\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}06^5=14{,}43 \\ b={14{,}43 \over 1{,}06^5} \\ b≈10{,}78\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=10{,}78⋅1{,}06^x\text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,005\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({\Delta y \over \Delta x}={13{,}38-13{,}18 \over 2\,013-2\,008}=0{,}04\) 1p ○ \({\Delta y \over \Delta x}={13{,}62-13{,}38 \over 2\,019-2\,013}=0{,}04\) 1p ○ De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y=ax+b\) met \(a=0{,}04\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=0{,}04x+b \\ x=3\text{ en }y=13{,}18\end{rcases}\begin{matrix}0{,}04⋅3+b=13{,}18 \\ 0{,}12+b=13{,}18 \\ b=13{,}06\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=0{,}04x+13{,}06\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.4 Logaritmisch papier en redeneren met groeiformules | |||||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y=b⋅g^x\text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1, 90)\) en \((8, 20\,000)\) aflezen. 1p ○ \(y=b⋅g^x\) met \(g=({20\,000 \over 90})^{{1 \over 8-1}}=2{,}163...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅2{,}163...^x \\ x=1\text{ en }y=90{,}00\end{rcases}\begin{matrix}b⋅2{,}163...^1=90{,}00 \\ b={90{,}00 \over 2{,}163...^1} \\ b=41{,}589...\end{matrix}\) 1p ○ \(y=42⋅2{,}164^x\text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A\text{,}\) \(B\) en \(C\text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ Punt \(\text{A}(2, 8\,000)\text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B}(5, 1\,000\,000)\text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C}(9, 60\,000)\text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A(2, 400)\text{,}\) \(B(6, 10)\) en \(C(9, 50\,000)\text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ 3p |