Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(1{,}7\%\) per jaar. Op \(x = 0\) is \(y = 406 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in jaren. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 2ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{jaar}} = 1 + {1{,}7 \over 100} = 1{,}017 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 406 \text{.}\) 1p ○ \(y = 406 ⋅ 1{,}017^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.1 Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,020 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({11{,}19 \over 10{,}97} ≈ 1{,}02\) 1p ○ \({11{,}41 \over 11{,}19} ≈ 1{,}02\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}02\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 10{,}97 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 10{,}97 ⋅ 1{,}02^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(10{,}98 - 10{,}39 = 0{,}59\) 1p ○ \(11{,}57 - 10{,}98 = 0{,}59\) 1p ○ Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = 0{,}59\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 10{,}39 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 0{,}59 x + 10{,}39\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \((6 , 5)\) en \((9 , 2) \text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 27ms - data pool: #87 (27ms) - dynamic variables a \(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {2 - 5 \over 9 - 6} = -1\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -x + b \\ \text{door } (6 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}-1 ⋅ 6 + b = 5 \\ -6 + b = 5 \\ b = 11\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y = -x + 11\) 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({2 \over 5})^{{1 \over 9 - 6}} = 0{,}736...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}736...^{x} \\ \text{door } (6 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}5 = b ⋅ 0{,}736...^{6} \\ b = {5 \over 0{,}736...^{6}} \\ b = 31{,}25\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 31{,}25 ⋅ 0{,}737^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 444\) en bij \(x = 5\) is \(y = 488 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({488 \over 444})^{{1 \over 5 - 3}} = 1{,}048...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}048...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 444\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}048...^{3} = 444 \\ b = {444 \over 1{,}048...^{3}} ≈ 385\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 385 ⋅ 1{,}048^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 3\) is \(y = 450\) en bij \(x = 5\) is \(y = 420 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({420 \over 450})^{{1 \over 5 - 3}} = 0{,}966...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}966...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 450\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}966...^{3} = 450 \\ b = {450 \over 0{,}966...^{3}} ≈ 499\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 499 ⋅ 0{,}966^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,006 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({187{,}07 \over 87{,}14})^{{1 \over 2\,015 - 2\,012}} ≈ 1{,}29\) 1p ○ \(g = ({668{,}26 \over 187{,}07})^{{1 \over 2\,020 - 2\,015}} ≈ 1{,}29\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}29\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}29^{x} \\ x = 6 \text{ en } y = 87{,}14\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}29^{6} = 87{,}14 \\ b = {87{,}14 \over 1{,}29^{6}} \\ b ≈ 18{,}91\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 18{,}91 ⋅ 1{,}29^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({18{,}52 \over 19{,}68})^{{1 \over 8 - 5}} ≈ 0{,}98\) 1p ○ \(g = ({17{,}79 \over 18{,}52})^{{1 \over 10 - 8}} ≈ 0{,}98\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}98\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}98^{x} \\ x = 5 \text{ en } y = 19{,}68\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}98^{5} = 19{,}68 \\ b = {19{,}68 \over 0{,}98^{5}} \\ b ≈ 21{,}77\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 21{,}77 ⋅ 0{,}98^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.4 Logaritmisch papier en redeneren met groeiformules | |||||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1 , 500)\) en \((8 , 8\,000)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({8\,000 \over 500})^{{1 \over 8 - 1}} = 1{,}485...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}485...^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 500{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}485...^{1} = 500{,}00 \\ b = {500{,}00 \over 1{,}485...^{1}} \\ b = 336{,}475...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 336 ⋅ 1{,}486^{x} \text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ Punt \(\text{A} (1 , 8\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (4 , 500\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (8 , 60\,000) \text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A (3 , 10\,000) \text{,}\) \(B (4 , 2\,000)\) en \(C (7 , 90) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p |