Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(2{,}7\%\) per kwartier. Op \(x = 0\) is \(y = 284 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in kwartier. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 5ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{kwartier}} = 1 - {2{,}7 \over 100} = 0{,}973 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 284 \text{.}\) 1p ○ \(y = 284 ⋅ 0{,}973^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.1 Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({29{,}84 \over 38{,}75} ≈ 0{,}77\) 1p ○ \({22{,}97 \over 29{,}84} ≈ 0{,}77\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}77\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 38{,}75 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 38{,}75 ⋅ 0{,}77^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({23{,}57 \over 27{,}09} ≈ 0{,}87\) 1p ○ \({20{,}50 \over 23{,}57} ≈ 0{,}87\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}87\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 27{,}09 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 27{,}09 ⋅ 0{,}87^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \((4 , 9)\) en \((6 , 6) \text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 38ms - data pool: #87 (38ms) - dynamic variables a \(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {6 - 9 \over 6 - 4} = -1{,}5\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -1{,}5 x + b \\ \text{door } (4 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}-1{,}5 ⋅ 4 + b = 9 \\ -6 + b = 9 \\ b = 15\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y = -1{,}5 x + 15\) 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({6 \over 9})^{{1 \over 6 - 4}} = 0{,}816...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}816...^{x} \\ \text{door } (4 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}9 = b ⋅ 0{,}816...^{4} \\ b = {9 \over 0{,}816...^{4}} \\ b = 20{,}25\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 20{,}25 ⋅ 0{,}816^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 585\) en bij \(x = 8\) is \(y = 681 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({681 \over 585})^{{1 \over 8 - 3}} = 1{,}030...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}030...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 585\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}030...^{3} = 585 \\ b = {585 \over 1{,}030...^{3}} ≈ 534\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 534 ⋅ 1{,}031^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 2\) is \(y = 529\) en bij \(x = 6\) is \(y = 440 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({440 \over 529})^{{1 \over 6 - 2}} = 0{,}954...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}954...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 529\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}954...^{2} = 529 \\ b = {529 \over 0{,}954...^{2}} ≈ 580\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 580 ⋅ 0{,}955^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,004 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({94{,}82 \over 173{,}34})^{{1 \over 2\,011 - 2\,007}} ≈ 0{,}86\) 1p ○ \(g = ({44{,}61 \over 94{,}82})^{{1 \over 2\,016 - 2\,011}} ≈ 0{,}86\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}86\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}86^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 173{,}34\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}86^{3} = 173{,}34 \\ b = {173{,}34 \over 0{,}86^{3}} \\ b ≈ 272{,}52\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 272{,}52 ⋅ 0{,}86^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({93{,}51 \over 223{,}59})^{{1 \over 9 - 4}} ≈ 0{,}84\) 1p ○ \(g = ({32{,}85 \over 93{,}51})^{{1 \over 15 - 9}} ≈ 0{,}84\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}84\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}84^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 223{,}59\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}84^{4} = 223{,}59 \\ b = {223{,}59 \over 0{,}84^{4}} \\ b ≈ 449{,}09\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 449{,}09 ⋅ 0{,}84^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.4 Logaritmisch papier en redeneren met groeiformules | |||||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1 , 200)\) en \((8 , 8\,000)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({8\,000 \over 200})^{{1 \over 8 - 1}} = 1{,}693...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}693...^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 200{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}693...^{1} = 200{,}00 \\ b = {200{,}00 \over 1{,}693...^{1}} \\ b = 118{,}076...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 118 ⋅ 1{,}694^{x} \text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ Punt \(\text{A} (1 , 100\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (4 , 60\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (7 , 900) \text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A (2 , 500\,000) \text{,}\) \(B (5 , 30\,000)\) en \(C (9 , 100) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p |