Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(1{,}7\%\) per dag. Op \(x=0\) is \(y=397\text{.}\) Hierbij is \(x\) in dagen. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ \(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{dag}}=1-{1{,}7 \over 100}=0{,}983\text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=397\text{.}\) 1p ○ \(y=397⋅0{,}983^x\text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.1 Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({13{,}38 \over 13{,}25}≈1{,}01\) 1p ○ \({13{,}52 \over 13{,}38}≈1{,}01\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}01\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=13{,}25\text{.}\) 1p ○ Dus \(y=13{,}25⋅1{,}01^x\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,022\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({23{,}51 \over 30{,}93}≈0{,}76\) 1p ○ \({17{,}87 \over 23{,}51}≈0{,}76\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}76\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=30{,}93\text{.}\) 1p ○ Dus \(y=30{,}93⋅0{,}76^x\text{.}\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \((3, 1)\) en \((9, 4)\text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 29ms - data pool: #87 (29ms) - dynamic variables a \(y=ax+b\) met \(a={\Delta y \over \Delta x}={4-1 \over 9-3}=0{,}5\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=0{,}5x+b \\ \text{door }(3, 1)\end{rcases}\begin{matrix}0{,}5⋅3+b=1 \\ 1{,}5+b=1 \\ b=-0{,}5\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y=0{,}5x-0{,}5\) 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=({4 \over 1})^{{1 \over 9-3}}=1{,}259...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅1{,}259...^x \\ \text{door }(3, 1)\end{rcases}\begin{matrix}1=b⋅1{,}259...^3 \\ b={1 \over 1{,}259...^3} \\ b=0{,}5\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=0{,}5⋅1{,}260^x\text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x=5\) is \(y=281\) en bij \(x=10\) is \(y=329\text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y=b⋅g^x\) met \(g=({329 \over 281})^{{1 \over 10-5}}=1{,}032...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅1{,}032...^x \\ x=5\text{ en }y=281\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}032...^5=281 \\ b={281 \over 1{,}032...^5}≈240\end{matrix}\) 1p ○ \(y=240⋅1{,}032^x\text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x=5\) is \(y=370\) en bij \(x=8\) is \(y=327\text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables b \(y=b⋅g^x\) met \(g=({327 \over 370})^{{1 \over 8-5}}=0{,}959...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}959...^x \\ x=5\text{ en }y=370\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}959...^5=370 \\ b={370 \over 0{,}959...^5}≈455\end{matrix}\) 1p ○ \(y=455⋅0{,}960^x\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g=({55{,}29 \over 17{,}62})^{{1 \over 7-1}}≈1{,}21\) 1p ○ \(g=({118{,}52 \over 55{,}29})^{{1 \over 11-7}}≈1{,}21\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}21\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅1{,}21^x \\ x=1\text{ en }y=17{,}62\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}21^1=17{,}62 \\ b={17{,}62 \over 1{,}21^1} \\ b≈14{,}56\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=14{,}56⋅1{,}21^x\text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,016\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({\Delta y \over \Delta x}={26{,}08-18{,}96 \over 2\,021-2\,017}=1{,}78\) 1p ○ \({\Delta y \over \Delta x}={31{,}42-26{,}08 \over 2\,024-2\,021}=1{,}78\) 1p ○ De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y=ax+b\) met \(a=1{,}78\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=1{,}78x+b \\ x=1\text{ en }y=18{,}96\end{rcases}\begin{matrix}1{,}78⋅1+b=18{,}96 \\ 1{,}78+b=18{,}96 \\ b=17{,}18\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=1{,}78x+17{,}18\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.4 Logaritmisch papier en redeneren met groeiformules | |||||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y=b⋅g^x\text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1, 80\,000)\) en \((7, 400)\) aflezen. 1p ○ \(y=b⋅g^x\) met \(g=({400 \over 80\,000})^{{1 \over 7-1}}=0{,}413...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}413...^x \\ x=1\text{ en }y=80\,000{,}00\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}413...^1=80\,000{,}00 \\ b={80\,000{,}00 \over 0{,}413...^1} \\ b=193461{,}694...\end{matrix}\) 1p ○ \(y=193\,462⋅0{,}414^x\text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A\text{,}\) \(B\) en \(C\text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ Punt \(\text{A}(2, 500)\text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B}(4, 3)\text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C}(8, 9\,000)\text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A(1, 1)\text{,}\) \(B(4, 50)\) en \(C(9, 4\,000)\text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ 3p |