Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(3{,}3\%\) per jaar. Op \(x = 0\) is \(y = 419 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in jaren. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{jaar}} = 1 - {3{,}3 \over 100} = 0{,}967 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 419 \text{.}\) 1p ○ \(y = 419 ⋅ 0{,}967^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.1 Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({27{,}74 \over 31{,}89} ≈ 0{,}87\) 1p ○ \({24{,}14 \over 27{,}74} ≈ 0{,}87\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}87\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 31{,}89 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 31{,}89 ⋅ 0{,}87^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(17{,}41 - 18{,}35 = -0{,}94\) 1p ○ \(16{,}47 - 17{,}41 = -0{,}94\) 1p ○ Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = -0{,}94\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 18{,}35 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = -0{,}94 x + 18{,}35\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \((4 , 9)\) en \((6 , 2) \text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 29ms - data pool: #87 (29ms) - dynamic variables a \(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {2 - 9 \over 6 - 4} = -3{,}5\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -3{,}5 x + b \\ \text{door } (4 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}-3{,}5 ⋅ 4 + b = 9 \\ -14 + b = 9 \\ b = 23\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y = -3{,}5 x + 23\) 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({2 \over 9})^{{1 \over 6 - 4}} = 0{,}471...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}471...^{x} \\ \text{door } (4 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}9 = b ⋅ 0{,}471...^{4} \\ b = {9 \over 0{,}471...^{4}} \\ b = 182{,}25\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 182{,}25 ⋅ 0{,}471^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 2\) is \(y = 577\) en bij \(x = 6\) is \(y = 657 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({657 \over 577})^{{1 \over 6 - 2}} = 1{,}032...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}032...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 577\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}032...^{2} = 577 \\ b = {577 \over 1{,}032...^{2}} ≈ 541\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 541 ⋅ 1{,}033^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 5\) is \(y = 204\) en bij \(x = 9\) is \(y = 177 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({177 \over 204})^{{1 \over 9 - 5}} = 0{,}965...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}965...^{x} \\ x = 5 \text{ en } y = 204\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}965...^{5} = 204 \\ b = {204 \over 0{,}965...^{5}} ≈ 244\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 244 ⋅ 0{,}965^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({44{,}00 \over 20{,}53})^{{1 \over 6 - 2}} ≈ 1{,}21\) 1p ○ \(g = ({53{,}24 \over 44{,}00})^{{1 \over 7 - 6}} ≈ 1{,}21\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}21\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}21^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 20{,}53\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}21^{2} = 20{,}53 \\ b = {20{,}53 \over 1{,}21^{2}} \\ b ≈ 14{,}02\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 14{,}02 ⋅ 1{,}21^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,006 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({22{,}52 \over 21{,}23})^{{1 \over 2\,014 - 2\,012}} ≈ 1{,}03\) 1p ○ \(g = ({23{,}20 \over 22{,}52})^{{1 \over 2\,015 - 2\,014}} ≈ 1{,}03\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}03\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}03^{x} \\ x = 6 \text{ en } y = 21{,}23\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}03^{6} = 21{,}23 \\ b = {21{,}23 \over 1{,}03^{6}} \\ b ≈ 17{,}78\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 17{,}78 ⋅ 1{,}03^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.4 Logaritmisch papier en redeneren met groeiformules | |||||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1 , 600)\) en \((8 , 80\,000)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({80\,000 \over 600})^{{1 \over 8 - 1}} = 2{,}011...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 2{,}011...^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 600{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 2{,}011...^{1} = 600{,}00 \\ b = {600{,}00 \over 2{,}011...^{1}} \\ b = 298{,}255...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 298 ⋅ 2{,}012^{x} \text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ Punt \(\text{A} (3 , 30) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (5 , 2) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (8 , 8\,000) \text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A (2 , 8\,000) \text{,}\) \(B (5 , 60\,000)\) en \(C (9 , 4\,000\,000) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p |