Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

havo wiskunde A	4.3 Allerlei telproblemen
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Een slinger bestaat uit \(7\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(3\) rode vlaggetjes? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal}=\binom{7}{3}=35\) 1p 1p b Willem gooit met een muntstuk. Hoeveel mogelijkheden zijn er om \(4\) keer kop en \(2\) keer munt te gooien? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{4+2}{4}=15\) 1p 1p c Beertje Pol eet \(6\) pannenkoeken, sommigen met met appel en de rest met spek. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^6=64\) 1p 2p d Sara maakt een letterrijtje van \(4\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk met hoogstens \(2\) B's? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 1ms d Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{4}{0}+\binom{4}{1}+\binom{4}{2}=11\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(5\) stappen naar rechts en \(6\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{11}{5}=462\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{11}{6}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{7}{4}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{11}{6}⋅\binom{7}{4}=16\,170\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{6}{4}⋅\binom{9}{3}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{15}{7}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{15}{7}-\binom{6}{4}⋅\binom{9}{3}=5\,175\) 1p

4.3 Allerlei telproblemen

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Een slinger bestaat uit \(7\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(3\) rode vlaggetjes?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal}=\binom{7}{3}=35\)

Willem gooit met een muntstuk. Hoeveel mogelijkheden zijn er om \(4\) keer kop en \(2\) keer munt te gooien?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{4+2}{4}=15\)

Beertje Pol eet \(6\) pannenkoeken, sommigen met met appel en de rest met spek. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^6=64\)

Sara maakt een letterrijtje van \(4\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk met hoogstens \(2\) B's?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 1ms

Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{4}{0}+\binom{4}{1}+\binom{4}{2}=11\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(5\) stappen naar rechts en \(6\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{11}{5}=462\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{11}{6}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{7}{4}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{11}{6}⋅\binom{7}{4}=16\,170\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{6}{4}⋅\binom{9}{3}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{15}{7}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{15}{7}-\binom{6}{4}⋅\binom{9}{3}=5\,175\)