Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

havo wiskunde A	4.3 Allerlei telproblemen
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Een slinger bestaat uit \(4\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(2\) rode vlaggetjes? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal}=\binom{4}{2}=6\) 1p 1p b Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(2\) korte en \(3\) lange signalen? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{2+3}{2}=10\) 1p 1p c Willem gooit \(9\) keer met een muntstuk. Hoeveel verschillende rijtjes van kop en munt kan hij gooien? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^9=512\) 1p 2p d Op een aanrecht staat een stapel van \(7\) borden in de kleuren roze en groen. Hoeveel verschillende stapels zijn er mogelijk met hoogstens \(2\) groene borden? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{7}{0}+\binom{7}{1}+\binom{7}{2}=29\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(5\) stappen naar rechts en \(7\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{12}{5}=792\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{5}{2}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{10}{4}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{5}{2}⋅\binom{10}{4}=2\,100\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{10}{6}⋅\binom{10}{7}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{20}{13}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{20}{13}-\binom{10}{6}⋅\binom{10}{7}=52\,320\) 1p

4.3 Allerlei telproblemen

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Een slinger bestaat uit \(4\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(2\) rode vlaggetjes?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal}=\binom{4}{2}=6\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(2\) korte en \(3\) lange signalen?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{2+3}{2}=10\)

Willem gooit \(9\) keer met een muntstuk. Hoeveel verschillende rijtjes van kop en munt kan hij gooien?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^9=512\)

Op een aanrecht staat een stapel van \(7\) borden in de kleuren roze en groen. Hoeveel verschillende stapels zijn er mogelijk met hoogstens \(2\) groene borden?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{7}{0}+\binom{7}{1}+\binom{7}{2}=29\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(5\) stappen naar rechts en \(7\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{12}{5}=792\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{5}{2}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{10}{4}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{5}{2}⋅\binom{10}{4}=2\,100\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{10}{6}⋅\binom{10}{7}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{20}{13}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{20}{13}-\binom{10}{6}⋅\binom{10}{7}=52\,320\)