Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (-3 , 1)\) en \(B (1 , 0) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(-3 - 1)^{2} + (1 - 0)^{2}} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (-5 , -4)\) en de lijn \(l{:}\,3 x - y = -1 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (49ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-x - 3 y = c \\ A (-5 , -4)\end{rcases} c = -1 ⋅ -5 - 3 ⋅ -4 = 17\) Dus \(n{:}\,-x - 3 y = 17 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}3 x - y = -1 \\ -x - 3 y = 17\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3 x - y = -1 \\ -3 x - 9 y = 51\end{cases}\) Optellen geeft \(-10 y = 50\) dus \(y = -5 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3 x - y = -1 \\ y = -5\end{rcases} \begin{matrix}3 x - 1 ⋅ -5 = -1 \\ x = -2\end{matrix}\) Dus \(S (-2 , -5) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-5 - -2)^{2} + (-4 - -5)^{2}} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 30\) en het punt \(A (4 , -4) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(M (3 , 1)\) en \(r = \sqrt{30} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(4 - 3)^{2} + (-4 - 1)^{2}} = \sqrt{26} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) < r \text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 x + 6 y + 21 = 0\) en het punt \(A (-6 , -4) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 3ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 5)^{2} + (y + 3)^{2} = 13\) Dus \(M (-5 , -3)\) en \(r = \sqrt{13} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-5 - -6)^{2} + (-3 - -4)^{2}} = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2} < \sqrt{13} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = \sqrt{13} - \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 6\) en de lijn \(l{:}\,x - 2 y = 3 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (49ms) ○ \(M (3 , -5)\) en \(r = \sqrt{6} \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - y = c \\ M (3 , -5)\end{rcases} c = -2 ⋅ 3 - 1 ⋅ -5 = -1\) Dus \(n{:}\,-2 x - y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}x - 2 y = 3 \\ -2 x - y = -1\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x - 4 y = 6 \\ -2 x - y = -1\end{cases}\) Optellen geeft \(-5 y = 5\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x - 2 y = 3 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}x - 2 ⋅ -1 = 3 \\ x = 1\end{matrix}\) Dus \(S (1 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(3 - 1)^{2} + (-5 - -1)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{20} - \sqrt{6} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y + 15 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x - 4)^{2} + (y + 4)^{2} = 12 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 10\) Dus \(M_{1} (-3 , 4)\) en \(r_{1} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (4 , -4) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(-3 - 4)^{2} + (4 - -4)^{2}} = \sqrt{113} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{12} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{113} - \sqrt{10} - \sqrt{12} \text{.}\) 1p

"