Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(2, 1)\) en \(B(4, 5)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(2-4)^2+(1-5)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(-4, -5)\) en de lijn \(l{:}\,-x-3y=-1\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #1576 (120ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-3x+y=c \\ A(-4, -5)\end{rcases}c=-3⋅-4+1⋅-5=7\) Dus \(n{:}\,-3x+y=7\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-x-3y=-1 \\ -3x+y=7\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-3x-9y=-3 \\ -3x+y=7\end{cases}\) Aftrekken geeft \(-10y=-10\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-x-3y=-1 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}-x-3⋅1=-1 \\ x=-2\end{matrix}\) Dus \(S(-2, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-4--2)^2+(-5-1)^2}=\sqrt{40}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x-2)^2+(y+4)^2=29\) en het punt \(A(7, -7)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(2, -4)\) en \(r=\sqrt{29}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(7-2)^2+(-7--4)^2}=\sqrt{34}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(A\) ligt buiten \(c\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(-3, 5)\) en de lijn \(l{:}\,-x+3y=-2\text{.}\) 5p Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A(-3, 5)\) die de lijn \(l{:}\,-x+3y=-2\) raakt. OpstellenCirkelMetRaaklijn 00bw - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #1576 (120ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,3x+y=c \\ A(-3, 5)\end{rcases}c=3⋅-3+1⋅5=-4\) Dus \(n{:}\,3x+y=-4\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-x+3y=-2 \\ 3x+y=-4\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-3x+9y=-6 \\ 3x+y=-4\end{cases}\) Optellen geeft \(10y=-10\) dus \(y=-1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-x+3y=-2 \\ y=-1\end{rcases}\begin{matrix}-x+3⋅-1=-2 \\ x=-1\end{matrix}\) Dus \(S(-1, -1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-3--1)^2+(5--1)^2}=\sqrt{40}\text{.}\) 1p ○ \(A(-3, 5)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{40}\text{,}\) dus \(c{:}\,(x+3)^2+(y-5)^2=40\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+8x+10y+26=0\) en het punt \(A(0, -1)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+4)^2+(y+5)^2=15\) Dus \(M(-4, -5)\) en \(r=\sqrt{15}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-4-0)^2+(-5--1)^2}=\sqrt{32}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(d(c, A)=d(M, A)-r=\sqrt{32}-\sqrt{15}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+4)^2+(y-4)^2=13\) en de lijn \(l{:}\,5x-y=2\text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 121ms - data pool: #1576 (120ms) ○ \(M(-4, 4)\) en \(r=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-x-5y=c \\ M(-4, 4)\end{rcases}c=-1⋅-4-5⋅4=-16\) Dus \(n{:}\,-x-5y=-16\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}5x-y=2 \\ -x-5y=-16\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 5\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}5x-y=2 \\ -5x-25y=-80\end{cases}\) Optellen geeft \(-26y=-78\) dus \(y=3\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}5x-y=2 \\ y=3\end{rcases}\begin{matrix}5x-1⋅3=2 \\ x=1\end{matrix}\) Dus \(S(1, 3)\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(-4-1)^2+(4-3)^2}=\sqrt{26}\text{.}\) 1p ○ \(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{26}-\sqrt{13}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2-2x+12y+24=0\) en \(c_2{:}\,(x+8)^2+(y-1)^2=4\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-1)^2+(y+6)^2=13\) Dus \(M_1(1, -6)\) en \(r_1=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(-8, 1)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(1--8)^2+(-6-1)^2}=\sqrt{130}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{4}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{130}-\sqrt{13}-\sqrt{4}\text{.}\) 1p

"