Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (-3 , -2)\) en \(B (-4 , -4) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(-3 - -4)^{2} + (-2 - -4)^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (-2 , -3)\) en de lijn \(l{:}\,2 x - 4 y = -2 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (51ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-4 x - 2 y = c \\ A (-2 , -3)\end{rcases} c = -4 ⋅ -2 - 2 ⋅ -3 = 14\) Dus \(n{:}\,-4 x - 2 y = 14 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}2 x - 4 y = -2 \\ -4 x - 2 y = 14\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x - 8 y = -4 \\ -4 x - 2 y = 14\end{cases}\) Optellen geeft \(-10 y = 10\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2 x - 4 y = -2 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}2 x - 4 ⋅ -1 = -2 \\ x = -3\end{matrix}\) Dus \(S (-3 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-2 - -3)^{2} + (-3 - -1)^{2}} = \sqrt{5} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 8\) en het punt \(A (5 , 2) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(M (2 , 1)\) en \(r = \sqrt{8} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(5 - 2)^{2} + (2 - 1)^{2}} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(A\) ligt buiten \(c \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0\) en het punt \(A (-3 , 0) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 5\) Dus \(M (-1 , 2)\) en \(r = \sqrt{5} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-1 - -3)^{2} + (2 - 0)^{2}} = \sqrt{8} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(d(c , A) = d(M , A) - r = \sqrt{8} - \sqrt{5} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 3)^{2} + (y + 4)^{2} = 33\) en de lijn \(l{:}\,2 x + y = 5 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (51ms) ○ \(M (-3 , -4)\) en \(r = \sqrt{33} \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,x - 2 y = c \\ M (-3 , -4)\end{rcases} c = 1 ⋅ -3 - 2 ⋅ -4 = 5\) Dus \(n{:}\,x - 2 y = 5 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}2 x + y = 5 \\ x - 2 y = 5\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x + y = 5 \\ 2 x - 4 y = 10\end{cases}\) Aftrekken geeft \(5 y = -5\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2 x + y = 5 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}2 x + 1 ⋅ -1 = 5 \\ x = 3\end{matrix}\) Dus \(S (3 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(-3 - 3)^{2} + (-4 - -1)^{2}} = \sqrt{45} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{45} - \sqrt{33} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 4 y + 4 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x + 4)^{2} + (y + 5)^{2} = 4 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 16\) Dus \(M_{1} (4 , 2)\) en \(r_{1} = \sqrt{16} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (-4 , -5) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(4 - -4)^{2} + (2 - -5)^{2}} = \sqrt{113} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{4} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{113} - \sqrt{16} - \sqrt{4} \text{.}\) 1p

"