Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (-4 , -1)\) en \(B (-6 , -5) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(-4 - -6)^{2} + (-1 - -5)^{2}} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (4 , 5)\) en de lijn \(l{:}\,x - 2 y = -1 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (58ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - y = c \\ A (4 , 5)\end{rcases} c = -2 ⋅ 4 - 1 ⋅ 5 = -13\) Dus \(n{:}\,-2 x - y = -13 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}x - 2 y = -1 \\ -2 x - y = -13\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x - 4 y = -2 \\ -2 x - y = -13\end{cases}\) Optellen geeft \(-5 y = -15\) dus \(y = 3 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x - 2 y = -1 \\ y = 3\end{rcases} \begin{matrix}x - 2 ⋅ 3 = -1 \\ x = 5\end{matrix}\) Dus \(S (5 , 3) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(4 - 5)^{2} + (5 - 3)^{2}} = \sqrt{5} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 15\) en het punt \(A (6 , 0) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(M (3 , 2)\) en \(r = \sqrt{15} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(6 - 3)^{2} + (0 - 2)^{2}} = \sqrt{13} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) < r \text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x + 4 = 0\) en het punt \(A (-1 , 3) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 4)^{2} + y^{2} = 12\) Dus \(M (-4 , 0)\) en \(r = \sqrt{12} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-4 - -1)^{2} + (0 - 3)^{2}} = \sqrt{18} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(d(c , A) = d(M , A) - r = \sqrt{18} - \sqrt{12} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 7\) en de lijn \(l{:}\,3 x - 2 y = -4 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (58ms) ○ \(M (5 , 3)\) en \(r = \sqrt{7} \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - 3 y = c \\ M (5 , 3)\end{rcases} c = -2 ⋅ 5 - 3 ⋅ 3 = -19\) Dus \(n{:}\,-2 x - 3 y = -19 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}3 x - 2 y = -4 \\ -2 x - 3 y = -19\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}6 x - 4 y = -8 \\ -6 x - 9 y = -57\end{cases}\) Optellen geeft \(-13 y = -65\) dus \(y = 5 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3 x - 2 y = -4 \\ y = 5\end{rcases} \begin{matrix}3 x - 2 ⋅ 5 = -4 \\ x = 2\end{matrix}\) Dus \(S (2 , 5) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(5 - 2)^{2} + (3 - 5)^{2}} = \sqrt{13} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{13}-\sqrt{7} = \sqrt{13}-\sqrt{7} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} - 16 x - 6 y + 65 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 7 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 8)^{2} + (y - 3)^{2} = 8\) Dus \(M_{1} (8 , 3)\) en \(r_{1} = \sqrt{8} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (2 , -3) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(8 - 2)^{2} + (3 - -3)^{2}} = \sqrt{72} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{7} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{72}-\sqrt{8}-\sqrt{7} = -\sqrt{7}+4 \sqrt{2} \text{.}\) 1p

"