Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (4 , 1)\) en \(B (0 , -2) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (1 - -2)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (-2 , 3)\) en de lijn \(l{:}\,x - 4 y = 3 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (57ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-4 x - y = c \\ A (-2 , 3)\end{rcases} c = -4 ⋅ -2 - 1 ⋅ 3 = 5\) Dus \(n{:}\,-4 x - y = 5 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}x - 4 y = 3 \\ -4 x - y = 5\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x - 16 y = 12 \\ -4 x - y = 5\end{cases}\) Optellen geeft \(-17 y = 17\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x - 4 y = 3 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}x - 4 ⋅ -1 = 3 \\ x = -1\end{matrix}\) Dus \(S (-1 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-2 - -1)^{2} + (3 - -1)^{2}} = \sqrt{17} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 13\) en het punt \(A (-4 , 0) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M (-2 , -3)\) en \(r = \sqrt{13} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-4 - -2)^{2} + (0 - -3)^{2}} = \sqrt{13} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = r \text{,}\) dus \(A\) ligt op \(c \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + 15 = 0\) en het punt \(A (-2 , 4) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 11\) Dus \(M (-1 , 5)\) en \(r = \sqrt{11} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-1 - -2)^{2} + (5 - 4)^{2}} = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2} < \sqrt{11} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = \sqrt{11} - \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 2)^{2} + (y + 5)^{2} = 3\) en de lijn \(l{:}\,x + 4 y = -5 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (57ms) ○ \(M (-2 , -5)\) en \(r = \sqrt{3} \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,4 x - y = c \\ M (-2 , -5)\end{rcases} c = 4 ⋅ -2 - 1 ⋅ -5 = -3\) Dus \(n{:}\,4 x - y = -3 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}x + 4 y = -5 \\ 4 x - y = -3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x + 16 y = -20 \\ 4 x - y = -3\end{cases}\) Aftrekken geeft \(17 y = -17\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x + 4 y = -5 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}x + 4 ⋅ -1 = -5 \\ x = -1\end{matrix}\) Dus \(S (-1 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(-2 - -1)^{2} + (-5 - -1)^{2}} = \sqrt{17} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{17} - \sqrt{3} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x + 14 y + 52 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x - 5)^{2} + (y + 1)^{2} = 15 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 4)^{2} + (y + 7)^{2} = 13\) Dus \(M_{1} (-4 , -7)\) en \(r_{1} = \sqrt{13} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (5 , -1) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(-4 - 5)^{2} + (-7 - -1)^{2}} = \sqrt{117} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{15} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{117} - \sqrt{13} - \sqrt{15} \text{.}\) 1p

"