Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(-1, -2)\) en \(B(3, 3)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(-1-3)^2+(-2-3)^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(5, 2)\) en de lijn \(l{:}\,2x-y=-2\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #1576 (127ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-x-2y=c \\ A(5, 2)\end{rcases}c=-1⋅5-2⋅2=-9\) Dus \(n{:}\,-x-2y=-9\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}2x-y=-2 \\ -x-2y=-9\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x-y=-2 \\ -2x-4y=-18\end{cases}\) Optellen geeft \(-5y=-20\) dus \(y=4\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2x-y=-2 \\ y=4\end{rcases}\begin{matrix}2x-1⋅4=-2 \\ x=1\end{matrix}\) Dus \(S(1, 4)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-1)^2+(2-4)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+2)^2+(y-1)^2=46\) en het punt \(A(3, -3)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(-2, 1)\) en \(r=\sqrt{46}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(3--2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{41}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)<r\text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10x+11=0\) en het punt \(A(-6, -1)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+5)^2+y^2=14\) Dus \(M(-5, 0)\) en \(r=\sqrt{14}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-5--6)^2+(0--1)^2}=\sqrt{2}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2}<\sqrt{14}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=\sqrt{14}-\sqrt{2}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x-4)^2+(y+3)^2=28\) en de lijn \(l{:}\,2x-4y=-5\text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #1576 (127ms) ○ \(M(4, -3)\) en \(r=\sqrt{28}\text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-4x-2y=c \\ M(4, -3)\end{rcases}c=-4⋅4-2⋅-3=-10\) Dus \(n{:}\,-4x-2y=-10\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}2x-4y=-5 \\ -4x-2y=-10\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4x-8y=-10 \\ -4x-2y=-10\end{cases}\) Optellen geeft \(-10y=-20\) dus \(y=2\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2x-4y=-5 \\ y=2\end{rcases}\begin{matrix}2x-4⋅2=-5 \\ x=1\frac{1}{2}\end{matrix}\) Dus \(S(1\frac{1}{2}, 2)\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(4-1\frac{1}{2})^2+(-3-2)^2}=\sqrt{31\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p ○ \(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{31\frac{1}{4}}-\sqrt{28}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2+18x-12y+107=0\) en \(c_2{:}\,(x+1)^2+(y+2)^2=13\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+9)^2+(y-6)^2=10\) Dus \(M_1(-9, 6)\) en \(r_1=\sqrt{10}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(-1, -2)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(-9--1)^2+(6--2)^2}=\sqrt{128}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{13}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{128}-\sqrt{10}-\sqrt{13}\text{.}\) 1p

"