Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(2, 3)\) en \(B(1, -1)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(2-1)^2+(3--1)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(4, -5)\) en de lijn \(l{:}\,2x-4y=-2\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (97ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-4x-2y=c \\ A(4, -5)\end{rcases}c=-4⋅4-2⋅-5=-6\) Dus \(n{:}\,-4x-2y=-6\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}2x-4y=-2 \\ -4x-2y=-6\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4x-8y=-4 \\ -4x-2y=-6\end{cases}\) Optellen geeft \(-10y=-10\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2x-4y=-2 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}2x-4⋅1=-2 \\ x=1\end{matrix}\) Dus \(S(1, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(4-1)^2+(-5-1)^2}=\sqrt{45}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x-3)^2+(y-4)^2=41\) en het punt \(A(7, 9)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(3, 4)\) en \(r=\sqrt{41}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(7-3)^2+(9-4)^2}=\sqrt{41}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=r\text{,}\) dus \(A\) ligt op \(c\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x+6y-5=0\) en het punt \(A(0, -2)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 4ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+1)^2+(y+3)^2=15\) Dus \(M(-1, -3)\) en \(r=\sqrt{15}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-1-0)^2+(-3--2)^2}=\sqrt{2}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2}<\sqrt{15}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=\sqrt{15}-\sqrt{2}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+2)^2+(y+4)^2=10\) en de lijn \(l{:}\,x+5y=4\text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms - data pool: #788 (97ms) ○ \(M(-2, -4)\) en \(r=\sqrt{10}\text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,5x-y=c \\ M(-2, -4)\end{rcases}c=5⋅-2-1⋅-4=-6\) Dus \(n{:}\,5x-y=-6\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}x+5y=4 \\ 5x-y=-6\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}5 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}5x+25y=20 \\ 5x-y=-6\end{cases}\) Aftrekken geeft \(26y=26\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x+5y=4 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}x+5⋅1=4 \\ x=-1\end{matrix}\) Dus \(S(-1, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(-2--1)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{26}\text{.}\) 1p ○ \(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{26}-\sqrt{10}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2+18x-14y+117=0\) en \(c_2{:}\,(x+1)^2+(y+1)^2=5\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 4ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+9)^2+(y-7)^2=13\) Dus \(M_1(-9, 7)\) en \(r_1=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(-1, -1)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(-9--1)^2+(7--1)^2}=\sqrt{128}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{5}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{128}-\sqrt{13}-\sqrt{5}\text{.}\) 1p

"