Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(-1, 4)\) en \(B(0, 7)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(-1-0)^2+(4-7)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(5, -3)\) en de lijn \(l{:}\,-3x+5y=4\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 191ms - data pool: #1576 (191ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,5x+3y=c \\ A(5, -3)\end{rcases}c=5⋅5+3⋅-3=16\) Dus \(n{:}\,5x+3y=16\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-3x+5y=4 \\ 5x+3y=16\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}5 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-15x+25y=20 \\ 15x+9y=48\end{cases}\) Optellen geeft \(34y=68\) dus \(y=2\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-3x+5y=4 \\ y=2\end{rcases}\begin{matrix}-3x+5⋅2=4 \\ x=2\end{matrix}\) Dus \(S(2, 2)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-2)^2+(-3-2)^2}=\sqrt{34}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+1)^2+(y+4)^2=21\) en het punt \(A(-4, 0)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(-1, -4)\) en \(r=\sqrt{21}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-4--1)^2+(0--4)^2}=\sqrt{25}=5\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(A\) ligt buiten \(c\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(5, -3)\) en de lijn \(l{:}\,3x-4y=2\text{.}\) 5p Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A(5, -3)\) die de lijn \(l{:}\,3x-4y=2\) raakt. OpstellenCirkelMetRaaklijn 00bw - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 141ms - data pool: #1576 (191ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-4x-3y=c \\ A(5, -3)\end{rcases}c=-4⋅5-3⋅-3=-11\) Dus \(n{:}\,-4x-3y=-11\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}3x-4y=2 \\ -4x-3y=-11\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}12x-16y=8 \\ -12x-9y=-33\end{cases}\) Optellen geeft \(-25y=-25\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3x-4y=2 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}3x-4⋅1=2 \\ x=2\end{matrix}\) Dus \(S(2, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-2)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{25}=5\text{.}\) 1p ○ \(A(5, -3)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{25}\text{,}\) dus \(c{:}\,(x-5)^2+(y+3)^2=25\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x+6y+2=0\) en het punt \(A(-5, -6)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 3ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+2)^2+(y+3)^2=11\) Dus \(M(-2, -3)\) en \(r=\sqrt{11}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-2--5)^2+(-3--6)^2}=\sqrt{18}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(d(c, A)=d(M, A)-r=\sqrt{18}-\sqrt{11}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x-2)^2+(y+4)^2=2\) en de lijn \(l{:}\,x-2y=5\text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 191ms - data pool: #1576 (191ms) ○ \(M(2, -4)\) en \(r=\sqrt{2}\text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2x-y=c \\ M(2, -4)\end{rcases}c=-2⋅2-1⋅-4=0\) Dus \(n{:}\,-2x-y=0\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}x-2y=5 \\ -2x-y=0\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x-4y=10 \\ -2x-y=0\end{cases}\) Optellen geeft \(-5y=10\) dus \(y=-2\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x-2y=5 \\ y=-2\end{rcases}\begin{matrix}x-2⋅-2=5 \\ x=1\end{matrix}\) Dus \(S(1, -2)\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(2-1)^2+(-4--2)^2}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p ○ \(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{5}-\sqrt{2}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2-2x-6y+1=0\) en \(c_2{:}\,(x+4)^2+(y+3)^2=3\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-1)^2+(y-3)^2=9\) Dus \(M_1(1, 3)\) en \(r_1=\sqrt{9}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(-4, -3)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(1--4)^2+(3--3)^2}=\sqrt{61}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{3}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{61}-\sqrt{9}-\sqrt{3}\text{.}\) 1p

"