Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(-4, -1)\) en \(B(-3, 2)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis ○ \(d(A, B)=\sqrt{(-4--3)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(-3, 3)\) en de lijn \(l{:}\,-4x+2y=-2\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - data pool: #1576 (102ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2x+4y=c \\ A(-3, 3)\end{rcases}c=2⋅-3+4⋅3=6\) Dus \(n{:}\,2x+4y=6\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-4x+2y=-2 \\ 2x+4y=6\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-4x+2y=-2 \\ 4x+8y=12\end{cases}\) Optellen geeft \(10y=10\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-4x+2y=-2 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}-4x+2⋅1=-2 \\ x=1\end{matrix}\) Dus \(S(1, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-3-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x-3)^2+(y+2)^2=41\) en het punt \(A(-2, 2)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis ○ \(M(3, -2)\) en \(r=\sqrt{41}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-2-3)^2+(2--2)^2}=\sqrt{41}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=r\text{,}\) dus \(A\) ligt op \(c\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(3, 2)\) en de lijn \(l{:}\,-x-3y=1\text{.}\) 5p Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M(3, 2)\) die de lijn \(l{:}\,-x-3y=1\) raakt. OpstellenCirkelMetRaaklijn 00bw - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - data pool: #1576 (102ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-3x+y=c \\ M(3, 2)\end{rcases}c=-3⋅3+1⋅2=-7\) Dus \(n{:}\,-3x+y=-7\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-x-3y=1 \\ -3x+y=-7\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-3x-9y=3 \\ -3x+y=-7\end{cases}\) Aftrekken geeft \(-10y=10\) dus \(y=-1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-x-3y=1 \\ y=-1\end{rcases}\begin{matrix}-x-3⋅-1=1 \\ x=2\end{matrix}\) Dus \(S(2, -1)\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(3-2)^2+(2--1)^2}=\sqrt{10}\text{.}\) 1p ○ \(M(3, 2)\) en \(r=d(M, l)=\sqrt{10}\text{,}\) dus \(c{:}\,(x-3)^2+(y-2)^2=10\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6x+8y+21=0\) en het punt \(A(6, -1)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-3)^2+(y+4)^2=4\) Dus \(M(3, -4)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(3-6)^2+(-4--1)^2}=\sqrt{18}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(d(c, A)=d(M, A)-r=\sqrt{18}-2\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+2)^2+(y+4)^2=14\) en de lijn \(l{:}\,-4x-3y=-5\text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - data pool: #1576 (102ms) ○ \(M(-2, -4)\) en \(r=\sqrt{14}\text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-3x+4y=c \\ M(-2, -4)\end{rcases}c=-3⋅-2+4⋅-4=-10\) Dus \(n{:}\,-3x+4y=-10\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-4x-3y=-5 \\ -3x+4y=-10\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 4\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-12x-9y=-15 \\ -12x+16y=-40\end{cases}\) Aftrekken geeft \(-25y=25\) dus \(y=-1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-4x-3y=-5 \\ y=-1\end{rcases}\begin{matrix}-4x-3⋅-1=-5 \\ x=2\end{matrix}\) Dus \(S(2, -1)\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(-2-2)^2+(-4--1)^2}=\sqrt{25}=5\text{.}\) 1p ○ \(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{25}-\sqrt{14}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2-6x-16y+70=0\) en \(c_2{:}\,(x+4)^2+(y-2)^2=10\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-3)^2+(y-8)^2=3\) Dus \(M_1(3, 8)\) en \(r_1=\sqrt{3}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(-4, 2)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(3--4)^2+(8-2)^2}=\sqrt{85}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{10}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{85}-\sqrt{3}-\sqrt{10}\text{.}\) 1p

"