Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (10)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M(4, 1)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(5\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,(x-4)^2+(y-1)^2=25\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(4, -2)\) en \(A(1, -6)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(4-1)^2+(-2--6)^2}=\sqrt{25}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-4)^2+(y+2)^2=25\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(0, 6)\) en \(B(3, -4)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(0+3), {1 \over 2}(6+-4))=M(1\frac{1}{2}, 1)\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(1\frac{1}{2}-0)^2+(1-6)^2}=\sqrt{27\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-1\frac{1}{2})^2+(y-1)^2=27\frac{1}{4}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(1, 2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=2\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-1)^2+(y-2)^2=4\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M(5, 0)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x-5)^2+y^2=9\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-4x+8y-29=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-4x+8y-29=0\) \((x-2)^2-4+(y+4)^2-16-29=0\) \((x-2)^2+(y+4)^2=49\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(2, -4)\) en \(r=\sqrt{49}=7\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-5x-12y+29=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-5x-12y+29=0\) \((x-2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}+(y-6)^2-36+29=0\) \((x-2\frac{1}{2})^2+(y-6)^2=13\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(2\frac{1}{2}, 6)\) en \(r=\sqrt{13\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8y-20=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-8y-20=0\) \(x^2+(y-4)^2-16-20=0\) \(x^2+(y-4)^2=36\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(0, 4)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is het punt \(M(4, 2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x-4)^2+(y-2)^2=36\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2-8x+16+y^2-4y+4=36\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2-8x-4y-16=0\text{.}\) 1p opgave 10 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=x+2\) ligt, die straal \(3\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(3\text{,}\) dus \(x_M=3\) of \(x_M=-3\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=x+2 \\ x_M=3\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅3+2=5\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(3, 5)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-3)^2+(y-5)^2=9\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=x+2 \\ x_M=-3\end{rcases}\text{ geeft }y_M=1⋅-3+2=-1\) Middelpunt \(M_2(-3, -1)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+3)^2+(y+1)^2=9\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
De vergelijking van een cirkel (2)	opgave 1 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+6y+14=0\text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=9\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\) 2p Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\) PuntenMetGegevenCoordinaat 00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(x=9\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft \(9^2+y^2-10⋅9+6y+14=0\text{.}\) 1p ○ De vergelijking oplossen geeft \(y^2+6y+5=0\) \((y+5)(y+1)=0\) \(y=-5∨y=-1\) \(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(9, -1)\) en \(B(9, -5)\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,x+2y=-5\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x-6y-30=0\text{.}\) 4p Bereken exact de coördinaten van \(l\) en \(c\text{.}\) SnijpuntenLijnEnCirkel 00by - De vergelijking van een cirkel - basis - 4ms - data pool: #56 (2ms) ○ Omschrijven van \(l\) geeft \(x=-2y-5\text{.}\) Substitutie in \(x^2+y^2+2x-6y-30=0\) geeft \((-2y-5)^2+y^2+2(-2y-5)-6y-30=0\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(4y^2+20y+25+y^2-4y-10-6y-30=0\) \(5y^2+10y-15=0\text{.}\) 1p ○ Oplossen van de vergelijking geeft \(y^2+2y-3=0\) \((y+3)(y-1)=0\) Dus \(y=-3∨y=1\text{.}\) 1p ○ Invullen van \(y=-3\) in \(x=-2y-5\) geeft \(x=1\text{,}\) dus snijpunt \((1, -3)\text{.}\) Invullen van \(y=1\) geeft \(x=-7\text{,}\) dus snijpunt \((-7, 1)\text{.}\) 1p

"