Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (10)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M(-4, -6)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,(x+4)^2+(y+6)^2=49\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(-1, 4)\) en \(A(-4, 3)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-1--4)^2+(4-3)^2}=\sqrt{10}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+1)^2+(y-4)^2=10\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(-5, -1)\) en \(B(-3, 2)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(-5+-3), {1 \over 2}(-1+2))=M(-4, \frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-4--5)^2+(\frac{1}{2}--1)^2}=\sqrt{3\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+4)^2+(y-\frac{1}{2})^2=3\frac{1}{4}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(-4, -7)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=7\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+4)^2+(y+7)^2=49\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M(6, 0)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x-6)^2+y^2=16\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x-12y+57=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-10x-12y+57=0\) \((x-5)^2-25+(y-6)^2-36+57=0\) \((x-5)^2+(y-6)^2=4\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(5, 6)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-7x-12y+39=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-7x-12y+39=0\) \((x-3\frac{1}{2})^2-12\frac{1}{4}+(y-6)^2-36+39=0\) \((x-3\frac{1}{2})^2+(y-6)^2=9\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(3\frac{1}{2}, 6)\) en \(r=\sqrt{9\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+12x+20=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+12x+20=0\) \((x+6)^2-36+y^2+20=0\) \((x+6)^2+y^2=16\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(-6, 0)\) en \(r=\sqrt{16}=4\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is het punt \(M(-6, 3)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x+6)^2+(y-3)^2=16\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2+12x+36+y^2-6y+9=16\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2+12x-6y+29=0\text{.}\) 1p opgave 10 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=3x+1\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(5\text{,}\) dus \(y_M=5\) of \(y_M=-5\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=3x+1 \\ y_M=5\end{rcases}\text{ geeft }3x+1=5\text{ dus }x_M=1\frac{1}{3}\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(1\frac{1}{3}, 5)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-1\frac{1}{3})^2+(y-5)^2=25\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=3x+1 \\ y_M=-5\end{rcases}\text{ geeft }3x+1=-5\text{ dus }x_M=-2\) Middelpunt \(M_2(-2, -5)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+2)^2+(y+5)^2=25\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
De vergelijking van een cirkel (2)	opgave 1 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6x+8y=0\text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=7\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\) 2p Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\) PuntenMetGegevenCoordinaat 00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(x=7\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft \(7^2+y^2-6⋅7+8y+0=0\text{.}\) 1p ○ De vergelijking oplossen geeft \(y^2+8y+7=0\) \((y+7)(y+1)=0\) \(y=-7∨y=-1\) \(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(7, -1)\) en \(B(7, -7)\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,5x+y=-4\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+6y-18=0\text{.}\) 4p Bereken exact de coördinaten van \(l\) en \(c\text{.}\) SnijpuntenLijnEnCirkel 00by - De vergelijking van een cirkel - basis - 4ms - data pool: #56 (2ms) ○ Omschrijven van \(l\) geeft \(y=-5x-4\text{.}\) Substitutie in \(x^2+y^2-10x+6y-18=0\) geeft \(x^2+(-5x-4)^2-10x+6(-5x-4)-18=0\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2+25x^2+40x+16-10x-30x-24-18=0\) \(26x^2-26=0\text{.}\) 1p ○ Oplossen van de vergelijking geeft \(x^2-1=0\) \((x-1)(x+1)=0\) Dus \(x=1∨x=-1\text{.}\) 1p ○ Invullen van \(x=1\) in \(y=-5x-4\) geeft \(y=-9\text{,}\) dus snijpunt \((1, -9)\text{.}\) Invullen van \(x=-1\) geeft \(y=1\text{,}\) dus snijpunt \((-1, 1)\text{.}\) 1p

"