Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (10)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M(5, 3)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,(x-5)^2+(y-3)^2=49\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(2, 4)\) en \(A(4, 7)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(2-4)^2+(4-7)^2}=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-2)^2+(y-4)^2=13\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(6, 3)\) en \(B(7, -4)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(6+7), {1 \over 2}(3+-4))=M(6\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(6\frac{1}{2}-6)^2+(-\frac{1}{2}-3)^2}=\sqrt{12\frac{1}{2}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-6\frac{1}{2})^2+(y+\frac{1}{2})^2=12\frac{1}{2}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(-7, -3)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=3\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+7)^2+(y+3)^2=9\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M(-1, 0)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x+1)^2+y^2=36\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-14x-12y+76=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-14x-12y+76=0\) \((x-7)^2-49+(y-6)^2-36+76=0\) \((x-7)^2+(y-6)^2=9\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(7, 6)\) en \(r=\sqrt{9}=3\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+3x+6y-7=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+3x+6y-7=0\) \((x+1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}+(y+3)^2-9-7=0\) \((x+1\frac{1}{2})^2+(y+3)^2=18\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(-1\frac{1}{2}, -3)\) en \(r=\sqrt{18\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8y-9=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-8y-9=0\) \(x^2+(y-4)^2-16-9=0\) \(x^2+(y-4)^2=25\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(0, 4)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is het punt \(M(1, 4)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(5\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x-1)^2+(y-4)^2=25\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2-2x+1+y^2-8y+16=25\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2-2x-8y-8=0\text{.}\) 1p opgave 10 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=3x+2\) ligt, die straal \(4\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(4\text{,}\) dus \(x_M=4\) of \(x_M=-4\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=3x+2 \\ x_M=4\end{rcases}\text{ geeft }y_M=3⋅4+2=14\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(4, 14)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-4)^2+(y-14)^2=16\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=3x+2 \\ x_M=-4\end{rcases}\text{ geeft }y_M=3⋅-4+2=-10\) Middelpunt \(M_2(-4, -10)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+4)^2+(y+10)^2=16\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
De vergelijking van een cirkel (2)	opgave 1 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2x+4y-20=0\text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=4\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\) 2p Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\) PuntenMetGegevenCoordinaat 00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(x=4\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft \(4^2+y^2-2⋅4+4y-20=0\text{.}\) 1p ○ De vergelijking oplossen geeft \(y^2+4y-12=0\) \((y+6)(y-2)=0\) \(y=-6∨y=2\) \(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(4, 2)\) en \(B(4, -6)\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,4x+y=3\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x-8y-2=0\text{.}\) 4p Bereken exact de coördinaten van \(l\) en \(c\text{.}\) SnijpuntenLijnEnCirkel 00by - De vergelijking van een cirkel - basis - 4ms - data pool: #56 (2ms) ○ Omschrijven van \(l\) geeft \(y=-4x+3\text{.}\) Substitutie in \(x^2+y^2-8x-8y-2=0\) geeft \(x^2+(-4x+3)^2-8x-8(-4x+3)-2=0\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2+16x^2-24x+9-8x+32x-24-2=0\) \(17x^2-17=0\text{.}\) 1p ○ Oplossen van de vergelijking geeft \(x^2-1=0\) \((x-1)(x+1)=0\) Dus \(x=1∨x=-1\text{.}\) 1p ○ Invullen van \(x=1\) in \(y=-4x+3\) geeft \(y=-1\text{,}\) dus snijpunt \((1, -1)\text{.}\) Invullen van \(x=-1\) geeft \(y=7\text{,}\) dus snijpunt \((-1, 7)\text{.}\) 1p

"