Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (10)	opgave 1 gegeven is het punt \(M(2, -4)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ \(c{:}\,(x-2)^2+(y+4)^2=36\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(3, 2)\) en \(A(5, -2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(3-5)^2+(2--2)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-3)^2+(y-2)^2=20\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(6, 1)\) en \(B(-2, -4)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(6+-2), {1 \over 2}(1+-4))=M(2, -1\frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(2-6)^2+(-1\frac{1}{2}-1)^2}=\sqrt{22\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-2)^2+(y+1\frac{1}{2})^2=22\frac{1}{4}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(-7, 6)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=6\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+7)^2+(y-6)^2=36\text{.}\) 1p opgave 5 gegeven is het punt \(M(-1, 0)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ \(c{:}\,(x+1)^2+y^2=9\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x-6y+30=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-10x-6y+30=0\) \((x-5)^2-25+(y-3)^2-9+30=0\) \((x-5)^2+(y-3)^2=4\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(5, 3)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x+9y+17=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+6x+9y+17=0\) \((x+3)^2-9+(y+4\frac{1}{2})^2-20\frac{1}{4}+17=0\) \((x+3)^2+(y+4\frac{1}{2})^2=12\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(-3, -4\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{12\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2y-35=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+2y-35=0\) \(x^2+(y+1)^2-1-35=0\) \(x^2+(y+1)^2=36\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(0, -1)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\) 1p opgave 9 gegeven is het punt \(M(2, 5)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis ○ \(c{:}\,(x-2)^2+(y-5)^2=9\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2-4x+4+y^2-10y+25=9\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2-4x-10y+20=0\text{.}\) 1p opgave 10 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=3x+5\) ligt, die straal \(2\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis ○ De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(2\text{,}\) dus \(x_M=2\) of \(x_M=-2\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=3x+5 \\ x_M=2\end{rcases}\text{ geeft }y_M=3⋅2+5=11\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(2, 11)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-2)^2+(y-11)^2=2\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=3x+5 \\ x_M=-2\end{rcases}\text{ geeft }y_M=3⋅-2+5=-1\) Middelpunt \(M_2(-2, -1)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+2)^2+(y+1)^2=4\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
De vergelijking van een cirkel (2)	opgave 1 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6x+10y+21=0\text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=5\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\) 2p Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\) PuntenMetGegevenCoordinaat 00br - De vergelijking van een cirkel - basis ○ \(x=5\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft \(5^2+y^2-6⋅5+10y+21=0\text{.}\) 1p ○ De vergelijking oplossen geeft \(y^2+10y+16=0\) \((y+8)(y+2)=0\) \(y=-8∨y=-2\) \(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(5, -2)\) en \(B(5, -8)\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,5x+y=-1\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6x+6y+5=0\text{.}\) 4p Bereken exact de coördinaten van \(l\) en \(c\text{.}\) SnijpuntenLijnEnCirkel 00by - De vergelijking van een cirkel - basis - data pool: #56 (2ms) ○ Omschrijven van \(l\) geeft \(y=-5x-1\text{.}\) Substitutie in \(x^2+y^2-6x+6y+5=0\) geeft \(x^2+(-5x-1)^2-6x+6(-5x-1)+5=0\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2+25x^2+10x+1-6x-30x-6+5=0\) \(26x^2-26x=0\text{.}\) 1p ○ Oplossen van de vergelijking geeft \(x^2-x=0\) \((x-1)x=0\) Dus \(x=1∨x=0\text{.}\) 1p ○ Invullen van \(x=1\) in \(y=-5x-1\) geeft \(y=-6\text{,}\) dus snijpunt \((1, -6)\text{.}\) Invullen van \(x=0\) geeft \(y=-1\text{,}\) dus snijpunt \((0, -1)\text{.}\) 1p

"