Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Extreme waarden bepalen'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Extreme waarden bepalen (3)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = -x^{3} + 48 x + 37 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (1) 00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ \(f'(x) = -3 x^{2} + 48\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(-3 x^{2} + 48 = 0\) \(x^{2} - 16 = 0\) \((x + 4) (x - 4) = 0\) \(x = -4 ∨ x = 4\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-4) = -91\) en max. is \(f(4) = 165 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de functie \(f(x) = -3 x^{4} + 20 x^{3} - 24 x^{2} - 23 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (2) 00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms ○ \(f'(x) = -12 x^{3} + 60 x^{2} - 48 x\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(-12 x^{3} + 60 x^{2} - 48 x = 0\) \(x^{3} - 5 x^{2} + 4 x = 0\) \(x (x - 1) (x - 4) = 0\) \(x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = 4\) 1p ○ Schets: 1p ○ max. is \(f(0) = -23 \text{,}\) min. is \(f(1) = -30\) en max. is \(f(4) = 105 \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{4}{5} x^{5} - 4\frac{1}{3} x^{3} + 10 x \text{.}\) 4p Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\) ExtremeWaardenAantonen 00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ \(f'(x) = 4 x^{4} - 13 x^{2} + 10\) 1p ○ \(f'(\sqrt{2}) = 4 (\sqrt{2})^{4} - 13 (\sqrt{2})^{2} + 10 = 0\) 1p ○ Schets: 1p ○ \(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.2 De afgeleide van machtsfuncties
Extreme waarden bepalen (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + x + 81 \over 8 x} \text{.}\) 5p Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (4) 00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ Uitdelen geeft \(f(x) = {4 x^{2} + x + 81 \over 8 x} = {4 x^{2} \over 8 x} + {x \over 8 x} + {81 \over 8 x} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} + \frac{81}{8} x^{-1}\) De afgeleide is dan \(f'(x) = \frac{1}{2} + \frac{81}{8} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{1}{2} - {81 \over 8 x^{2}} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(\frac{1}{2} - {81 \over 8 x^{2}} = 0\) \(\frac{1}{2} = {81 \over 8 x^{2}}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(8 x^{2} = 162\) \(x^{2} = \frac{81}{4}\) \(x = \sqrt{\frac{81}{4}} = 4\frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{81}{4}} = -4\frac{1}{2}\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-4\frac{1}{2}) = -4\frac{3}{8}\) en max. is \(f(4\frac{1}{2}) = 4\frac{5}{8} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.3 De kettingregel
Extreme waarden bepalen (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{3 x + 5} - \frac{1}{2} x \text{.}\) 6p a Bereken exact de top van \(f \text{.}\) 2p b Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (3) 00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 2ms - data pool: #142 (2ms) a \(f(x) = \sqrt{3 x + 5} - \frac{1}{2} x = (3 x + 5)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x\) geeft \(f'(x) = \frac{1}{2} ⋅ (3 x + 5)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 3 - \frac{1}{2} = {3 \over 2 \sqrt{3 x + 5}} - \frac{1}{2} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \({3 \over 2 \sqrt{3 x + 5}} - \frac{1}{2} = 0\) \({3 \over 2 \sqrt{3 x + 5}} = \frac{1}{2}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(2 \sqrt{3 x + 5} = 6\) \(\sqrt{3 x + 5} = 3\) 1p ○ Kwadrateren geeft \(3 x + 5 = 9\) \(x = 1\frac{1}{3}\) 1p ○ Schets: 1p ○ max. is \(f(1\frac{1}{3}) = 2\frac{1}{3} \text{.}\) 1p b \(3 x + 5 ≥ 0\) geeft \(x ≥ -1\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(D_{f} = [-1\frac{2}{3} , \rightarrow ⟩ \text{.}\) 1p ○ max. is \(f(1\frac{1}{3}) = 2\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(B_{f} = ⟨\leftarrow , 2\frac{1}{3}] \text{.}\) 1p

"