Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

3 havo 8.2 Procenten en groeifactoren

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

3p

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(1{,}1\%\) per week. Op \(x=0\) is \(y=367\text{.}\) Hierbij is \(x\) in weken.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde
0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{week}}=1-{1{,}1 \over 100}=0{,}989\text{.}\)

1p

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=367\text{.}\)

1p

\(y=367⋅0{,}989^x\text{.}\)

1p

havo wiskunde B 9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Formule bij exponentiële groei opstellen (2)

opgave 1

3p

a

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x=2\) is \(y=477\) en bij \(x=5\) is \(y=529\text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend
0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

a

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({529 \over 477})^{{1 \over 5-2}}=1{,}035...\)

1p

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}035...^x \\ x=2\text{ en }y=477\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}035...^2=477 \\ b={477 \over 1{,}035...^2}≈445\end{matrix}\)

1p

\(y=445⋅1{,}035^x\text{.}\)

1p

3p

b

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x=5\) is \(y=264\) en bij \(x=9\) is \(y=223\text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend
0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({223 \over 264})^{{1 \over 9-5}}=0{,}958...\)

1p

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}958...^x \\ x=5\text{ en }y=264\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}958...^5=264 \\ b={264 \over 0{,}958...^5}≈326\end{matrix}\)

1p

\(y=326⋅0{,}959^x\text{.}\)

1p

havo wiskunde B 9.4 Formules omwerken

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

1020304050607080901234Oqlog(K)

5p

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(K=b⋅g^q\text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

LogaritmischTegenLineair
00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 8ms - data pool: #252 (8ms) - dynamic variables

Rasterpunten \((30, 3)\) en \((80, 2)\) aflezen.

1p

\(\log(K)=aq+b\) met \(a={\Delta \log(K) \over \Delta q}={2-3 \over 80-30}=-\frac{1}{50}\)

1p

\(\begin{rcases}\log(K)=-\frac{1}{50}q+b \\ \text{door }(30, 3)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{50}⋅30+b=3 \\ -\frac{30}{50}+b=3 \\ b=3\frac{3}{5}\end{matrix}\)

1p

\(\log(K)=-\frac{1}{50}q+3\frac{3}{5}\)
\(K=10^{-\frac{1}{50}q+3\frac{3}{5}}\)

1p

\(K=10^{-\frac{1}{50}q}⋅10^{3\frac{3}{5}}\)
\(\text{ }=10^{3\frac{3}{5}}⋅(10^{-\frac{1}{50}})^q\)
\(\text{ }=3\,981⋅0{,}955^q\)

1p

opgave 2

123451234Olog(q)log(R)

5p

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(R=aq^b\text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.

LogaritmischTegenLogaritmisch
00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 4ms - data pool: #41 (4ms) - dynamic variables

Rasterpunten \((1, 3)\) en \((4, 2)\) aflezen.

1p

\(\log(R)=a⋅\log(q)+b\) met \(a={\Delta \log(R) \over \Delta \log(q)}={2-3 \over 4-1}=-\frac{1}{3}\)

1p

\(\begin{rcases}\log(R)=-\frac{1}{3}⋅\log(q)+b \\ \text{door }(1, 3)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{3}⋅1+b=3 \\ -\frac{1}{3}+b=3 \\ b=3\frac{1}{3}\end{matrix}\)

1p

\(\log(R)=-\frac{1}{3}⋅\log(q)+3\frac{1}{3}\)
\(\log(R)=\log(q^{-\frac{1}{3}})+\log(10^{3\frac{1}{3}})\)
\(\log(R)=\log(10^{3\frac{1}{3}}⋅q^{-\frac{1}{3}})\)

1p

\(R=10^{3\frac{1}{3}}⋅q^{-\frac{1}{3}}\)
\(R=2\,154⋅q^{-0{,}33}\)

1p

opgave 3

Oxy

1p

a

Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?

1p

b

Welke formule hoort er bij dat verband?

SoortFormule
00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - dynamic variables

a

De grafiek hoort bij een lineair verband.

1p

b

Hierbij hoort de formule \(y=ax+b\text{.}\)

1p

"