Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

8.2 Procenten en groeifactoren

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(4{,}5\%\) per week. Op \(x = 0\) is \(y = 447 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in weken.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde

0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

○

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{week}} = 1 - {4{,}5 \over 100} = 0{,}955 \text{.}\)

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 447 \text{.}\)

○

\(y = 447 ⋅ 0{,}955^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.vk Exponentiële groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(y\)	\(16{,}17\)	\(20{,}54\)	\(26{,}08\)	\(33{,}12\)	\(42{,}07\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)

00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({20{,}54 \over 16{,}17} ≈ 1{,}27\)

○

\({26{,}08 \over 20{,}54} ≈ 1{,}27\)
\({33{,}12 \over 26{,}08} ≈ 1{,}27\)
\({42{,}07 \over 33{,}12} ≈ 1{,}27\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}27\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 16{,}17 \text{.}\)

○

Dus \(y = 16{,}17 ⋅ 1{,}27^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 2\) is \(y = 506\) en bij \(x = 5\) is \(y = 558 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend

0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({558 \over 506})^{{1 \over 5 - 2}} = 1{,}033...\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}033...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 506\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}033...^{2} = 506 \\ b = {506 \over 1{,}033...^{2}} ≈ 474\end{matrix}\)

○

\(y = 474 ⋅ 1{,}033^{x} \text{.}\)

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 2\) is \(y = 411\) en bij \(x = 6\) is \(y = 347 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend

0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({347 \over 411})^{{1 \over 6 - 2}} = 0{,}958...\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}958...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 411\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}958...^{2} = 411 \\ b = {411 \over 0{,}958...^{2}} ≈ 447\end{matrix}\)

○

\(y = 447 ⋅ 0{,}959^{x} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(4\)	\(6\)	\(7\)	\(10\)
\(y\)	\(28{,}07\)	\(34{,}58\)	\(38{,}39\)	\(52{,}50\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (2)

00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(g = ({34{,}58 \over 28{,}07})^{{1 \over 6 - 4}} ≈ 1{,}11\)

○

\(g = ({38{,}39 \over 34{,}58})^{{1 \over 7 - 6}} ≈ 1{,}11\)
\(g = ({52{,}50 \over 38{,}39})^{{1 \over 10 - 7}} ≈ 1{,}11\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}11\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}11^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 28{,}07\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}11^{4} = 28{,}07 \\ b = {28{,}07 \over 1{,}11^{4}} \\ b ≈ 18{,}49\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 18{,}49 ⋅ 1{,}11^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.4 Formules omwerken

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

LogaritmischTegenLineair

00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 4ms - data pool: #252 (4ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((10 , 3)\) en \((70 , 2)\) aflezen.

○

\(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {2 - 3 \over 70 - 10} = -\frac{1}{60}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y) = -\frac{1}{60} x + b \\ \text{door } (10 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{1}{60} ⋅ 10 + b = 3 \\ -\frac{10}{60} + b = 3 \\ b = 3\frac{1}{6}\end{matrix}\)

○

\(\log(y) = -\frac{1}{60} x + 3\frac{1}{6}\)
\(y = 10^{-\frac{1}{60} x + 3\frac{1}{6}}\)

○

\(y = 10^{-\frac{1}{60} x} ⋅ 10^{3\frac{1}{6}}\)
\(\text{ } = 10^{3\frac{1}{6}} ⋅ (10^{-\frac{1}{60}})^{x}\)
\(\text{ } = 1\,468 ⋅ 0{,}962^{x}\)

opgave 2

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.

LogaritmischTegenLogaritmisch

00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #41 (2ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((1 , 2)\) en \((4 , 4)\) aflezen.

○

\(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {4 - 2 \over 4 - 1} = \frac{2}{3}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{2}{3} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (1 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{2}{3} ⋅ 1 + b = 2 \\ \frac{2}{3} + b = 2 \\ b = 1\frac{1}{3}\end{matrix}\)

○

\(\log(y) = \frac{2}{3} ⋅ \log(x) + 1\frac{1}{3}\)
\(\log(y) = \log(x^{\frac{2}{3}}) + \log(10^{1\frac{1}{3}})\)
\(\log(y) = \log(10^{1\frac{1}{3}} ⋅ x^{\frac{2}{3}})\)

○

\(y = 10^{1\frac{1}{3}} ⋅ x^{\frac{2}{3}}\)
\(y = 22 ⋅ x^{0{,}67}\)

opgave 3

Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?

Welke formule hoort er bij dat verband?

SoortFormule

00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - dynamic variables

De grafiek hoort bij een machtsverband.

Hierbij hoort de formule \(y = a x^{b} \text{.}\)