Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

8.2 Procenten en groeifactoren

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(4{,}1\%\) per week. Op \(x=0\) is \(y=238\text{.}\) Hierbij is \(x\) in weken.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde

0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

○

\(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{week}}=1-{4{,}1 \over 100}=0{,}959\text{.}\)

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=238\text{.}\)

○

\(y=238⋅0{,}959^x\text{.}\)

havo wiskunde B

9.vk Exponentiële groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,021\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)	\(2\,025\)
\(y\)	\(17{,}61\)	\(18{,}84\)	\(20{,}16\)	\(21{,}57\)	\(23{,}08\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,021\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)

00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({18{,}84 \over 17{,}61}≈1{,}07\)

○

\({20{,}16 \over 18{,}84}≈1{,}07\)
\({21{,}57 \over 20{,}16}≈1{,}07\)
\({23{,}08 \over 21{,}57}≈1{,}07\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}07\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=17{,}61\text{.}\)

○

Dus \(y=17{,}61⋅1{,}07^x\text{.}\)

havo wiskunde B

9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x=2\) is \(y=361\) en bij \(x=4\) is \(y=386\text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend

0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({386 \over 361})^{{1 \over 4-2}}=1{,}034...\)

○

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}034...^x \\ x=2\text{ en }y=361\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}034...^2=361 \\ b={361 \over 1{,}034...^2}≈338\end{matrix}\)

○

\(y=338⋅1{,}034^x\text{.}\)

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x=4\) is \(y=287\) en bij \(x=6\) is \(y=266\text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend

0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({266 \over 287})^{{1 \over 6-4}}=0{,}962...\)

○

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}962...^x \\ x=4\text{ en }y=287\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}962...^4=287 \\ b={287 \over 0{,}962...^4}≈334\end{matrix}\)

○

\(y=334⋅0{,}963^x\text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,006\)	\(2\,011\)	\(2\,017\)	\(2\,020\)	\(2\,024\)
\(y\)	\(27{,}95\)	\(69{,}55\)	\(207{,}67\)	\(358{,}86\)	\(744{,}13\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,004\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (2)

00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(g=({69{,}55 \over 27{,}95})^{{1 \over 2\,011-2\,006}}≈1{,}20\)

○

\(g=({207{,}67 \over 69{,}55})^{{1 \over 2\,017-2\,011}}≈1{,}20\)
\(g=({358{,}86 \over 207{,}67})^{{1 \over 2\,020-2\,017}}≈1{,}20\)
\(g=({744{,}13 \over 358{,}86})^{{1 \over 2\,024-2\,020}}≈1{,}20\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}2\)

○

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}2^x \\ x=2\text{ en }y=27{,}95\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}2^2=27{,}95 \\ b={27{,}95 \over 1{,}2^2} \\ b≈19{,}41\end{matrix}\)

○

Dus \(y=19{,}41⋅1{,}20^x\text{.}\)

havo wiskunde B

9.4 Formules omwerken

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y=b⋅g^x\text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

LogaritmischTegenLineair

00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 4ms - data pool: #252 (4ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((2, 4)\) en \((6, 5)\) aflezen.

○

\(\log(y)=ax+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta x}={5-4 \over 6-2}=\frac{1}{4}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y)=\frac{1}{4}x+b \\ \text{door }(2, 4)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{1}{4}⋅2+b=4 \\ \frac{2}{4}+b=4 \\ b=3\frac{1}{2}\end{matrix}\)

○

\(\log(y)=\frac{1}{4}x+3\frac{1}{2}\)
\(y=10^{\frac{1}{4}x+3\frac{1}{2}}\)

○

\(y=10^{\frac{1}{4}x}⋅10^{3\frac{1}{2}}\)
\(\text{ }=10^{3\frac{1}{2}}⋅(10^{\frac{1}{4}})^x\)
\(\text{ }=3\,162⋅1{,}778^x\)

opgave 2

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y=ax^b\text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.

LogaritmischTegenLogaritmisch

00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 3ms - data pool: #41 (3ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((1, 4)\) en \((5, 5)\) aflezen.

○

\(\log(y)=a⋅\log(x)+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)}={5-4 \over 5-1}=\frac{1}{4}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y)=\frac{1}{4}⋅\log(x)+b \\ \text{door }(1, 4)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{1}{4}⋅1+b=4 \\ \frac{1}{4}+b=4 \\ b=3\frac{3}{4}\end{matrix}\)

○

\(\log(y)=\frac{1}{4}⋅\log(x)+3\frac{3}{4}\)
\(\log(y)=\log(x^{\frac{1}{4}})+\log(10^{3\frac{3}{4}})\)
\(\log(y)=\log(10^{3\frac{3}{4}}⋅x^{\frac{1}{4}})\)

○

\(y=10^{3\frac{3}{4}}⋅x^{\frac{1}{4}}\)
\(y=5\,623⋅x^{0{,}25}\)

opgave 3

Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?

Welke formule hoort er bij dat verband?

SoortFormule

00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - dynamic variables

De grafiek hoort bij een logaritmisch verband.

Hierbij hoort de formule \(y=a⋅\log(x)+b\text{.}\)