Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

8.2 Procenten en groeifactoren

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(1{,}5\%\) per kwartier. Op \(x = 0\) is \(y = 253 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in kwartier.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde

0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

○

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{kwartier}} = 1 - {1{,}5 \over 100} = 0{,}985 \text{.}\)

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 253 \text{.}\)

○

\(y = 253 ⋅ 0{,}985^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.vk Exponentiële groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(52{,}11\)	\(37{,}00\)	\(26{,}27\)	\(18{,}65\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)

00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({37{,}00 \over 52{,}11} ≈ 0{,}71\)

○

\({26{,}27 \over 37{,}00} ≈ 0{,}71\)
\({18{,}65 \over 26{,}27} ≈ 0{,}71\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}71\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 52{,}11 \text{.}\)

○

Dus \(y = 52{,}11 ⋅ 0{,}71^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 5\) is \(y = 419\) en bij \(x = 8\) is \(y = 464 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend

0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({464 \over 419})^{{1 \over 8 - 5}} = 1{,}034...\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}034...^{x} \\ x = 5 \text{ en } y = 419\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}034...^{5} = 419 \\ b = {419 \over 1{,}034...^{5}} ≈ 353\end{matrix}\)

○

\(y = 353 ⋅ 1{,}035^{x} \text{.}\)

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 2\) is \(y = 361\) en bij \(x = 6\) is \(y = 301 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend

0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({301 \over 361})^{{1 \over 6 - 2}} = 0{,}955...\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}955...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 361\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}955...^{2} = 361 \\ b = {361 \over 0{,}955...^{2}} ≈ 395\end{matrix}\)

○

\(y = 395 ⋅ 0{,}956^{x} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,014\)	\(2\,017\)	\(2\,021\)	\(2\,022\)	\(2\,024\)
\(y\)	\(52{,}36\)	\(99{,}83\)	\(236{,}02\)	\(292{,}66\)	\(449{,}99\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,009 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (2)

00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(g = ({99{,}83 \over 52{,}36})^{{1 \over 2\,017 - 2\,014}} ≈ 1{,}24\)

○

\(g = ({236{,}02 \over 99{,}83})^{{1 \over 2\,021 - 2\,017}} ≈ 1{,}24\)
\(g = ({292{,}66 \over 236{,}02})^{{1 \over 2\,022 - 2\,021}} ≈ 1{,}24\)
\(g = ({449{,}99 \over 292{,}66})^{{1 \over 2\,024 - 2\,022}} ≈ 1{,}24\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}24\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}24^{x} \\ x = 5 \text{ en } y = 52{,}36\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}24^{5} = 52{,}36 \\ b = {52{,}36 \over 1{,}24^{5}} \\ b ≈ 17{,}86\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 17{,}86 ⋅ 1{,}24^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.4 Formules omwerken

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

LogaritmischTegenLineair

00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 3ms - data pool: #252 (3ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((4 , 3)\) en \((14 , 6)\) aflezen.

○

\(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {6 - 3 \over 14 - 4} = \frac{3}{10}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{3}{10} x + b \\ \text{door } (4 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{3}{10} ⋅ 4 + b = 3 \\ 1\frac{2}{10} + b = 3 \\ b = 1\frac{4}{5}\end{matrix}\)

○

\(\log(y) = \frac{3}{10} x + 1\frac{4}{5}\)
\(y = 10^{\frac{3}{10} x + 1\frac{4}{5}}\)

○

\(y = 10^{\frac{3}{10} x} ⋅ 10^{1\frac{4}{5}}\)
\(\text{ } = 10^{1\frac{4}{5}} ⋅ (10^{\frac{3}{10}})^{x}\)
\(\text{ } = 63 ⋅ 1{,}995^{x}\)

opgave 2

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.

LogaritmischTegenLogaritmisch

00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #41 (1ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((1 , 2)\) en \((6 , 6)\) aflezen.

○

\(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {6 - 2 \over 6 - 1} = \frac{4}{5}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{4}{5} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (1 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{4}{5} ⋅ 1 + b = 2 \\ \frac{4}{5} + b = 2 \\ b = 1\frac{1}{5}\end{matrix}\)

○

\(\log(y) = \frac{4}{5} ⋅ \log(x) + 1\frac{1}{5}\)
\(\log(y) = \log(x^{\frac{4}{5}}) + \log(10^{1\frac{1}{5}})\)
\(\log(y) = \log(10^{1\frac{1}{5}} ⋅ x^{\frac{4}{5}})\)

○

\(y = 10^{1\frac{1}{5}} ⋅ x^{\frac{4}{5}}\)
\(y = 16 ⋅ x^{0{,}80}\)

opgave 3

Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?

Welke formule hoort er bij dat verband?

SoortFormule

00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

De grafiek hoort bij een logaritmisch verband.

Hierbij hoort de formule \(y = a ⋅ \log(x) + b \text{.}\)