Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(2{,}9\%\) per kwartier. Op \(x = 0\) is \(y = 416 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in kwartier. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 2ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{kwartier}} = 1 - {2{,}9 \over 100} = 0{,}971 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 416 \text{.}\) 1p ○ \(y = 416 ⋅ 0{,}971^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||
| havo wiskunde B | 9.vk Exponentiële groei | |||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({17{,}61 \over 19{,}57} ≈ 0{,}90\) 1p ○ \({15{,}85 \over 17{,}61} ≈ 0{,}90\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}9\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 19{,}57 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 19{,}57 ⋅ 0{,}90^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||
| havo wiskunde B | 9.1 Groeifactoren en groeipercentages | |||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 343\) en bij \(x = 7\) is \(y = 394 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({394 \over 343})^{{1 \over 7 - 3}} = 1{,}035...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}035...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 343\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}035...^{3} = 343 \\ b = {343 \over 1{,}035...^{3}} ≈ 309\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 309 ⋅ 1{,}035^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 4\) is \(y = 221\) en bij \(x = 9\) is \(y = 183 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({183 \over 221})^{{1 \over 9 - 4}} = 0{,}962...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}962...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 221\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}962...^{4} = 221 \\ b = {221 \over 0{,}962...^{4}} ≈ 257\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 257 ⋅ 0{,}963^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,013 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({62{,}61 \over 302{,}03})^{{1 \over 2\,021 - 2\,016}} ≈ 0{,}73\) 1p ○ \(g = ({45{,}71 \over 62{,}61})^{{1 \over 2\,022 - 2\,021}} ≈ 0{,}73\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}73\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}73^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 302{,}03\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}73^{3} = 302{,}03 \\ b = {302{,}03 \over 0{,}73^{3}} \\ b ≈ 776{,}39\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 776{,}39 ⋅ 0{,}73^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||
| havo wiskunde B | 9.4 Formules omwerken | |||||||||||
opgave 15p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. LogaritmischTegenLineair 00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 3ms - data pool: #252 (3ms) - dynamic variables ○ Rasterpunten \((10 , 4)\) en \((40 , 5)\) aflezen. 1p ○ \(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {5 - 4 \over 40 - 10} = \frac{1}{30}\) 1p ○ \(\begin{rcases}\log(y) = \frac{1}{30} x + b \\ \text{door } (10 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{30} ⋅ 10 + b = 4 \\ \frac{10}{30} + b = 4 \\ b = 3\frac{2}{3}\end{matrix}\) 1p ○ \(\log(y) = \frac{1}{30} x + 3\frac{2}{3}\) 1p ○ \(y = 10^{\frac{1}{30} x} ⋅ 10^{3\frac{2}{3}}\) 1p opgave 25p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen. LogaritmischTegenLogaritmisch 00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #41 (2ms) - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1 , 2)\) en \((4 , 4)\) aflezen. 1p ○ \(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {4 - 2 \over 4 - 1} = \frac{2}{3}\) 1p ○ \(\begin{rcases}\log(y) = \frac{2}{3} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (1 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{2}{3} ⋅ 1 + b = 2 \\ \frac{2}{3} + b = 2 \\ b = 1\frac{1}{3}\end{matrix}\) 1p ○ \(\log(y) = \frac{2}{3} ⋅ \log(x) + 1\frac{1}{3}\) 1p ○ \(y = 10^{1\frac{1}{3}} ⋅ x^{\frac{2}{3}}\) 1p opgave 31p a Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek? 1p b Welke formule hoort er bij dat verband? SoortFormule 00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables a De grafiek hoort bij een logaritmisch verband. 1p b Hierbij hoort de formule \(y = a ⋅ \log(x) + b \text{.}\) 1p |