Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

3 havo 8.2 Procenten en groeifactoren

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

3p

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(2{,}1\%\) per minuut. Op \(x=0\) is \(y=266\text{.}\) Hierbij is \(x\) in minuten.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde
0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{minuut}}=1-{2{,}1 \over 100}=0{,}979\text{.}\)

1p

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=266\text{.}\)

1p

\(y=266⋅0{,}979^x\text{.}\)

1p

havo wiskunde B 9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Formule bij exponentiële groei opstellen (2)

opgave 1

3p

a

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x=5\) is \(y=624\) en bij \(x=9\) is \(y=756\text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend
0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

a

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({756 \over 624})^{{1 \over 9-5}}=1{,}049...\)

1p

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}049...^x \\ x=5\text{ en }y=624\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}049...^5=624 \\ b={624 \over 1{,}049...^5}≈491\end{matrix}\)

1p

\(y=491⋅1{,}049^x\text{.}\)

1p

3p

b

Een hoeveelheid \(W\) neemt exponentiëel af. Bij \(q=4\) is \(W=210\) en bij \(q=7\) is \(W=187\text{.}\)
Stel de formule van \(W\) op.

GegevenTweePuntenDalend
0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(W=b⋅g^q\) met \(g=({187 \over 210})^{{1 \over 7-4}}=0{,}962...\)

1p

\(\begin{rcases}W=b⋅0{,}962...^q \\ q=4\text{ en }W=210\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}962...^4=210 \\ b={210 \over 0{,}962...^4}≈245\end{matrix}\)

1p

\(W=245⋅0{,}962^q\text{.}\)

1p

havo wiskunde B 9.4 Formules omwerken

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

510152025303540123456Oqlog(R)

5p

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(R=b⋅g^q\text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

LogaritmischTegenLineair
00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 8ms - data pool: #252 (8ms) - dynamic variables

Rasterpunten \((10, 3)\) en \((35, 5)\) aflezen.

1p

\(\log(R)=aq+b\) met \(a={\Delta \log(R) \over \Delta q}={5-3 \over 35-10}=\frac{2}{25}\)

1p

\(\begin{rcases}\log(R)=\frac{2}{25}q+b \\ \text{door }(10, 3)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{2}{25}⋅10+b=3 \\ \frac{20}{25}+b=3 \\ b=2\frac{1}{5}\end{matrix}\)

1p

\(\log(R)=\frac{2}{25}q+2\frac{1}{5}\)
\(R=10^{\frac{2}{25}q+2\frac{1}{5}}\)

1p

\(R=10^{\frac{2}{25}q}⋅10^{2\frac{1}{5}}\)
\(\text{ }=10^{2\frac{1}{5}}⋅(10^{\frac{2}{25}})^q\)
\(\text{ }=158⋅1{,}202^q\)

1p

opgave 2

1234561234Olog(x)log(y)

5p

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y=ax^b\text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.

LogaritmischTegenLogaritmisch
00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 4ms - data pool: #41 (4ms) - dynamic variables

Rasterpunten \((2, 3)\) en \((5, 2)\) aflezen.

1p

\(\log(y)=a⋅\log(x)+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)}={2-3 \over 5-2}=-\frac{1}{3}\)

1p

\(\begin{rcases}\log(y)=-\frac{1}{3}⋅\log(x)+b \\ \text{door }(2, 3)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{3}⋅2+b=3 \\ -\frac{2}{3}+b=3 \\ b=3\frac{2}{3}\end{matrix}\)

1p

\(\log(y)=-\frac{1}{3}⋅\log(x)+3\frac{2}{3}\)
\(\log(y)=\log(x^{-\frac{1}{3}})+\log(10^{3\frac{2}{3}})\)
\(\log(y)=\log(10^{3\frac{2}{3}}⋅x^{-\frac{1}{3}})\)

1p

\(y=10^{3\frac{2}{3}}⋅x^{-\frac{1}{3}}\)
\(y=4\,642⋅x^{-0{,}33}\)

1p

opgave 3

Olog(t)log(N)

1p

a

Welk soort verband tussen \(t\) en \(N\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?

1p

b

Welke formule hoort er bij dat verband?

SoortFormule
00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - dynamic variables

a

De grafiek hoort bij een machtsverband.

1p

b

Hierbij hoort de formule \(N=at^b\text{.}\)

1p

"