Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

8.2 Procenten en groeifactoren

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(3{,}7\%\) per dag. Op \(x = 0\) is \(y = 323 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in dagen.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde

0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 5ms - dynamic variables

○

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{dag}} = 1 - {3{,}7 \over 100} = 0{,}963 \text{.}\)

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 323 \text{.}\)

○

\(y = 323 ⋅ 0{,}963^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.vk Exponentiële groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(16{,}75\)	\(17{,}76\)	\(18{,}82\)	\(19{,}95\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)

00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({17{,}76 \over 16{,}75} ≈ 1{,}06\)

○

\({18{,}82 \over 17{,}76} ≈ 1{,}06\)
\({19{,}95 \over 18{,}82} ≈ 1{,}06\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}06\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 16{,}75 \text{.}\)

○

Dus \(y = 16{,}75 ⋅ 1{,}06^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 319\) en bij \(x = 6\) is \(y = 363 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend

0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({363 \over 319})^{{1 \over 6 - 3}} = 1{,}044...\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}044...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 319\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}044...^{3} = 319 \\ b = {319 \over 1{,}044...^{3}} ≈ 280\end{matrix}\)

○

\(y = 280 ⋅ 1{,}044^{x} \text{.}\)

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 3\) is \(y = 346\) en bij \(x = 5\) is \(y = 320 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend

0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({320 \over 346})^{{1 \over 5 - 3}} = 0{,}961...\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}961...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 346\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}961...^{3} = 346 \\ b = {346 \over 0{,}961...^{3}} ≈ 389\end{matrix}\)

○

\(y = 389 ⋅ 0{,}962^{x} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(1\)	\(6\)	\(10\)	\(13\)
\(y\)	\(15{,}24\)	\(32{,}01\)	\(57{,}97\)	\(90{,}48\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (2)

00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(g = ({32{,}01 \over 15{,}24})^{{1 \over 6 - 1}} ≈ 1{,}16\)

○

\(g = ({57{,}97 \over 32{,}01})^{{1 \over 10 - 6}} ≈ 1{,}16\)
\(g = ({90{,}48 \over 57{,}97})^{{1 \over 13 - 10}} ≈ 1{,}16\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}16\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}16^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 15{,}24\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}16^{1} = 15{,}24 \\ b = {15{,}24 \over 1{,}16^{1}} \\ b ≈ 13{,}14\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 13{,}14 ⋅ 1{,}16^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.4 Formules omwerken

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

LogaritmischTegenLineair

00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 4ms - data pool: #252 (4ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((1 , 2)\) en \((8 , 5)\) aflezen.

○

\(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {5 - 2 \over 8 - 1} = \frac{3}{7}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{3}{7} x + b \\ \text{door } (1 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{3}{7} ⋅ 1 + b = 2 \\ \frac{3}{7} + b = 2 \\ b = 1\frac{4}{7}\end{matrix}\)

○

\(\log(y) = \frac{3}{7} x + 1\frac{4}{7}\)
\(y = 10^{\frac{3}{7} x + 1\frac{4}{7}}\)

○

\(y = 10^{\frac{3}{7} x} ⋅ 10^{1\frac{4}{7}}\)
\(\text{ } = 10^{1\frac{4}{7}} ⋅ (10^{\frac{3}{7}})^{x}\)
\(\text{ } = 37 ⋅ 2{,}683^{x}\)

opgave 2

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.

LogaritmischTegenLogaritmisch

00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #41 (2ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((1 , 2)\) en \((6 , 1)\) aflezen.

○

\(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {1 - 2 \over 6 - 1} = -\frac{1}{5}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y) = -\frac{1}{5} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (1 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{1}{5} ⋅ 1 + b = 2 \\ -\frac{1}{5} + b = 2 \\ b = 2\frac{1}{5}\end{matrix}\)

○

\(\log(y) = -\frac{1}{5} ⋅ \log(x) + 2\frac{1}{5}\)
\(\log(y) = \log(x^{-\frac{1}{5}}) + \log(10^{2\frac{1}{5}})\)
\(\log(y) = \log(10^{2\frac{1}{5}} ⋅ x^{-\frac{1}{5}})\)

○

\(y = 10^{2\frac{1}{5}} ⋅ x^{-\frac{1}{5}}\)
\(y = 158 ⋅ x^{-0{,}20}\)

opgave 3

Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?

Welke formule hoort er bij dat verband?

SoortFormule

00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

De grafiek hoort bij een exponentieel verband.

Hierbij hoort de formule \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\)