Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Formule van een parabool opstellen'.

havo wiskunde B	4.1 Kwadratische formules
Formule van een parabool opstellen (9)	opgave 1 De parabool \(p\) heeft top \((3 , 7)\) en gaat door het punt \(A (-1 , -3) \text{.}\) 3p Stel de formule van \(p\) op. GegevenTop (1) 005i - Formule van een parabool opstellen - basis - 32ms ○ De top is \((3 , 7) \text{,}\) dus \(y = a (x - 3)^{2} + 7 \text{.}\) 1p ○ Door \(A (-1 , -3)\) dus \(a ⋅ (-1 - 3)^{2} + 7 = -3\) 1p ○ Dus \(a = -\frac{5}{8}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{5}{8} (x - 3)^{2} + 7 \text{.}\) 1p opgave 2 De parabool \(p\) heeft top \((-1 , 3)\) en gaat door het punt \(A (3 , 5) \text{.}\) 3p Stel de formule van \(p\) op. GegevenTop (2) 005j - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms ○ De top is \((-1 , 3) \text{,}\) dus \(y = a (x + 1)^{2} + 3 \text{.}\) 1p ○ Door \(A (3 , 5)\) dus \(a ⋅ (3 + 1)^{2} + 3 = 5\) 1p ○ Dus \(a = \frac{1}{8}\) en \(p \text{:}\) \(y = \frac{1}{8} (x + 1)^{2} + 3 \text{.}\) 1p opgave 3 De parabool \(p\) heeft top \((9 , 4)\) en gaat door het punt \(A (6 , -4) \text{.}\) 4p Stel de formule van \(p\) op. Geef het antwoord in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\) GegevenTop (4) 005k - Formule van een parabool opstellen - basis - 4ms ○ De top is \((9 , 4) \text{,}\) dus \(y = a (x - 9)^{2} + 4 \text{.}\) 1p ○ Door \(A (6 , -4)\) dus \(a ⋅ (6 - 9)^{2} + 4 = -4\) 1p ○ Dus \(a = -\frac{8}{9}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{8}{9} (x - 9)^{2} + 4 \text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(p \text{:}\) \(y = -\frac{8}{9} x^{2} + 16 x - 68 \text{.}\) 1p opgave 4 De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((-6 , 0)\) en \((4 , 0)\) en gaat door het punt \(A (8 , -8) \text{.}\) 3p Stel de formule van \(p\) op. GegevenNulpunten (1) 005l - Formule van een parabool opstellen - basis - 10ms ○ De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((-6 , 0)\) en \((4 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 6) (x - 4) \text{.}\) 1p ○ Door \(A (8 , -8) \text{,}\) dus \(-8 = a (8 + 6) (8 - 4) \text{.}\) 1p ○ Dus \(a = -\frac{1}{7}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{7} (x + 6) (x - 4) \text{.}\) 1p opgave 5 De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((-6 , 0)\) en \((-2 , 0)\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(A\) met \(y_{A} = -3 \text{.}\) 3p Stel de formule van \(p\) op. GegevenNulpunten (2) 005m - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms ○ De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((-6 , 0)\) en \((-2 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 6) (x + 2) \text{.}\) 1p ○ Door \(A (0 , -3) \text{,}\) dus \(-3 = a (0 + 6) (0 + 2) \text{.}\) 1p ○ Dus \(a = -\frac{1}{4}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{4} (x + 6) (x + 2) \text{.}\) 1p opgave 6 De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((-6 , 0)\) en \((-2 , 0)\) en gaat door het punt \(A (-8 , 9) \text{.}\) 4p Stel de formule van \(p\) op. Geef het antwoord in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\) GegevenNulpunten (4) 005n - Formule van een parabool opstellen - basis - 2ms ○ De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((-6 , 0)\) en \((-2 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 6) (x + 2) \text{.}\) 1p ○ Door \(A (-8 , 9) \text{,}\) dus \(9 = a (-8 + 6) (-8 + 2) \text{.}\) 1p ○ Dus \(a = \frac{3}{4}\) en \(p \text{:}\) \(y = \frac{3}{4} (x + 6) (x + 2) \text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(p \text{:}\) \(y = \frac{3}{4} x^{2} + 6 x + 9 \text{.}\) 1p opgave 7 De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((0 , 0)\) en \((3 , 0)\) en gaat door het punt \(A (8 , -8) \text{.}\) 3p Stel de formule van \(p\) op. GegevenNulpunten (3) 005o - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms ○ De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((0 , 0)\) en \((3 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 0) (x - 3) \text{.}\) 1p ○ Door \(A (8 , -8) \text{,}\) dus \(-8 = a (8 + 0) (8 - 3) \text{.}\) 1p ○ Dus \(a = -\frac{1}{5}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{5} x (x - 3) \text{.}\) 1p opgave 8 De parabool \(p\) heeft top \((0 , 5)\) en gaat door het punt \(A (-4 , -7) \text{.}\) 3p Stel de formule van \(p\) op. GegevenTop (3) 005p - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms ○ De top is \((0 , 5) \text{,}\) dus \(y = a (x + 0)^{2} + 5 \text{.}\) 1p ○ Door \(A (-4 , -7)\) dus \(a ⋅ (-4 + 0)^{2} + 5 = -7\) 1p ○ Dus \(a = -\frac{3}{4}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{3}{4} x^{2} + 5 \text{.}\) 1p opgave 9 Zie de onderstaande figuur. 4p a Stel van parabool \(p_{1}\) de formule op in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\) 4p b Stel van parabool \(p_{2}\) de formule op in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\) Grafiek 00o8 - Formule van een parabool opstellen - basis - 102ms - data pool: #919 (102ms) a De top is \((-3 , -4) \text{,}\) dus \(y = a (x + 3)^{2} - 4 \text{.}\) 1p ○ Door \((-6 , -1)\) dus \(a (-6 + 3)^{2} - 4 = -1\) 1p ○ \(9 a = 3\) geeft \(a = \frac{1}{3} \text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(p_{1} \text{:}\) \(y = \frac{1}{3} (x + 3)^{2} - 4\) \(\text{} = \frac{1}{3} (x^{2} + 6 x + 9) - 4\) \(\text{} = \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3 - 4\) \(\text{} = \frac{1}{3} x^{2} + 2 x - 1 \text{.}\) 1p b De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((5 , 0)\) en \((3 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x - 5) (x - 3) \text{.}\) 1p ○ Door \((7 , -4) \text{,}\) dus \(a (7 - 5) (7 - 3) = -4 \text{.}\) 1p ○ \(8 a = -4\) geeft \(a = -\frac{1}{2} \text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(p_{2} \text{:}\) \(y = -\frac{1}{2} (x - 5) (x - 3)\) \(\text{} = -\frac{1}{2} (x^{2} - 8 x + 15)\) \(\text{} = -\frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 7\frac{1}{2} \text{.}\) 1p

havo wiskunde B

4.1 Kwadratische formules

Formule van een parabool opstellen (9)

opgave 1

De parabool \(p\) heeft top \((3 , 7)\) en gaat door het punt \(A (-1 , -3) \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op.

GegevenTop (1)

005i - Formule van een parabool opstellen - basis - 32ms

○

De top is \((3 , 7) \text{,}\) dus \(y = a (x - 3)^{2} + 7 \text{.}\)

○

Door \(A (-1 , -3)\) dus \(a ⋅ (-1 - 3)^{2} + 7 = -3\)

○

Dus \(a = -\frac{5}{8}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{5}{8} (x - 3)^{2} + 7 \text{.}\)

opgave 2

De parabool \(p\) heeft top \((-1 , 3)\) en gaat door het punt \(A (3 , 5) \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op.

GegevenTop (2)

005j - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms

○

De top is \((-1 , 3) \text{,}\) dus \(y = a (x + 1)^{2} + 3 \text{.}\)

○

Door \(A (3 , 5)\) dus \(a ⋅ (3 + 1)^{2} + 3 = 5\)

○

Dus \(a = \frac{1}{8}\) en \(p \text{:}\) \(y = \frac{1}{8} (x + 1)^{2} + 3 \text{.}\)

opgave 3

De parabool \(p\) heeft top \((9 , 4)\) en gaat door het punt \(A (6 , -4) \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op. Geef het antwoord in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\)

GegevenTop (4)

005k - Formule van een parabool opstellen - basis - 4ms

○

De top is \((9 , 4) \text{,}\) dus \(y = a (x - 9)^{2} + 4 \text{.}\)

○

Door \(A (6 , -4)\) dus \(a ⋅ (6 - 9)^{2} + 4 = -4\)

○

Dus \(a = -\frac{8}{9}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{8}{9} (x - 9)^{2} + 4 \text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft \(p \text{:}\) \(y = -\frac{8}{9} x^{2} + 16 x - 68 \text{.}\)

opgave 4

De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((-6 , 0)\) en \((4 , 0)\) en gaat door het punt \(A (8 , -8) \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op.

GegevenNulpunten (1)

005l - Formule van een parabool opstellen - basis - 10ms

○

De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((-6 , 0)\) en \((4 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 6) (x - 4) \text{.}\)

○

Door \(A (8 , -8) \text{,}\) dus \(-8 = a (8 + 6) (8 - 4) \text{.}\)

○

Dus \(a = -\frac{1}{7}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{7} (x + 6) (x - 4) \text{.}\)

opgave 5

De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((-6 , 0)\) en \((-2 , 0)\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(A\) met \(y_{A} = -3 \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op.

GegevenNulpunten (2)

005m - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms

○

De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((-6 , 0)\) en \((-2 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 6) (x + 2) \text{.}\)

○

Door \(A (0 , -3) \text{,}\) dus \(-3 = a (0 + 6) (0 + 2) \text{.}\)

○

Dus \(a = -\frac{1}{4}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{4} (x + 6) (x + 2) \text{.}\)

opgave 6

De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((-6 , 0)\) en \((-2 , 0)\) en gaat door het punt \(A (-8 , 9) \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op. Geef het antwoord in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\)

GegevenNulpunten (4)

005n - Formule van een parabool opstellen - basis - 2ms

○

De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((-6 , 0)\) en \((-2 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 6) (x + 2) \text{.}\)

○

Door \(A (-8 , 9) \text{,}\) dus \(9 = a (-8 + 6) (-8 + 2) \text{.}\)

○

Dus \(a = \frac{3}{4}\) en \(p \text{:}\) \(y = \frac{3}{4} (x + 6) (x + 2) \text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft \(p \text{:}\) \(y = \frac{3}{4} x^{2} + 6 x + 9 \text{.}\)

opgave 7

De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((0 , 0)\) en \((3 , 0)\) en gaat door het punt \(A (8 , -8) \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op.

GegevenNulpunten (3)

005o - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms

○

De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((0 , 0)\) en \((3 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 0) (x - 3) \text{.}\)

○

Door \(A (8 , -8) \text{,}\) dus \(-8 = a (8 + 0) (8 - 3) \text{.}\)

○

Dus \(a = -\frac{1}{5}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{5} x (x - 3) \text{.}\)

opgave 8

De parabool \(p\) heeft top \((0 , 5)\) en gaat door het punt \(A (-4 , -7) \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op.

GegevenTop (3)

005p - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms

○

De top is \((0 , 5) \text{,}\) dus \(y = a (x + 0)^{2} + 5 \text{.}\)

○

Door \(A (-4 , -7)\) dus \(a ⋅ (-4 + 0)^{2} + 5 = -7\)

○

Dus \(a = -\frac{3}{4}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{3}{4} x^{2} + 5 \text{.}\)

opgave 9

Zie de onderstaande figuur.

Stel van parabool \(p_{1}\) de formule op in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\)

Stel van parabool \(p_{2}\) de formule op in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\)

Grafiek

00o8 - Formule van een parabool opstellen - basis - 102ms - data pool: #919 (102ms)

De top is \((-3 , -4) \text{,}\) dus \(y = a (x + 3)^{2} - 4 \text{.}\)

○

Door \((-6 , -1)\) dus \(a (-6 + 3)^{2} - 4 = -1\)

○

\(9 a = 3\) geeft \(a = \frac{1}{3} \text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(p_{1} \text{:}\) \(y = \frac{1}{3} (x + 3)^{2} - 4\)
\(\text{} = \frac{1}{3} (x^{2} + 6 x + 9) - 4\)
\(\text{} = \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 3 - 4\)
\(\text{} = \frac{1}{3} x^{2} + 2 x - 1 \text{.}\)

De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((5 , 0)\) en \((3 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x - 5) (x - 3) \text{.}\)

○

Door \((7 , -4) \text{,}\) dus \(a (7 - 5) (7 - 3) = -4 \text{.}\)

○

\(8 a = -4\) geeft \(a = -\frac{1}{2} \text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(p_{2} \text{:}\) \(y = -\frac{1}{2} (x - 5) (x - 3)\)
\(\text{} = -\frac{1}{2} (x^{2} - 8 x + 15)\)
\(\text{} = -\frac{1}{2} x^{2} + 4 x - 7\frac{1}{2} \text{.}\)