Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (3)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(9, 3)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-5)^2+y^2=25\)
Dus \(M(5, 0)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={0-3 \over 5-9}=\frac{3}{4}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{3}{4}\end{rcases}\text{rc}_l=-1\frac{1}{3}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-1\frac{1}{3}x+b \\ \text{door }A(9, 3)\end{rcases}\begin{matrix}3=-1\frac{1}{3}⋅9+b \\ 3=-12+b \\ b=15\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-1\frac{1}{3}x+15\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x+12y+20=0\text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(-\frac{1}{2}\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 143ms - data pool: #292 (138ms)

○

Stel \(y=-\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+4x+12y+20=0\) geeft
\(x^2+(-\frac{1}{2}x+b)^2+4x+12(-\frac{1}{2}x+b)+20=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+\frac{1}{4}x^2-bx+b^2+4x-6x+12b+20=0\)
\(1\frac{1}{4}x^2+(-b-2)x+(b^2+12b+20)=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-b-2)^2-4⋅1\frac{1}{4}⋅(b^2+12b+20)\)
\(D=b^2+4b+4-5b^2-60b-100\)
\(D=-4b^2-56b-96\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2-56b-96=0\)
\(b^2+14b+24=0\)
\((b+12)(b+2)=0\)
\(b=-12∨b=-2\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=-\frac{1}{2}x-12\) en \(y=-\frac{1}{2}x-2\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x-6y+29=0\) en het punt \(A(0, 8)\text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c\text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 3ms - data pool: #29 (3ms)

○

Stel \(y=ax+8\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-10x-6y+29=0\) geeft
\(x^2+(ax+8)^2-10x-6(ax+8)+29=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2+16ax+64-10x-6ax-48+29=0\)
\((1+a^2)x^2+(10a-10)x+45=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(10a-10)^2-4⋅(1+a^2)⋅45\)
\(D=100a^2-200a+100-180-180a^2\)
\(D=-80a^2-200a-80\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-80a^2-200a-80=0\)
\(-2a^2-5a-2=0\)
\(D=(-5)^2-4⋅-2⋅-2=9\) dus \(\sqrt{D}=3\)
\(a={5-3 \over -4}=-\frac{1}{2}∨a={5+3 \over -4}=-2\text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=-\frac{1}{2}x+8\) en \(y=-2x+8\text{.}\)

1p
"