Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (4)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y + 24 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (8 , 6) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 17\)
Dus \(M (4 , 5)\) en \(r = \sqrt{17} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {5 - 6 \over 4 - 8} = \frac{1}{4} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = \frac{1}{4}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -4\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -4 x + b \\ \text{door } A (8 , 6)\end{rcases} \begin{matrix}6 = -4 ⋅ 8 + b \\ 6 = -32 + b \\ b = 38\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -4 x + 38 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y + 3 = 0 \text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(-2\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 142ms - data pool: #292 (137ms)

○

Stel \(y = -2 x + b \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y + 3 = 0\) geeft
\(x^{2} + (-2 x + b)^{2} + 4 x - 4 (-2 x + b) + 3 = 0 \text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + 4 x^{2} - 4 b x + b^{2} + 4 x + 8 x - 4 b + 3 = 0\)
\(5 x^{2} + (-4 b + 12) x + (b^{2} - 4 b + 3) = 0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (-4 b + 12)^{2} - 4 ⋅ 5 ⋅ (b^{2} - 4 b + 3)\)
\(D = 16 b^{2} - 96 b + 144 - 20 b^{2} + 80 b - 60\)
\(D = -4 b^{2} - 16 b + 84\)

1p

○

Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-4 b^{2} - 16 b + 84 = 0\)
\(b^{2} + 4 b - 21 = 0\)
\((b + 7) (b - 3) = 0\)
\(b = -7 ∨ b = 3\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y = -2 x - 7\) en \(y = -2 x + 3 \text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 12 x + 10 y + 41 = 0\) en het punt \(A (0 , -7) \text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c \text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 5ms - data pool: #29 (4ms)

○

Stel \(y = a x - 7 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 12 x + 10 y + 41 = 0\) geeft
\(x^{2} + (a x - 7)^{2} - 12 x + 10 (a x - 7) + 41 = 0 \text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + a^{2} x^{2} - 14 a x + 49 - 12 x + 10 a x - 70 + 41 = 0\)
\((1 + a^{2}) x^{2} + (-4 a - 12) x + 20 = 0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (-4 a - 12)^{2} - 4 ⋅ (1 + a^{2}) ⋅ 20\)
\(D = 16 a^{2} + 96 a + 144 - 80 - 80 a^{2}\)
\(D = -64 a^{2} + 96 a + 64\)

1p

○

Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-64 a^{2} + 96 a + 64 = 0\)
\(-2 a^{2} + 3 a + 2 = 0\)
\(D = 3^{2} - 4 ⋅ -2 ⋅ 2 = 25\) dus \(\sqrt{D} = 5\)
\(a = {-3 - 5 \over -4} = 2 ∨ a = {-3 + 5 \over -4} = -\frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y = 2 x - 7\) en \(y = -\frac{1}{2} x - 7 \text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 y - 13 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 2\) en \(y_{A} < y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(l \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 y - 13 = 0 \\ x = 2\end{rcases}\) geeft
\(2^{2} + y^{2} + 0 ⋅ 2 + 8 y - 13 = 0\)
\(1 y^{2} + 8 y + -9 = 0\)
\((y + 9) (y + -1) = 0\)
\(y = -9 ∨ y = 1\)

1p

○

\(y_{A} < y_{B} \text{,}\) dus \(A (2 , -9)\) en \(B (2 , 1) \text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\(x^{2} + (y + 4)^{2} - 16 - 13 = 0\)
\(x^{2} + (y + 4)^{2} = 29\)
Dus \(M (0 , -4) \text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(B\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{BM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {-4 - 1 \over 0 - 2} = 2\frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{BM} \perp l \text{, dus } \text{rc}_{\text{BM}} ⋅ \text{rc}_{l} = -1 \\ \text{rc}_{\text{BM}} = 2\frac{1}{2}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{2}{5}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y = -\frac{2}{5} x + b \\ \text{door } B (2 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}1 = -\frac{2}{5} ⋅ 2 + b \\ 1 = -\frac{4}{5} + b \\ b = 1\frac{4}{5}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{2}{5} x + 1\frac{4}{5} \text{.}\)

1p
"