Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (4)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 2 y - 3 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (6 , 5) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 20\)
Dus \(M (4 , 1)\) en \(r = \sqrt{20} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {1 - 5 \over 4 - 6} = 2 \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = 2\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{1}{2}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (6 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}5 = -\frac{1}{2} ⋅ 6 + b \\ 5 = -3 + b \\ b = 8\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{2} x + 8 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 67 = 0 \text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(-\frac{1}{2}\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient (1)
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 121ms - data pool: #292 (118ms)

○

Stel \(y = -\frac{1}{2} x + b \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y - 67 = 0\) geeft
\(x^{2} + (-\frac{1}{2} x + b)^{2} + 4 x - 6 (-\frac{1}{2} x + b) - 67 = 0 \text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + \frac{1}{4} x^{2} - b x + b^{2} + 4 x + 3 x - 6 b - 67 = 0\)
\(1\frac{1}{4} x^{2} + (-b + 7) x + (b^{2} - 6 b - 67) = 0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (-b + 7)^{2} - 4 ⋅ 1\frac{1}{4} ⋅ (b^{2} - 6 b - 67)\)
\(D = b^{2} - 14 b + 49 - 5 b^{2} + 30 b + 335\)
\(D = -4 b^{2} + 16 b + 384\)

1p

○

Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-4 b^{2} + 16 b + 384 = 0\)
\(b^{2} - 4 b - 96 = 0\)
\((b + 8) (b - 12) = 0\)
\(b = -8 ∨ b = 12\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y = -\frac{1}{2} x - 8\) en \(y = -\frac{1}{2} x + 12 \text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 11 = 0\) en het punt \(A (0 , -3) \text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c \text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 3ms - data pool: #29 (2ms)

○

Stel \(y = a x - 3 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 11 = 0\) geeft
\(x^{2} + (a x - 3)^{2} - 6 x + 4 (a x - 3) + 11 = 0 \text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + a^{2} x^{2} - 6 a x + 9 - 6 x + 4 a x - 12 + 11 = 0\)
\((1 + a^{2}) x^{2} + (-2 a - 6) x + 8 = 0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (-2 a - 6)^{2} - 4 ⋅ (1 + a^{2}) ⋅ 8\)
\(D = 4 a^{2} + 24 a + 36 - 32 - 32 a^{2}\)
\(D = -28 a^{2} + 24 a + 4\)

1p

○

Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-28 a^{2} + 24 a + 4 = 0\)
\(-7 a^{2} + 6 a + 1 = 0\)
\(D = 6^{2} - 4 ⋅ -7 ⋅ 1 = 64\) dus \(\sqrt{D} = 8\)
\(a = {-6 - 8 \over -14} = 1 ∨ a = {-6 + 8 \over -14} = -\frac{1}{7} \text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y = x - 3\) en \(y = -\frac{1}{7} x - 3 \text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x - 16 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 0\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(k\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(k \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x - 16 = 0 \\ x = 0\end{rcases}\) geeft
\(0^{2} + y^{2} + 2 ⋅ 0 - 16 = 0\)
\(y^{2} - 16 = 0\)
\(y^{2} = 16\)
\(y = -4 ∨ y = 4\)

1p

○

\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (0 , 4)\) en \(B (0 , -4) \text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x + 1)^{2} - 1 + y^{2} - 16 = 0\)
\((x + 1)^{2} + y^{2} = 17\)
Dus \(M (-1 , 0) \text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(B\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{BM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {0 - -4 \over -1 - 0} = -4 \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{BM} \perp k \text{, dus } \text{rc}_{\text{BM}} ⋅ \text{rc}_{k} = -1 \\ \text{rc}_{\text{BM}} = -4\end{rcases} \text{rc}_{k} = \frac{1}{4}\)

1p

○

\(\begin{rcases}k{:}\,y = \frac{1}{4} x + b \\ \text{door } B (0 , -4)\end{rcases} \begin{matrix}-4 = \frac{1}{4} ⋅ 0 + b \\ -4 = 0 + b \\ b = -4\end{matrix}\)
Dus \(k{:}\,y = \frac{1}{4} x - 4 \text{.}\)

1p
"