Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (3)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x+8y-3=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(3, -2)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+1)^2+(y+4)^2=20\)
Dus \(M(-1, -4)\) en \(r=\sqrt{20}\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={-4--2 \over -1-3}=\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{1}{2}\end{rcases}\text{rc}_l=-2\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-2x+b \\ \text{door }A(3, -2)\end{rcases}\begin{matrix}-2=-2⋅3+b \\ -2=-6+b \\ b=4\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-2x+4\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x+6y+5=0\text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(1\frac{1}{2}\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 195ms - data pool: #292 (190ms)

○

Stel \(y=1\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+6x+6y+5=0\) geeft
\(x^2+(1\frac{1}{2}x+b)^2+6x+6(1\frac{1}{2}x+b)+5=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+2\frac{1}{4}x^2+3bx+b^2+6x+9x+6b+5=0\)
\(3\frac{1}{4}x^2+(3b+15)x+(b^2+6b+5)=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(3b+15)^2-4⋅3\frac{1}{4}⋅(b^2+6b+5)\)
\(D=9b^2+90b+225-13b^2-78b-65\)
\(D=-4b^2+12b+160\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2+12b+160=0\)
\(b^2-3b-40=0\)
\((b+5)(b-8)=0\)
\(b=-5∨b=8\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=1\frac{1}{2}x-5\) en \(y=1\frac{1}{2}x+8\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6x+8y+20=0\) en het punt \(A(0, -5)\text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c\text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 4ms - data pool: #29 (4ms)

○

Stel \(y=ax-5\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-6x+8y+20=0\) geeft
\(x^2+(ax-5)^2-6x+8(ax-5)+20=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2-10ax+25-6x+8ax-40+20=0\)
\((1+a^2)x^2+(-2a-6)x+5=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-2a-6)^2-4⋅(1+a^2)⋅5\)
\(D=4a^2+24a+36-20-20a^2\)
\(D=-16a^2+24a+16\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-16a^2+24a+16=0\)
\(-2a^2+3a+2=0\)
\(D=3^2-4⋅-2⋅2=25\) dus \(\sqrt{D}=5\)
\(a={-3-5 \over -4}=2∨a={-3+5 \over -4}=-\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=2x-5\) en \(y=-\frac{1}{2}x-5\text{.}\)

1p
"