Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (4)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6x-2y=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(4, 4)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-3)^2+(y-1)^2=10\)
Dus \(M(3, 1)\) en \(r=\sqrt{10}\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={1-4 \over 3-4}=3\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=3\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{1}{3}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{3}x+b \\ \text{door }A(4, 4)\end{rcases}\begin{matrix}4=-\frac{1}{3}⋅4+b \\ 4=-1\frac{1}{3}+b \\ b=5\frac{1}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{3}x+5\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x+16y+48=0\text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(\frac{1}{2}\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 109ms - data pool: #292 (105ms)

○

Stel \(y=\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+4x+16y+48=0\) geeft
\(x^2+(\frac{1}{2}x+b)^2+4x+16(\frac{1}{2}x+b)+48=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+\frac{1}{4}x^2+bx+b^2+4x+8x+16b+48=0\)
\(1\frac{1}{4}x^2+(b+12)x+(b^2+16b+48)=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(b+12)^2-4⋅1\frac{1}{4}⋅(b^2+16b+48)\)
\(D=b^2+24b+144-5b^2-80b-240\)
\(D=-4b^2-56b-96\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2-56b-96=0\)
\(b^2+14b+24=0\)
\((b+12)(b+2)=0\)
\(b=-12∨b=-2\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{1}{2}x-12\) en \(y=\frac{1}{2}x-2\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+10y+33=0\) en het punt \(A(0, -2)\text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c\text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 3ms - data pool: #29 (3ms)

○

Stel \(y=ax-2\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-10x+10y+33=0\) geeft
\(x^2+(ax-2)^2-10x+10(ax-2)+33=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2-4ax+4-10x+10ax-20+33=0\)
\((1+a^2)x^2+(6a-10)x+17=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(6a-10)^2-4⋅(1+a^2)⋅17\)
\(D=36a^2-120a+100-68-68a^2\)
\(D=-32a^2-120a+32\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-32a^2-120a+32=0\)
\(-4a^2-15a+4=0\)
\(D=(-15)^2-4⋅-4⋅4=289\) dus \(\sqrt{D}=17\)
\(a={15-17 \over -8}=\frac{1}{4}∨a={15+17 \over -8}=-4\text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{1}{4}x-2\) en \(y=-4x-2\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6y-1=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=3\) en \(y_A<y_B\) liggen op \(c\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(k\) raakt \(c\) in \(B\text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(l\text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^2+y^2-6y-1=0 \\ x=3\end{rcases}\) geeft
\(3^2+y^2+0⋅3-6y-1=0\)
\(y^2-6y+8=0\)
\((y-2)(y-4)=0\)
\(y=2∨y=4\)

1p

○

\(y_A<y_B\text{,}\) dus \(A(3, 2)\) en \(B(3, 4)\text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\(x^2+(y-3)^2-9-1=0\)
\(x^2+(y-3)^2=10\)
Dus \(M(0, 3)\text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}}={\Delta y \over \Delta x}={3-2 \over 0-3}=-\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{AM}\perp l\text{, dus }\text{rc}_{\text{AM}}⋅\text{rc}_l=-1 \\ \text{rc}_{\text{AM}}=-\frac{1}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=3\)

1p

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y=3x+b \\ \text{door }A(3, 2)\end{rcases}\begin{matrix}2=3⋅3+b \\ 2=9+b \\ b=-7\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=3x-7\text{.}\)

1p
"