Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (3)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10x+4y+19=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(-2, -1)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+5)^2+(y+2)^2=10\)
Dus \(M(-5, -2)\) en \(r=\sqrt{10}\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={-2--1 \over -5--2}=\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{1}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=-3\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-3x+b \\ \text{door }A(-2, -1)\end{rcases}\begin{matrix}-1=-3⋅-2+b \\ -1=6+b \\ b=-7\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-3x-7\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x-4y-120=0\text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(\frac{1}{2}\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - data pool: #292 (110ms)

○

Stel \(y=\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x-4y-120=0\) geeft
\(x^2+(\frac{1}{2}x+b)^2+2x-4(\frac{1}{2}x+b)-120=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+\frac{1}{4}x^2+bx+b^2+2x-2x-4b-120=0\)
\(1\frac{1}{4}x^2+bx+(b^2-4b-120)=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=b^2-4⋅1\frac{1}{4}⋅(b^2-4b-120)\)
\(D=b^2+0-5b^2+20b+600\)
\(D=-4b^2+20b+600\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2+20b+600=0\)
\(b^2-5b-150=0\)
\((b+10)(b-15)=0\)
\(b=-10∨b=15\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{1}{2}x-10\) en \(y=\frac{1}{2}x+15\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+12=0\) en het punt \(A(0, 1)\text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c\text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - data pool: #29 (3ms)

○

Stel \(y=ax+1\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-10x+12=0\) geeft
\(x^2+(ax+1)^2-10x+0(ax+1)+12=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2+2ax+1-10x+x+12=0\)
\((1+a^2)x^2+(2a-10)x+13=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(2a-10)^2-4⋅(1+a^2)⋅13\)
\(D=4a^2-40a+100-52-52a^2\)
\(D=-48a^2-40a+48\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-48a^2-40a+48=0\)
\(-6a^2-5a+6=0\)
\(D=(-5)^2-4⋅-6⋅6=169\) dus \(\sqrt{D}=13\)
\(a={5-13 \over -12}=\frac{2}{3}∨a={5+13 \over -12}=-1\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{2}{3}x+1\) en \(y=-1\frac{1}{2}x+1\text{.}\)

1p
"