Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (3)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10x+12=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(-2, 2)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+5)^2+y^2=13\)
Dus \(M(-5, 0)\) en \(r=\sqrt{13}\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={0-2 \over -5--2}=\frac{2}{3}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{2}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=-1\frac{1}{2}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-1\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(-2, 2)\end{rcases}\begin{matrix}2=-1\frac{1}{2}⋅-2+b \\ 2=3+b \\ b=-1\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-1\frac{1}{2}x-1\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x-6y-35=0\text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(-\frac{1}{2}\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 195ms - data pool: #292 (190ms)

○

Stel \(y=-\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x-6y-35=0\) geeft
\(x^2+(-\frac{1}{2}x+b)^2+2x-6(-\frac{1}{2}x+b)-35=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+\frac{1}{4}x^2-bx+b^2+2x+3x-6b-35=0\)
\(1\frac{1}{4}x^2+(-b+5)x+(b^2-6b-35)=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-b+5)^2-4⋅1\frac{1}{4}⋅(b^2-6b-35)\)
\(D=b^2-10b+25-5b^2+30b+175\)
\(D=-4b^2+20b+200\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2+20b+200=0\)
\(b^2-5b-50=0\)
\((b+5)(b-10)=0\)
\(b=-5∨b=10\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=-\frac{1}{2}x-5\) en \(y=-\frac{1}{2}x+10\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x-8y+31=0\) en het punt \(A(0, 9)\text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c\text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 4ms - data pool: #29 (4ms)

○

Stel \(y=ax+9\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-10x-8y+31=0\) geeft
\(x^2+(ax+9)^2-10x-8(ax+9)+31=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2+18ax+81-10x-8ax-72+31=0\)
\((1+a^2)x^2+(10a-10)x+40=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(10a-10)^2-4⋅(1+a^2)⋅40\)
\(D=100a^2-200a+100-160-160a^2\)
\(D=-60a^2-200a-60\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-60a^2-200a-60=0\)
\(-3a^2-10a-3=0\)
\(D=(-10)^2-4⋅-3⋅-3=64\) dus \(\sqrt{D}=8\)
\(a={10-8 \over -6}=-\frac{1}{3}∨a={10+8 \over -6}=-3\text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=-\frac{1}{3}x+9\) en \(y=-3x+9\text{.}\)

1p
"