Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (4)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x+8y-8=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(3, -1)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+1)^2+(y+4)^2=25\)
Dus \(M(-1, -4)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={-4--1 \over -1-3}=\frac{3}{4}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{3}{4}\end{rcases}\text{rc}_l=-1\frac{1}{3}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-1\frac{1}{3}x+b \\ \text{door }A(3, -1)\end{rcases}\begin{matrix}-1=-1\frac{1}{3}⋅3+b \\ -1=-4+b \\ b=3\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-1\frac{1}{3}x+3\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x-2y-18=0\text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(2\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 203ms - data pool: #292 (196ms)

○

Stel \(y=2x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x-2y-18=0\) geeft
\(x^2+(2x+b)^2+2x-2(2x+b)-18=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+4x^2+4bx+b^2+2x-4x-2b-18=0\)
\(5x^2+(4b-2)x+(b^2-2b-18)=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(4b-2)^2-4⋅5⋅(b^2-2b-18)\)
\(D=16b^2-16b+4-20b^2+40b+360\)
\(D=-4b^2+24b+364\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2+24b+364=0\)
\(b^2-6b-91=0\)
\((b+7)(b-13)=0\)
\(b=-7∨b=13\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=2x-7\) en \(y=2x+13\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-12x+28=0\) en het punt \(A(0, -2)\text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c\text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 6ms - data pool: #29 (4ms)

○

Stel \(y=ax-2\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-12x+28=0\) geeft
\(x^2+(ax-2)^2-12x+0(ax-2)+28=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2-4ax+4-12x+x+28=0\)
\((1+a^2)x^2+(-4a-12)x+32=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-4a-12)^2-4⋅(1+a^2)⋅32\)
\(D=16a^2+96a+144-128-128a^2\)
\(D=-112a^2+96a+16\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-112a^2+96a+16=0\)
\(-7a^2+6a+1=0\)
\(D=6^2-4⋅-7⋅1=64\) dus \(\sqrt{D}=8\)
\(a={-6-8 \over -14}=1∨a={-6+8 \over -14}=-\frac{1}{7}\text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=x-2\) en \(y=-\frac{1}{7}x-2\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10x+2y+16=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=-4\) en \(y_A<y_B\) liggen op \(c\text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B\text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(k\text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^2+y^2+10x+2y+16=0 \\ x=-4\end{rcases}\) geeft
\((-4)^2+y^2+10⋅-4+2y+16=0\)
\(y^2+2y-8=0\)
\((y+4)(y-2)=0\)
\(y=-4∨y=2\)

1p

○

\(y_A<y_B\text{,}\) dus \(A(-4, -4)\) en \(B(-4, 2)\text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x+5)^2-25+(y+1)^2-1+16=0\)
\((x+5)^2+(y+1)^2=10\)
Dus \(M(-5, -1)\text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}}={\Delta y \over \Delta x}={-1--4 \over -5--4}=-3\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{AM}\perp k\text{, dus }\text{rc}_{\text{AM}}⋅\text{rc}_k=-1 \\ \text{rc}_{\text{AM}}=-3\end{rcases}\text{rc}_k=\frac{1}{3}\)

1p

○

\(\begin{rcases}k{:}\,y=\frac{1}{3}x+b \\ \text{door }A(-4, -4)\end{rcases}\begin{matrix}-4=\frac{1}{3}⋅-4+b \\ -4=-1\frac{1}{3}+b \\ b=-2\frac{2}{3}\end{matrix}\)
Dus \(k{:}\,y=\frac{1}{3}x-2\frac{2}{3}\text{.}\)

1p
"