Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (4)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + 20 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (6 , -2) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 5\)
Dus \(M (4 , -3)\) en \(r = \sqrt{5} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {-3 - -2 \over 4 - 6} = \frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = \frac{1}{2}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -2\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -2 x + b \\ \text{door } A (6 , -2)\end{rcases} \begin{matrix}-2 = -2 ⋅ 6 + b \\ -2 = -12 + b \\ b = 10\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -2 x + 10 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 4 x - 12 y - 40 = 0 \text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(-\frac{1}{2}\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 113ms - data pool: #292 (108ms)

○

Stel \(y = -\frac{1}{2} x + b \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 4 x - 12 y - 40 = 0\) geeft
\(x^{2} + (-\frac{1}{2} x + b)^{2} + 4 x - 12 (-\frac{1}{2} x + b) - 40 = 0 \text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + \frac{1}{4} x^{2} - b x + b^{2} + 4 x + 6 x - 12 b - 40 = 0\)
\(1\frac{1}{4} x^{2} + (-b + 10) x + (b^{2} - 12 b - 40) = 0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (-b + 10)^{2} - 4 ⋅ 1\frac{1}{4} ⋅ (b^{2} - 12 b - 40)\)
\(D = b^{2} - 20 b + 100 - 5 b^{2} + 60 b + 200\)
\(D = -4 b^{2} + 40 b + 300\)

1p

○

Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-4 b^{2} + 40 b + 300 = 0\)
\(b^{2} - 10 b - 75 = 0\)
\((b + 5) (b - 15) = 0\)
\(b = -5 ∨ b = 15\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y = -\frac{1}{2} x - 5\) en \(y = -\frac{1}{2} x + 15 \text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x + 2 y + 16 = 0\) en het punt \(A (0 , -6) \text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c \text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 3ms - data pool: #29 (2ms)

○

Stel \(y = a x - 6 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 10 x + 2 y + 16 = 0\) geeft
\(x^{2} + (a x - 6)^{2} - 10 x + 2 (a x - 6) + 16 = 0 \text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + a^{2} x^{2} - 12 a x + 36 - 10 x + 2 a x - 12 + 16 = 0\)
\((1 + a^{2}) x^{2} + (-10 a - 10) x + 40 = 0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (-10 a - 10)^{2} - 4 ⋅ (1 + a^{2}) ⋅ 40\)
\(D = 100 a^{2} + 200 a + 100 - 160 - 160 a^{2}\)
\(D = -60 a^{2} + 200 a - 60\)

1p

○

Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-60 a^{2} + 200 a - 60 = 0\)
\(-3 a^{2} + 10 a - 3 = 0\)
\(D = 10^{2} - 4 ⋅ -3 ⋅ -3 = 64\) dus \(\sqrt{D} = 8\)
\(a = {-10 - 8 \over -6} = 3 ∨ a = {-10 + 8 \over -6} = \frac{1}{3} \text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y = 3 x - 6\) en \(y = \frac{1}{3} x - 6 \text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 y - 24 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 4\) en \(y_{A} < y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(k \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 y - 24 = 0 \\ x = 4\end{rcases}\) geeft
\(4^{2} + y^{2} + 0 ⋅ 4 + 2 y - 24 = 0\)
\(1 y^{2} + 2 y + -8 = 0\)
\((y + 4) (y + -2) = 0\)
\(y = -4 ∨ y = 2\)

1p

○

\(y_{A} < y_{B} \text{,}\) dus \(A (4 , -4)\) en \(B (4 , 2) \text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\(x^{2} + (y + 1)^{2} - 1 - 24 = 0\)
\(x^{2} + (y + 1)^{2} = 25\)
Dus \(M (0 , -1) \text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {-1 - -4 \over 0 - 4} = -\frac{3}{4} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{AM} \perp k \text{, dus } \text{rc}_{\text{AM}} ⋅ \text{rc}_{k} = -1 \\ \text{rc}_{\text{AM}} = -\frac{3}{4}\end{rcases} \text{rc}_{k} = 1\frac{1}{3}\)

1p

○

\(\begin{rcases}k{:}\,y = 1\frac{1}{3} x + b \\ \text{door } A (4 , -4)\end{rcases} \begin{matrix}-4 = 1\frac{1}{3} ⋅ 4 + b \\ -4 = 5\frac{1}{3} + b \\ b = -9\frac{1}{3}\end{matrix}\)
Dus \(k{:}\,y = 1\frac{1}{3} x - 9\frac{1}{3} \text{.}\)

1p
"