Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (4)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 2 y + 12 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (6 , 2) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 5\)
Dus \(M (4 , 1)\) en \(r = \sqrt{5} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {1 - 2 \over 4 - 6} = \frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = \frac{1}{2}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -2\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -2 x + b \\ \text{door } A (6 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}2 = -2 ⋅ 6 + b \\ 2 = -12 + b \\ b = 14\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -2 x + 14 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + 21 = 0 \text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(-\frac{1}{2}\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 271ms - data pool: #292 (268ms)

○

Stel \(y = -\frac{1}{2} x + b \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y + 21 = 0\) geeft
\(x^{2} + (-\frac{1}{2} x + b)^{2} + 2 x - 10 (-\frac{1}{2} x + b) + 21 = 0 \text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + \frac{1}{4} x^{2} - b x + b^{2} + 2 x + 5 x - 10 b + 21 = 0\)
\(1\frac{1}{4} x^{2} + (-b + 7) x + (b^{2} - 10 b + 21) = 0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (-b + 7)^{2} - 4 ⋅ 1\frac{1}{4} ⋅ (b^{2} - 10 b + 21)\)
\(D = b^{2} - 14 b + 49 - 5 b^{2} + 50 b - 105\)
\(D = -4 b^{2} + 36 b - 56\)

1p

○

Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-4 b^{2} + 36 b - 56 = 0\)
\(b^{2} - 9 b + 14 = 0\)
\((b - 2) (b - 7) = 0\)
\(b = 2 ∨ b = 7\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y = -\frac{1}{2} x + 2\) en \(y = -\frac{1}{2} x + 7 \text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 11 = 0\) en het punt \(A (0 , 3) \text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c \text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 3ms - data pool: #29 (2ms)

○

Stel \(y = a x + 3 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 11 = 0\) geeft
\(x^{2} + (a x + 3)^{2} - 6 x + 4 (a x + 3) + 11 = 0 \text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + a^{2} x^{2} + 6 a x + 9 - 6 x + 4 a x + 12 + 11 = 0\)
\((1 + a^{2}) x^{2} + (10 a - 6) x + 32 = 0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (10 a - 6)^{2} - 4 ⋅ (1 + a^{2}) ⋅ 32\)
\(D = 100 a^{2} - 120 a + 36 - 128 - 128 a^{2}\)
\(D = -28 a^{2} - 120 a - 92\)

1p

○

Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-28 a^{2} - 120 a - 92 = 0\)
\(-7 a^{2} - 30 a - 23 = 0\)
\(D = (-30)^{2} - 4 ⋅ -7 ⋅ -23 = 256\) dus \(\sqrt{D} = 16\)
\(a = {30 - 16 \over -14} = -1 ∨ a = {30 + 16 \over -14} = -3\frac{2}{7} \text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y = -x + 3\) en \(y = -3\frac{2}{7} x + 3 \text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 y - 20 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 3\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(k \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 y - 20 = 0 \\ x = 3\end{rcases}\) geeft
\(3^{2} + y^{2} + 0 ⋅ 3 - 10 y - 20 = 0\)
\(1 y^{2} + -10 y + -11 = 0\)
\((y + 1) (y + -11) = 0\)
\(y = -1 ∨ y = 11\)

1p

○

\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (3 , 11)\) en \(B (3 , -1) \text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\(x^{2} + (y - 5)^{2} - 25 - 20 = 0\)
\(x^{2} + (y - 5)^{2} = 45\)
Dus \(M (0 , 5) \text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {5 - 11 \over 0 - 3} = 2 \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{AM} \perp k \text{, dus } \text{rc}_{\text{AM}} ⋅ \text{rc}_{k} = -1 \\ \text{rc}_{\text{AM}} = 2\end{rcases} \text{rc}_{k} = -\frac{1}{2}\)

1p

○

\(\begin{rcases}k{:}\,y = -\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (3 , 11)\end{rcases} \begin{matrix}11 = -\frac{1}{2} ⋅ 3 + b \\ 11 = -1\frac{1}{2} + b \\ b = 12\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(k{:}\,y = -\frac{1}{2} x + 12\frac{1}{2} \text{.}\)

1p
"