Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

havo wiskunde B	3.2 De sinusregel en de cosinusregel
Sinus- en cosinusregel (10)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=25\text{,}\) \(\angle K=62\degree\) en \(\angle L=89\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInScherp 007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms a De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}M={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle L) \over \sin(\angle K)}={25⋅\sin(89\degree) \over \sin(62\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}M≈28{,}3\text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M=31\text{,}\) \(\angle L=33\degree\) en \(\angle M=116\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInStomp 007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}L={K\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over \sin(\angle L)}={31⋅\sin(116\degree) \over \sin(33\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}L≈51{,}2\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=19\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=24\) en \(\angle P=48\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{Q}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInScherp 007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 9ms c De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle Q)={P\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle P) \over Q\kern{-.8pt}R}={24⋅\sin(48\degree) \over 19}=0{,}938...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle Q≈69{,}8\degree\) of \(\angle Q≈110{,}2\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle Q\) een scherpe hoek is, dus \(\angle Q≈69{,}8\degree\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=16\text{,}\) \(Q\kern{-.8pt}R=24\) en \(\angle R=38\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{P}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInStomp 007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle P)={Q\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle R) \over P\kern{-.8pt}Q}={24⋅\sin(38\degree) \over 16}=0{,}923...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle P≈67{,}4\degree\) of \(\angle P≈112{,}6\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle P\) een stompe hoek is, dus \(\angle P≈112{,}6\degree\text{.}\) 1p opgave 2 4p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=25\text{,}\) \(\angle C=39\degree\) en \(\angle B=56\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInScherp 007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms a Uit \(\angle C+\angle A+\angle B=180\degree\) volgt \(\angle A=180\degree-\angle C-\angle B=180\degree-39\degree-56\degree=85\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}B={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over \sin(\angle A)}={25⋅\sin(39\degree) \over \sin(85\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}B≈15{,}8\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=46\text{,}\) \(\angle A=34\degree\) en \(\angle C=25\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInStomp 007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b Uit \(\angle A+\angle B+\angle C=180\degree\) volgt \(\angle B=180\degree-\angle A-\angle C=180\degree-34\degree-25\degree=121\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C={A\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle A) \over \sin(\angle B)}={46⋅\sin(34\degree) \over \sin(121\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C≈30{,}0\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=57\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C=28\) en \(\angle B=89\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInScherp 007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms c De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}B^2+B\kern{-.8pt}C^2-2⋅A\kern{-.8pt}B⋅B\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle B)\text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}C^2=57^2+28^2-2⋅57⋅28⋅\cos(89\degree)=3977{,}291...\text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}C=\sqrt{3977{,}291...}≈63{,}1\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=20\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=14\) en \(\angle C=117\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInStomp 007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}B^2=B\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}C^2-2⋅B\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle C)\text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}B^2=20^2+14^2-2⋅20⋅14⋅\cos(117\degree)=850{,}234...\text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}B=\sqrt{850{,}234...}≈29{,}2\text{.}\) 1p opgave 3 4p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=24\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=26\) en \(K\kern{-.8pt}M=26\text{.}\) Bereken \(\angle \text{L}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInScherp 007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 8ms a De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}M^2=K\kern{-.8pt}L^2+L\kern{-.8pt}M^2-2⋅K\kern{-.8pt}L⋅L\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle L)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(26^2=24^2+26^2-2⋅24⋅26⋅\cos(\angle L)\) dus \(676=1\,252-1\,248⋅\cos(\angle L)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle L)={676-1\,252 \over -1\,248}=0{,}461...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle L=\cos^{-1}(0{,}461...)≈62{,}5\degree\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=11\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C=21\) en \(A\kern{-.8pt}C=25\text{.}\) Bereken \(\angle \text{B}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInStomp 007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}B^2+B\kern{-.8pt}C^2-2⋅A\kern{-.8pt}B⋅B\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle B)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(25^2=11^2+21^2-2⋅11⋅21⋅\cos(\angle B)\) dus \(625=562-462⋅\cos(\angle B)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle B)={625-562 \over -462}=-0{,}136...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle B=\cos^{-1}(-0{,}136...)≈97{,}8\degree\text{.}\) 1p

3.2 De sinusregel en de cosinusregel

Sinus- en cosinusregel (10)

opgave 1

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=25\text{,}\) \(\angle K=62\degree\) en \(\angle L=89\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInScherp

007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}M={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle L) \over \sin(\angle K)}={25⋅\sin(89\degree) \over \sin(62\degree)}\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}M≈28{,}3\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M=31\text{,}\) \(\angle L=33\degree\) en \(\angle M=116\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInStomp

007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}L={K\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over \sin(\angle L)}={31⋅\sin(116\degree) \over \sin(33\degree)}\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}L≈51{,}2\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=19\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=24\) en \(\angle P=48\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{Q}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInScherp

007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 9ms

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle Q)={P\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle P) \over Q\kern{-.8pt}R}={24⋅\sin(48\degree) \over 19}=0{,}938...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle Q≈69{,}8\degree\) of \(\angle Q≈110{,}2\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle Q\) een scherpe hoek is, dus \(\angle Q≈69{,}8\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=16\text{,}\) \(Q\kern{-.8pt}R=24\) en \(\angle R=38\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{P}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInStomp

007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle P)={Q\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle R) \over P\kern{-.8pt}Q}={24⋅\sin(38\degree) \over 16}=0{,}923...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle P≈67{,}4\degree\) of \(\angle P≈112{,}6\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle P\) een stompe hoek is, dus \(\angle P≈112{,}6\degree\text{.}\)

opgave 2

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=25\text{,}\) \(\angle C=39\degree\) en \(\angle B=56\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInScherp

007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

Uit \(\angle C+\angle A+\angle B=180\degree\) volgt \(\angle A=180\degree-\angle C-\angle B=180\degree-39\degree-56\degree=85\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}\text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}B={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over \sin(\angle A)}={25⋅\sin(39\degree) \over \sin(85\degree)}\text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}B≈15{,}8\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=46\text{,}\) \(\angle A=34\degree\) en \(\angle C=25\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInStomp

007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle A+\angle B+\angle C=180\degree\) volgt \(\angle B=180\degree-\angle A-\angle C=180\degree-34\degree-25\degree=121\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\)

○

Dus \(B\kern{-.8pt}C={A\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle A) \over \sin(\angle B)}={46⋅\sin(34\degree) \over \sin(121\degree)}\text{.}\)

○

\(B\kern{-.8pt}C≈30{,}0\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=57\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C=28\) en \(\angle B=89\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInScherp

007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}B^2+B\kern{-.8pt}C^2-2⋅A\kern{-.8pt}B⋅B\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle B)\text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}C^2=57^2+28^2-2⋅57⋅28⋅\cos(89\degree)=3977{,}291...\text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}C=\sqrt{3977{,}291...}≈63{,}1\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=20\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=14\) en \(\angle C=117\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInStomp

007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}B^2=B\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}C^2-2⋅B\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle C)\text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}B^2=20^2+14^2-2⋅20⋅14⋅\cos(117\degree)=850{,}234...\text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}B=\sqrt{850{,}234...}≈29{,}2\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=24\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=26\) en \(K\kern{-.8pt}M=26\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{L}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInScherp

007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 8ms

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}M^2=K\kern{-.8pt}L^2+L\kern{-.8pt}M^2-2⋅K\kern{-.8pt}L⋅L\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle L)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(26^2=24^2+26^2-2⋅24⋅26⋅\cos(\angle L)\)
dus \(676=1\,252-1\,248⋅\cos(\angle L)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle L)={676-1\,252 \over -1\,248}=0{,}461...\)

○

Hieruit volgt \(\angle L=\cos^{-1}(0{,}461...)≈62{,}5\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=11\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C=21\) en \(A\kern{-.8pt}C=25\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{B}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInStomp

007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}B^2+B\kern{-.8pt}C^2-2⋅A\kern{-.8pt}B⋅B\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle B)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(25^2=11^2+21^2-2⋅11⋅21⋅\cos(\angle B)\)
dus \(625=562-462⋅\cos(\angle B)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle B)={625-562 \over -462}=-0{,}136...\)

○

Hieruit volgt \(\angle B=\cos^{-1}(-0{,}136...)≈97{,}8\degree\text{.}\)