Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 23 x + 3\frac{5}{6} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-3 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 23 x + 3\frac{5}{6}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + x - 23 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -3\) geeft \(x^{2} + x - 23 = -3\) \(x^{2} + x - 20 = 0\) \((x + 5) (x - 4) = 0\) \(x = -5 ∨ x = 4 \text{.}\) 1p ○ \(f(-5) = 89\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(A (-5 , 89\frac{2}{3}) \text{.}\) 1p ○ \(f(4) = -58\frac{5}{6} \text{,}\) dus \(B (4 , -58\frac{5}{6}) \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {10 \over 5 x + 10}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -3 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 34ms - data pool: #536 (33ms) ○ \(f(-3) = -2 \text{,}\) dus \(A (-3 , -2)\) 1p ○ \(f(x) = {10 \over 5 x + 10} = 10 (5 x + 10)^{-1}\) geeft \(f'(x) = 10 ⋅ -1 ⋅ (5 x + 10)^{-2} ⋅ 5 = {-50 \over (5 x + 10)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(-3) = -2\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = \frac{1}{2} \text{,}\) dus \(y = \frac{1}{2} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = \frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (-3 , -2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{2} ⋅ -3 + b = -2 \\ -1\frac{1}{2} + b = -2 \\ b = -\frac{1}{2}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , -\frac{1}{2})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + 4 x + 5\) en \(g(x) = -x^{2} - 5 x - 4 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 26ms - data pool: #503 (26ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} + 4 x + 5 = -x^{2} - 5 x - 4\) \(2 x^{2} + 9 x + 9 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 9^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ 9 = 9\) geeft \(x = {-9 - \sqrt{9} \over 2 ⋅ 2} = -3 ∨ x = {-9 + \sqrt{9} \over 2 ⋅ 2} = -1\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -3 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-3) = 2\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x - 5\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-3) = 1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = x + b \\ \text{door } A (-3 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}1 ⋅ -3 + b = 2 \\ -3 + b = 2 \\ b = 5\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = x + 5 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} + 4 x + 5 = x + 5\) \(x^{2} + 3 x = 0\) \((x + 3) x = 0\) \(x = -3 ∨ x = 0\) 1p ○ \(x_{C} = 0 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(0) = 5\) en \(C (0 , 5) \text{.}\) 1p

"