Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B 6.1 Raaklijnen en toppen

Toepassingen van de afgeleide functie (5)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x)=x^3+x^2-2x-6\text{.}\) Op de grafiek van \(f\) ligt het punt \(A\) met \(x_A=-2\text{.}\)

4p

Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn \(l\) in \(A\text{.}\)

OpstellenFormuleRaaklijn
00a3 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis

\(f(-2)=-6\text{,}\) dus \(A(-2, -6)\text{.}\)

1p

\(f(x)=x^3+x^2-2x-6\) geeft \(f'(x)=3x^2+2x-2\text{.}\)

1p

Stel \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=f'(-2)=6\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y=6x+b \\ \text{door }A(-2, -6)\end{rcases}\begin{matrix}6⋅-2+b=-6 \\ -12+b=-6 \\ b=6\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=6x+6\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de functie \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-22x+2\frac{1}{2}\text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-2\text{.}\)

4p

Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B\text{.}\)

RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient
00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-22x+2\frac{1}{2}\) geeft \(f'(x)=x^2-x-22\text{.}\)

1p

\(f'(x)=-2\) geeft
\(x^2-x-22=-2\)
\(x^2-x-20=0\)
\((x+4)(x-5)=0\)
\(x=-4∨x=5\text{.}\)

1p

\(f(-4)=61\frac{1}{6}\text{,}\) dus \(A(-4, 61\frac{1}{6})\text{.}\)

1p

\(f(5)=-78\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(B(5, -78\frac{1}{3})\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven is de functie \(f(x)=2x^3+9x^2-24x-48\text{.}\)

4p

Bereken exact de extreme waarden van \(f\text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (1)
00j1 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis

\(f'(x)=6x^2+18x-24\)

1p

\(f'(x)=0\) geeft
\(6x^2+18x-24=0\)
\(x^2+3x-4=0\)
\((x+4)(x-1)=0\)
\(x=-4∨x=1\)

1p

Schets:

Oxy-41

1p

max. is \(f(-4)=64\) en min. is \(f(1)=-61\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de functie \(f(x)=-3x^4-32x^3-90x^2-31\text{.}\)

4p

Bereken exact de extreme waarden van \(f\text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (2)
00j2 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis

\(f'(x)=-12x^3-96x^2-180x\)

1p

\(f'(x)=0\) geeft
\(-12x^3-96x^2-180x=0\)
\(x^3+8x^2+15x=0\)
\(x(x+5)(x+3)=0\)
\(x=0∨x=-5∨x=-3\)

1p

Schets:

Oxy-5-30

1p

max. is \(f(-5)=-156\text{,}\) min. is \(f(-3)=-220\) en max. is \(f(0)=-31\text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is de functie \(f(x)=-\frac{1}{5}x^5+2x^3-9x\text{.}\)

4p

Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x=\sqrt{3}\text{.}\)

ExtremeWaardenAantonen
00j3 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis

\(f'(x)=-x^4+6x^2-9\)

1p

\(f'(\sqrt{3})=-(\sqrt{3})^4+6(\sqrt{3})^2-9=0\)

1p

Schets:

Oxy

1p

\(f'(\sqrt{3})=0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x=\sqrt{3}\text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x=\sqrt{3}\text{.}\)

1p

havo wiskunde B 6.2 De afgeleide van machtsfuncties

Toepassingen van de afgeleide functie (1)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x)={4x^2+x+49 \over 8x}\text{.}\)

5p

Bereken de extreme waarden van \(f\text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (4)
00j5 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis

Uitdelen geeft
\(f(x)={4x^2+x+49 \over 8x}={4x^2 \over 8x}+{x \over 8x}+{49 \over 8x}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}+\frac{49}{8}x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x)=\frac{1}{2}+\frac{49}{8}⋅-1⋅x^{-2}=\frac{1}{2}-{49 \over 8x^2}\text{.}\)

2p

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{1}{2}-{49 \over 8x^2}=0\)
\(\frac{1}{2}={49 \over 8x^2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(8x^2=98\)
\(x^2=\frac{49}{4}\)
\(x=\sqrt{\frac{49}{4}}=3\frac{1}{2}∨x=-\sqrt{\frac{49}{4}}=-3\frac{1}{2}\)

1p

Schets:

Oxy

1p

min. is \(f(-3\frac{1}{2})=-3\frac{3}{8}\) en max. is \(f(3\frac{1}{2})=3\frac{5}{8}\text{.}\)

1p

havo wiskunde B 6.3 De kettingregel

Toepassingen van de afgeleide functie (1)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x)=\frac{1}{4}x-\sqrt{4x}\text{.}\)

6p

a

Bereken exact de top van \(f\text{.}\)

2p

b

Bepaal exact het bereik en het domein van \(f\text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (3)
00j4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - data pool: #142 (3ms)

a

\(f(x)=\frac{1}{4}x-\sqrt{4x}=\frac{1}{4}x-(4x)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}⋅(4x)^{-\frac{1}{2}}⋅4=\frac{1}{4}-{2 \over \sqrt{4x}}\text{.}\)

2p

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{1}{4}-{2 \over \sqrt{4x}}=0\)
\(-{2 \over \sqrt{4x}}=-\frac{1}{4}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(\sqrt{4x}=8\)

1p

Kwadrateren geeft
\(4x=64\)
\(x=16\)

1p

Schets:

Oxy

1p

min. is \(f(16)=-4\text{.}\)

1p

b

\(4x≥0\) geeft \(x≥0\text{,}\) dus \(D_f=[0, \rightarrow ⟩\text{.}\)

1p

min. is \(f(16)=-4\text{,}\) dus \(B_f=[-4, \rightarrow ⟩\text{.}\)

1p

havo wiskunde B 6.4 Toepassingen van de afgeleide

Toepassingen van de afgeleide functie (2)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x)={9 \over 6x+9}\) en het punt \(A\) met \(x_A=-3\text{.}\)

De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A\text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y\text{-}\)as in het punt \(B\text{.}\)

OxyAB

7p

Bereken exact de coördinaten van \(B\text{.}\)

LoodrechteLijnOpstellen
00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - data pool: #536 (29ms)

\(f(-3)=-1\text{,}\) dus \(A(-3, -1)\)

1p

\(f(x)={9 \over 6x+9}=9(6x+9)^{-1}\) geeft
\(f'(x)=9⋅-1⋅(6x+9)^{-2}⋅6={-54 \over (6x+9)^2}\)

2p

\(\text{rc}_k=f'(-3)=-\frac{2}{3}\)

1p

\(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=\frac{3}{2}\text{,}\) dus \(y=1\frac{1}{2}x+b\)

1p

\(\begin{rcases}y=1\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(-3, -1)\end{rcases}\begin{matrix}1\frac{1}{2}⋅-3+b=-1 \\ -4\frac{1}{2}+b=-1 \\ b=3\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=1\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

\(B(0, 3\frac{1}{2})\)

1p

opgave 2

Gegeven zijn de functies \(f(x)=x^2-4x-2\) en \(g(x)=-x^2+x+5\text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B\text{,}\) met \(x_A<x_B\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C\text{.}\)

OxyABC

7p

Bereken exact de coördinaten van het punt \(C\text{.}\)

RaaklijnAanSnijdendeParabolen
00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - data pool: #503 (18ms)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^2-4x-2=-x^2+x+5\)
\(2x^2-5x-7=0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=(-5)^2-4⋅2⋅-7=81\) geeft
\(x={5-\sqrt{81} \over 2⋅2}=-1∨x={5+\sqrt{81} \over 2⋅2}=3\frac{1}{2}\)

1p

\(x_A=-1\text{,}\) dus \(y_A=g(-1)=3\)

1p

\(g'(x)=-2x+1\)

1p

\(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-1)=3\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y=3x+b \\ \text{door }A(-1, 3)\end{rcases}\begin{matrix}3⋅-1+b=3 \\ -3+b=3 \\ b=6\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=3x+6\text{.}\)

1p

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^2-4x-2=3x+6\)
\(x^2-7x-8=0\)
\((x+1)(x-8)=0\)
\(x=-1∨x=8\)

1p

\(x_C=8\text{,}\) dus \(y_C=f(8)=30\) en
\(C(8, 30)\text{.}\)

1p

"