\(f(-2)=-5\text{,}\) dus \(A(-2, -5)\text{.}\)

\(f(x)=2x^3+6x^2+4x-5\) geeft \(f'(x)=6x^2+12x+4\text{.}\)

Stel \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=f'(-2)=4\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=4x+b \\ \text{door }A(-2, -5)\end{rcases}\begin{matrix}4⋅-2+b=-5 \\ -8+b=-5 \\ b=3\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=4x+3\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3+3x^2+3x+\frac{1}{3}\) geeft \(f'(x)=x^2+6x+3\text{.}\)

\(f'(x)=-5\) geeft
\(x^2+6x+3=-5\)
\(x^2+6x+8=0\)
\((x+4)(x+2)=0\)
\(x=-4∨x=-2\text{.}\)

\(f(-4)=15\text{,}\) dus \(A(-4, 15)\text{.}\)

\(f(-2)=3\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(B(-2, 3\frac{2}{3})\text{.}\)

\(f'(x)=6x^2+18x-24\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(6x^2+18x-24=0\)
\(x^2+3x-4=0\)
\((x+4)(x-1)=0\)
\(x=-4∨x=1\)

Schets:

max. is \(f(-4)=69\) en min. is \(f(1)=-56\text{.}\)

\(f'(x)=-12x^3-84x^2-120x\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(-12x^3-84x^2-120x=0\)
\(x^3+7x^2+10x=0\)
\(x(x+5)(x+2)=0\)
\(x=0∨x=-5∨x=-2\)

Schets:

max. is \(f(-5)=151\text{,}\) min. is \(f(-2)=-38\) en max. is \(f(0)=26\text{.}\)

\(f'(x)=x^4-3x^2+2\)

\(f'(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^4-3(\sqrt{2})^2+2=0\)

Schets:

\(f'(\sqrt{2})=0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x=\sqrt{2}\text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x=\sqrt{2}\text{.}\)

Uitdelen geeft
\(f(x)={x^2+8x+9 \over 3x}={x^2 \over 3x}+{8x \over 3x}+{9 \over 3x}=\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}+3x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x)=\frac{1}{3}+3⋅-1⋅x^{-2}=\frac{1}{3}-{3 \over x^2}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{1}{3}-{3 \over x^2}=0\)
\(\frac{1}{3}={3 \over x^2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(x^2=9\)
\(x=\sqrt{9}=3∨x=-\sqrt{9}=-3\)

Schets:

min. is \(f(-3)=\frac{2}{3}\) en max. is \(f(3)=4\frac{2}{3}\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{2}x-\sqrt{x-4}=\frac{1}{2}x-(x-4)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}⋅(x-4)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}-{1 \over 2\sqrt{x-4}}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{1}{2}-{1 \over 2\sqrt{x-4}}=0\)
\(-{1 \over 2\sqrt{x-4}}=-\frac{1}{2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(2\sqrt{x-4}=2\)
\(\sqrt{x-4}=1\)

Kwadrateren geeft
\(x-4=1\)
\(x=5\)

Schets:

min. is \(f(5)=1\frac{1}{2}\text{.}\)

\(x-4≥0\) geeft \(x≥4\text{,}\) dus \(D_f=[4, \rightarrow ⟩\text{.}\)

min. is \(f(5)=1\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(B_f=[1\frac{1}{2}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

\(f(2)=-1\text{,}\) dus \(A(2, -1)\)

\(f(x)={2 \over 4x-10}=2(4x-10)^{-1}\) geeft
\(f'(x)=2⋅-1⋅(4x-10)^{-2}⋅4={-8 \over (4x-10)^2}\)

\(\text{rc}_k=f'(2)=-2\)

\(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(y=\frac{1}{2}x+b\)

\(\begin{rcases}y=\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(2, -1)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{1}{2}⋅2+b=-1 \\ 1+b=-1 \\ b=-2\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=\frac{1}{2}x-2\text{.}\)

\(B(0, -2)\)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^2-x-2=-x^2-5x+4\)
\(2x^2+4x-6=0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=4^2-4⋅2⋅-6=64\) geeft
\(x={-4-\sqrt{64} \over 2⋅2}=-3∨x={-4+\sqrt{64} \over 2⋅2}=1\)

\(x_A=-3\text{,}\) dus \(y_A=g(-3)=10\)

\(g'(x)=-2x-5\)

\(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-3)=1\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=x+b \\ \text{door }A(-3, 10)\end{rcases}\begin{matrix}1⋅-3+b=10 \\ -3+b=10 \\ b=13\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=x+13\text{.}\)

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^2-x-2=x+13\)
\(x^2-2x-15=0\)
\((x+3)(x-5)=0\)
\(x=-3∨x=5\)

\(x_C=5\text{,}\) dus \(y_C=f(5)=18\) en
\(C(5, 18)\text{.}\)