Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B 6.1 Raaklijnen en toppen

Toepassingen van de afgeleide functie (5)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x)=4x^3+x^2-4x-6\text{.}\) Op de grafiek van \(f\) ligt het punt \(A\) met \(x_A=-1\text{.}\)

4p

Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn \(l\) in \(A\text{.}\)

OpstellenFormuleRaaklijn
00a3 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis

\(f(-1)=-5\text{,}\) dus \(A(-1, -5)\text{.}\)

1p

\(f(x)=4x^3+x^2-4x-6\) geeft \(f'(x)=12x^2+2x-4\text{.}\)

1p

Stel \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=f'(-1)=6\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y=6x+b \\ \text{door }A(-1, -5)\end{rcases}\begin{matrix}6⋅-1+b=-5 \\ -6+b=-5 \\ b=1\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=6x+1\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de functie \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-x+3\frac{5}{6}\text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(5\text{.}\)

4p

Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B\text{.}\)

RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient
00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-x+3\frac{5}{6}\) geeft \(f'(x)=x^2-x-1\text{.}\)

1p

\(f'(x)=5\) geeft
\(x^2-x-1=5\)
\(x^2-x-6=0\)
\((x+2)(x-3)=0\)
\(x=-2∨x=3\text{.}\)

1p

\(f(-2)=1\frac{1}{6}\text{,}\) dus \(A(-2, 1\frac{1}{6})\text{.}\)

1p

\(f(3)=5\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(B(3, 5\frac{1}{3})\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven is de functie \(f(x)=2x^3-15x^2+24x+32\text{.}\)

4p

Bereken exact de extreme waarden van \(f\text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (1)
00j1 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis

\(f'(x)=6x^2-30x+24\)

1p

\(f'(x)=0\) geeft
\(6x^2-30x+24=0\)
\(x^2-5x+4=0\)
\((x-1)(x-4)=0\)
\(x=1∨x=4\)

1p

Schets:

Oxy14

1p

max. is \(f(1)=43\) en min. is \(f(4)=16\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de functie \(f(x)=3x^4+24x^3+30x^2-49\text{.}\)

4p

Bereken exact de extreme waarden van \(f\text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (2)
00j2 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis

\(f'(x)=12x^3+72x^2+60x\)

1p

\(f'(x)=0\) geeft
\(12x^3+72x^2+60x=0\)
\(x^3+6x^2+5x=0\)
\(x(x+5)(x+1)=0\)
\(x=0∨x=-5∨x=-1\)

1p

Schets:

Oxy-5-10

1p

min. is \(f(-5)=-424\text{,}\) max. is \(f(-1)=-40\) en min. is \(f(0)=-49\text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is de functie \(f(x)=x^5-6x^3+9x\text{.}\)

4p

Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x=\sqrt{3}\text{.}\)

ExtremeWaardenAantonen
00j3 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis

\(f'(x)=5x^4-18x^2+9\)

1p

\(f'(\sqrt{3})=5(\sqrt{3})^4-18(\sqrt{3})^2+9=0\)

1p

Schets:

Oxy

1p

\(f'(\sqrt{3})=0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x=\sqrt{3}\text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x=\sqrt{3}\text{.}\)

1p

havo wiskunde B 6.2 De afgeleide van machtsfuncties

Toepassingen van de afgeleide functie (1)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x)={4x^2+9x+81 \over 6x}\text{.}\)

5p

Bereken de extreme waarden van \(f\text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (4)
00j5 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis

Uitdelen geeft
\(f(x)={4x^2+9x+81 \over 6x}={4x^2 \over 6x}+{9x \over 6x}+{81 \over 6x}=\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}+\frac{27}{2}x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x)=\frac{2}{3}+\frac{27}{2}⋅-1⋅x^{-2}=\frac{2}{3}-{27 \over 2x^2}\text{.}\)

2p

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{2}{3}-{27 \over 2x^2}=0\)
\(\frac{2}{3}={27 \over 2x^2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(4x^2=81\)
\(x^2=\frac{81}{4}\)
\(x=\sqrt{\frac{81}{4}}=4\frac{1}{2}∨x=-\sqrt{\frac{81}{4}}=-4\frac{1}{2}\)

1p

Schets:

Oxy

1p

min. is \(f(-4\frac{1}{2})=-4\frac{1}{2}\) en max. is \(f(4\frac{1}{2})=7\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

havo wiskunde B 6.3 De kettingregel

Toepassingen van de afgeleide functie (1)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x)=\frac{1}{2}x-\sqrt{4x-2}\text{.}\)

6p

a

Bereken exact de top van \(f\text{.}\)

2p

b

Bepaal exact het bereik en het domein van \(f\text{.}\)

ExtremeWaardenBepalen (3)
00j4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - data pool: #142 (3ms)

a

\(f(x)=\frac{1}{2}x-\sqrt{4x-2}=\frac{1}{2}x-(4x-2)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}⋅(4x-2)^{-\frac{1}{2}}⋅4=\frac{1}{2}-{2 \over \sqrt{4x-2}}\text{.}\)

2p

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{1}{2}-{2 \over \sqrt{4x-2}}=0\)
\(-{2 \over \sqrt{4x-2}}=-\frac{1}{2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(\sqrt{4x-2}=4\)

1p

Kwadrateren geeft
\(4x-2=16\)
\(x=4\frac{1}{2}\)

1p

Schets:

Oxy

1p

min. is \(f(4\frac{1}{2})=-1\frac{3}{4}\text{.}\)

1p

b

\(4x-2≥0\) geeft \(x≥\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(D_f=[\frac{1}{2}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

1p

min. is \(f(4\frac{1}{2})=-1\frac{3}{4}\text{,}\) dus \(B_f=[-1\frac{3}{4}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

1p

havo wiskunde B 6.4 Toepassingen van de afgeleide

Toepassingen van de afgeleide functie (2)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x)={-1 \over 2x+5}\) en het punt \(A\) met \(x_A=-2\text{.}\)

De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A\text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y\text{-}\)as in het punt \(B\text{.}\)

OxyAB

7p

Bereken exact de coördinaten van \(B\text{.}\)

LoodrechteLijnOpstellen
00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - data pool: #536 (29ms)

\(f(-2)=-1\text{,}\) dus \(A(-2, -1)\)

1p

\(f(x)={-1 \over 2x+5}=-1(2x+5)^{-1}\) geeft
\(f'(x)=-1⋅-1⋅(2x+5)^{-2}⋅2={2 \over (2x+5)^2}\)

2p

\(\text{rc}_k=f'(-2)=2\)

1p

\(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=-\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(y=-\frac{1}{2}x+b\)

1p

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(-2, -1)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{2}⋅-2+b=-1 \\ 1+b=-1 \\ b=-2\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{2}x-2\text{.}\)

1p

\(B(0, -2)\)

1p

opgave 2

Gegeven zijn de functies \(f(x)=x^2+3x-3\) en \(g(x)=-x^2+2x+3\text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B\text{,}\) met \(x_A<x_B\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C\text{.}\)

OxyABC

7p

Bereken exact de coördinaten van het punt \(C\text{.}\)

RaaklijnAanSnijdendeParabolen
00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - data pool: #503 (18ms)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^2+3x-3=-x^2+2x+3\)
\(2x^2+x-6=0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=1^2-4⋅2⋅-6=49\) geeft
\(x={-1-\sqrt{49} \over 2⋅2}=-2∨x={-1+\sqrt{49} \over 2⋅2}=1\frac{1}{2}\)

1p

\(x_A=-2\text{,}\) dus \(y_A=g(-2)=-5\)

1p

\(g'(x)=-2x+2\)

1p

\(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-2)=6\text{.}\)

1p

\(\begin{rcases}y=6x+b \\ \text{door }A(-2, -5)\end{rcases}\begin{matrix}6⋅-2+b=-5 \\ -12+b=-5 \\ b=7\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=6x+7\text{.}\)

1p

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^2+3x-3=6x+7\)
\(x^2-3x-10=0\)
\((x+2)(x-5)=0\)
\(x=-2∨x=5\)

1p

\(x_C=5\text{,}\) dus \(y_C=f(5)=37\) en
\(C(5, 37)\text{.}\)

1p

"