Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 17 x + 3\frac{5}{6} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-5 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 17 x + 3\frac{5}{6}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + x - 17 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -5\) geeft \(x^{2} + x - 17 = -5\) \(x^{2} + x - 12 = 0\) \((x + 4) (x - 3) = 0\) \(x = -4 ∨ x = 3 \text{.}\) 1p ○ \(f(-4) = 58\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(A (-4 , 58\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p ○ \(f(3) = -33\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(B (3 , -33\frac{2}{3}) \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {-9 \over 8 x + 10}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -2 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 23ms - data pool: #536 (23ms) ○ \(f(-2) = 1\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(A (-2 , 1\frac{1}{2})\) 1p ○ \(f(x) = {-9 \over 8 x + 10} = -9 (8 x + 10)^{-1}\) geeft \(f'(x) = -9 ⋅ -1 ⋅ (8 x + 10)^{-2} ⋅ 8 = {72 \over (8 x + 10)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(-2) = 2\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = -\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(y = -\frac{1}{2} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (-2 , 1\frac{1}{2})\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{1}{2} ⋅ -2 + b = 1\frac{1}{2} \\ 1 + b = 1\frac{1}{2} \\ b = \frac{1}{2}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , \frac{1}{2})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} - 5 x + 5\) en \(g(x) = -x^{2} + 4 x - 2 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 15ms - data pool: #503 (15ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} - 5 x + 5 = -x^{2} + 4 x - 2\) \(2 x^{2} - 9 x + 7 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = (-9)^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ 7 = 25\) geeft \(x = {9 - \sqrt{25} \over 2 ⋅ 2} = 1 ∨ x = {9 + \sqrt{25} \over 2 ⋅ 2} = 3\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = 1 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(1) = 1\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x + 4\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(1) = 2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 2 x + b \\ \text{door } A (1 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}2 ⋅ 1 + b = 1 \\ 2 + b = 1 \\ b = -1\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 2 x - 1 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} - 5 x + 5 = 2 x - 1\) \(x^{2} - 7 x + 6 = 0\) \((x - 1) (x - 6) = 0\) \(x = 1 ∨ x = 6\) 1p ○ \(x_{C} = 6 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(6) = 11\) en \(C (6 , 11) \text{.}\) 1p

"