Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 17 x + 2\frac{5}{6} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-2 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 17 x + 2\frac{5}{6}\) geeft \(f'(x) = x^{2} - 2 x - 17 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -2\) geeft \(x^{2} - 2 x - 17 = -2\) \(x^{2} - 2 x - 15 = 0\) \((x + 3) (x - 5) = 0\) \(x = -3 ∨ x = 5 \text{.}\) 1p ○ \(f(-3) = 35\frac{5}{6} \text{,}\) dus \(A (-3 , 35\frac{5}{6}) \text{.}\) 1p ○ \(f(5) = -65\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(B (5 , -65\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {-10 \over 2 x + 1}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -3 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 24ms - data pool: #536 (24ms) ○ \(f(-3) = 2 \text{,}\) dus \(A (-3 , 2)\) 1p ○ \(f(x) = {-10 \over 2 x + 1} = -10 (2 x + 1)^{-1}\) geeft \(f'(x) = -10 ⋅ -1 ⋅ (2 x + 1)^{-2} ⋅ 2 = {20 \over (2 x + 1)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(-3) = \frac{4}{5}\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = -\frac{5}{4} \text{,}\) dus \(y = -1\frac{1}{4} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -1\frac{1}{4} x + b \\ \text{door } A (-3 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}-1\frac{1}{4} ⋅ -3 + b = 2 \\ 3\frac{3}{4} + b = 2 \\ b = -1\frac{3}{4}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = -1\frac{1}{4} x - 1\frac{3}{4} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , -1\frac{3}{4})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + 2 x - 1\) en \(g(x) = -x^{2} + 5 x + 4 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 17ms - data pool: #503 (16ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} + 2 x - 1 = -x^{2} + 5 x + 4\) \(2 x^{2} - 3 x - 5 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = (-3)^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -5 = 49\) geeft \(x = {3 - \sqrt{49} \over 2 ⋅ 2} = -1 ∨ x = {3 + \sqrt{49} \over 2 ⋅ 2} = 2\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -1 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-1) = -2\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x + 5\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-1) = 7 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 7 x + b \\ \text{door } A (-1 , -2)\end{rcases} \begin{matrix}7 ⋅ -1 + b = -2 \\ -7 + b = -2 \\ b = 5\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 7 x + 5 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} + 2 x - 1 = 7 x + 5\) \(x^{2} - 5 x - 6 = 0\) \((x + 1) (x - 6) = 0\) \(x = -1 ∨ x = 6\) 1p ○ \(x_{C} = 6 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(6) = 47\) en \(C (6 , 47) \text{.}\) 1p

"