\(f(-1)=-5\text{,}\) dus \(A(-1, -5)\text{.}\)

\(f(x)=4x^3+x^2-4x-6\) geeft \(f'(x)=12x^2+2x-4\text{.}\)

Stel \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=f'(-1)=6\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=6x+b \\ \text{door }A(-1, -5)\end{rcases}\begin{matrix}6⋅-1+b=-5 \\ -6+b=-5 \\ b=1\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=6x+1\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-x+3\frac{5}{6}\) geeft \(f'(x)=x^2-x-1\text{.}\)

\(f'(x)=5\) geeft
\(x^2-x-1=5\)
\(x^2-x-6=0\)
\((x+2)(x-3)=0\)
\(x=-2∨x=3\text{.}\)

\(f(-2)=1\frac{1}{6}\text{,}\) dus \(A(-2, 1\frac{1}{6})\text{.}\)

\(f(3)=5\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(B(3, 5\frac{1}{3})\text{.}\)

\(f'(x)=6x^2-30x+24\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(6x^2-30x+24=0\)
\(x^2-5x+4=0\)
\((x-1)(x-4)=0\)
\(x=1∨x=4\)

Schets:

max. is \(f(1)=43\) en min. is \(f(4)=16\text{.}\)

\(f'(x)=12x^3+72x^2+60x\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(12x^3+72x^2+60x=0\)
\(x^3+6x^2+5x=0\)
\(x(x+5)(x+1)=0\)
\(x=0∨x=-5∨x=-1\)

Schets:

min. is \(f(-5)=-424\text{,}\) max. is \(f(-1)=-40\) en min. is \(f(0)=-49\text{.}\)

\(f'(x)=5x^4-18x^2+9\)

\(f'(\sqrt{3})=5(\sqrt{3})^4-18(\sqrt{3})^2+9=0\)

Schets:

\(f'(\sqrt{3})=0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x=\sqrt{3}\text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x=\sqrt{3}\text{.}\)

Uitdelen geeft
\(f(x)={4x^2+9x+81 \over 6x}={4x^2 \over 6x}+{9x \over 6x}+{81 \over 6x}=\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}+\frac{27}{2}x^{-1}\)

De afgeleide is dan
\(f'(x)=\frac{2}{3}+\frac{27}{2}⋅-1⋅x^{-2}=\frac{2}{3}-{27 \over 2x^2}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{2}{3}-{27 \over 2x^2}=0\)
\(\frac{2}{3}={27 \over 2x^2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(4x^2=81\)
\(x^2=\frac{81}{4}\)
\(x=\sqrt{\frac{81}{4}}=4\frac{1}{2}∨x=-\sqrt{\frac{81}{4}}=-4\frac{1}{2}\)

Schets:

min. is \(f(-4\frac{1}{2})=-4\frac{1}{2}\) en max. is \(f(4\frac{1}{2})=7\frac{1}{2}\text{.}\)

\(f(x)=\frac{1}{2}x-\sqrt{4x-2}=\frac{1}{2}x-(4x-2)^{\frac{1}{2}}\) geeft
\(f'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}⋅(4x-2)^{-\frac{1}{2}}⋅4=\frac{1}{2}-{2 \over \sqrt{4x-2}}\text{.}\)

\(f'(x)=0\) geeft
\(\frac{1}{2}-{2 \over \sqrt{4x-2}}=0\)
\(-{2 \over \sqrt{4x-2}}=-\frac{1}{2}\)

Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(\sqrt{4x-2}=4\)

Kwadrateren geeft
\(4x-2=16\)
\(x=4\frac{1}{2}\)

Schets:

min. is \(f(4\frac{1}{2})=-1\frac{3}{4}\text{.}\)

\(4x-2≥0\) geeft \(x≥\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(D_f=[\frac{1}{2}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

min. is \(f(4\frac{1}{2})=-1\frac{3}{4}\text{,}\) dus \(B_f=[-1\frac{3}{4}, \rightarrow ⟩\text{.}\)

\(f(-2)=-1\text{,}\) dus \(A(-2, -1)\)

\(f(x)={-1 \over 2x+5}=-1(2x+5)^{-1}\) geeft
\(f'(x)=-1⋅-1⋅(2x+5)^{-2}⋅2={2 \over (2x+5)^2}\)

\(\text{rc}_k=f'(-2)=2\)

\(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=-\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(y=-\frac{1}{2}x+b\)

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{2}x+b \\ \text{door }A(-2, -1)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{2}⋅-2+b=-1 \\ 1+b=-1 \\ b=-2\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{2}x-2\text{.}\)

\(B(0, -2)\)

De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^2+3x-3=-x^2+2x+3\)
\(2x^2+x-6=0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=1^2-4⋅2⋅-6=49\) geeft
\(x={-1-\sqrt{49} \over 2⋅2}=-2∨x={-1+\sqrt{49} \over 2⋅2}=1\frac{1}{2}\)

\(x_A=-2\text{,}\) dus \(y_A=g(-2)=-5\)

\(g'(x)=-2x+2\)

\(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-2)=6\text{.}\)

\(\begin{rcases}y=6x+b \\ \text{door }A(-2, -5)\end{rcases}\begin{matrix}6⋅-2+b=-5 \\ -12+b=-5 \\ b=7\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=6x+7\text{.}\)

Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^2+3x-3=6x+7\)
\(x^2-3x-10=0\)
\((x+2)(x-5)=0\)
\(x=-2∨x=5\)

\(x_C=5\text{,}\) dus \(y_C=f(5)=37\) en
\(C(5, 37)\text{.}\)