Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

havo wiskunde B 9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per uur met \(1{,}6\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{uur}} = 1 + {1{,}6 \over 100} = 1{,}016 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}016^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}016^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 43{,}667...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(43{,}7\) uur.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(1{,}5\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}} = 1 - {1{,}5 \over 100} = 0{,}985 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}985^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}985^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 45{,}862...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(45{,}9\) jaren.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(10{,}9\) minuten.

3p

Bereken de procentuele toename per minuut.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per minuut is de oplossing van de vergelijking \(g^{10{,}9} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{10{,}9}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}065...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}065... - 1) × 100\% = 6{,}6\%\) per minuut.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(15{,}7\) weken.

3p

Bereken de procentuele afname per week.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per week is de oplossing van de vergelijking \(g^{15{,}7} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{15{,}7}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}956...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}956... - 1) × 100\% = -4{,}3\%\) dus een procentuele afname van \(4{,}3\%\) per week.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(1{,}8\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(88\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}} = 1 + {1{,}8 \over 100} = 1{,}018 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(88\%\) komt overeen met een factor \(1 + {88 \over 100} = 1{,}88 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}018^{t} = 1{,}88 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}018^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}88\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 35{,}385...\)

1p

○

Dus duurt het \(35{,}4\) jaren voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(88\% \text{.}\)

1p
"