Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 vwo | 8.2 Tabellen en groei | |||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({24{,}78 \over 32{,}18} ≈ 0{,}77\) 1p ○ \({19{,}08 \over 24{,}78} ≈ 0{,}77\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}77\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 32{,}18 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 32{,}18 ⋅ 0{,}77^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,020 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({20{,}22 \over 16{,}31} ≈ 1{,}24\) 1p ○ \({25{,}08 \over 20{,}22} ≈ 1{,}24\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}24\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 16{,}31 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 16{,}31 ⋅ 1{,}24^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.vk Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(3{,}6\%\) per seconde. Op \(x = 0\) is \(y = 427 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in seconden. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{seconde}} = 1 + {3{,}6 \over 100} = 1{,}036 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 427 \text{.}\) 1p ○ \(y = 427 ⋅ 1{,}036^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.2 Groeipercentages en formules | |||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 2\) is \(y = 445\) en bij \(x = 4\) is \(y = 478 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({478 \over 445})^{{1 \over 4 - 2}} = 1{,}036...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}036...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 445\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}036...^{2} = 445 \\ b = {445 \over 1{,}036...^{2}} ≈ 414\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 414 ⋅ 1{,}036^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 5\) is \(y = 445\) en bij \(x = 7\) is \(y = 405 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({405 \over 445})^{{1 \over 7 - 5}} = 0{,}953...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}953...^{x} \\ x = 5 \text{ en } y = 445\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}953...^{5} = 445 \\ b = {445 \over 0{,}953...^{5}} ≈ 563\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 563 ⋅ 0{,}954^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,008 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({67{,}61 \over 171{,}65})^{{1 \over 2\,017 - 2\,012}} ≈ 0{,}83\) 1p ○ \(g = ({22{,}11 \over 67{,}61})^{{1 \over 2\,023 - 2\,017}} ≈ 0{,}83\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}83\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}83^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 171{,}65\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}83^{4} = 171{,}65 \\ b = {171{,}65 \over 0{,}83^{4}} \\ b ≈ 361{,}69\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 361{,}69 ⋅ 0{,}83^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({\Delta y \over \Delta x} = {14{,}39 - 16{,}94 \over 11 - 6} = -0{,}51\) 1p ○ \({\Delta y \over \Delta x} = {13{,}37 - 14{,}39 \over 13 - 11} = -0{,}51\) 1p ○ De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = -0{,}51\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -0{,}51 x + b \\ x = 6 \text{ en } y = 16{,}94\end{rcases} \begin{matrix}-0{,}51 ⋅ 6 + b = 16{,}94 \\ -3{,}06 + b = 16{,}94 \\ b = 20\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = -0{,}51 x + 20\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.4 Werken met logaritmen | |||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1 , 40)\) en \((8 , 1\,000)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({1\,000 \over 40})^{{1 \over 8 - 1}} = 1{,}583...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}583...^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 40{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}583...^{1} = 40{,}00 \\ b = {40{,}00 \over 1{,}583...^{1}} \\ b = 25{,}255...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 25 ⋅ 1{,}584^{x} \text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ Punt \(\text{A} (2 , 7\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (6 , 400) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (9 , 500\,000) \text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A (3 , 6\,000\,000) \text{,}\) \(B (5 , 2\,000)\) en \(C (9 , 900\,000) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p |