Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 vwo | 8.2 Tabellen en groei | |||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({24{,}25 \over 19{,}88} ≈ 1{,}22\) 1p ○ \({29{,}59 \over 24{,}25} ≈ 1{,}22\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}22\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 19{,}88 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 19{,}88 ⋅ 1{,}22^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,019 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(11{,}96 - 11{,}62 = 0{,}34\) 1p ○ \(12{,}30 - 11{,}96 = 0{,}34\) 1p ○ Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = 0{,}34\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 11{,}62 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 0{,}34 x + 11{,}62\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.vk Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(4{,}4\%\) per dag. Op \(x = 0\) is \(y = 378 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in dagen. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{dag}} = 1 + {4{,}4 \over 100} = 1{,}044 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 378 \text{.}\) 1p ○ \(y = 378 ⋅ 1{,}044^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.2 Groeipercentages en formules | |||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 5\) is \(y = 412\) en bij \(x = 10\) is \(y = 523 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({523 \over 412})^{{1 \over 10 - 5}} = 1{,}048...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}048...^{x} \\ x = 5 \text{ en } y = 412\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}048...^{5} = 412 \\ b = {412 \over 1{,}048...^{5}} ≈ 325\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 325 ⋅ 1{,}049^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 2\) is \(y = 261\) en bij \(x = 7\) is \(y = 208 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({208 \over 261})^{{1 \over 7 - 2}} = 0{,}955...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}955...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 261\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}955...^{2} = 261 \\ b = {261 \over 0{,}955...^{2}} ≈ 286\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 286 ⋅ 0{,}956^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({39{,}10 \over 53{,}63})^{{1 \over 4 - 1}} ≈ 0{,}90\) 1p ○ \(g = ({23{,}09 \over 39{,}10})^{{1 \over 9 - 4}} ≈ 0{,}90\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}9\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}9^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 53{,}63\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}9^{1} = 53{,}63 \\ b = {53{,}63 \over 0{,}9^{1}} \\ b ≈ 59{,}59\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 59{,}59 ⋅ 0{,}90^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,006 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({\Delta y \over \Delta x} = {34{,}52 - 26{,}76 \over 2\,015 - 2\,011} = 1{,}94\) 1p ○ \({\Delta y \over \Delta x} = {46{,}16 - 34{,}52 \over 2\,021 - 2\,015} = 1{,}94\) 1p ○ De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = 1{,}94\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 1{,}94 x + b \\ x = 5 \text{ en } y = 26{,}76\end{rcases} \begin{matrix}1{,}94 ⋅ 5 + b = 26{,}76 \\ 9{,}7 + b = 26{,}76 \\ b = 17{,}06\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 1{,}94 x + 17{,}06\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.4 Werken met logaritmen | |||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1 , 2\,000)\) en \((8 , 30)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({30 \over 2\,000})^{{1 \over 8 - 1}} = 0{,}548...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}548...^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 2\,000{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}548...^{1} = 2\,000{,}00 \\ b = {2\,000{,}00 \over 0{,}548...^{1}} \\ b = 3644{,}084...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 3\,644 ⋅ 0{,}549^{x} \text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ Punt \(\text{A} (3 , 2\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (4 , 3) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (9 , 400) \text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A (2 , 10) \text{,}\) \(B (4 , 400)\) en \(C (9 , 7\,000) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p |