Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 vwo | 8.2 Tabellen en groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,021\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({14{,}15 \over 16{,}45}≈0{,}86\) 1p ○ \({12{,}17 \over 14{,}15}≈0{,}86\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}86\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=16{,}45\text{.}\) 1p ○ Dus \(y=16{,}45⋅0{,}86^x\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({24{,}09 \over 27{,}07}≈0{,}89\) 1p ○ \({21{,}44 \over 24{,}09}≈0{,}89\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}89\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=27{,}07\text{.}\) 1p ○ Dus \(y=27{,}07⋅0{,}89^x\text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.vk Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(3{,}7\%\) per seconde. Op \(x=0\) is \(y=271\text{.}\) Hierbij is \(x\) in seconden. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ \(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{seconde}}=1+{3{,}7 \over 100}=1{,}037\text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=271\text{.}\) 1p ○ \(y=271⋅1{,}037^x\text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.2 Groeipercentages en formules | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x=3\) is \(y=565\) en bij \(x=8\) is \(y=675\text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y=b⋅g^x\) met \(g=({675 \over 565})^{{1 \over 8-3}}=1{,}036...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅1{,}036...^x \\ x=3\text{ en }y=565\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}036...^3=565 \\ b={565 \over 1{,}036...^3}≈508\end{matrix}\) 1p ○ \(y=508⋅1{,}036^x\text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x=4\) is \(y=284\) en bij \(x=9\) is \(y=233\text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables b \(y=b⋅g^x\) met \(g=({233 \over 284})^{{1 \over 9-4}}=0{,}961...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}961...^x \\ x=4\text{ en }y=284\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}961...^4=284 \\ b={284 \over 0{,}961...^4}≈333\end{matrix}\) 1p ○ \(y=333⋅0{,}961^x\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g=({145{,}40 \over 67{,}73})^{{1 \over 8-5}}≈1{,}29\) 1p ○ \(g=({670{,}03 \over 145{,}40})^{{1 \over 14-8}}≈1{,}29\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}29\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅1{,}29^x \\ x=5\text{ en }y=67{,}73\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}29^5=67{,}73 \\ b={67{,}73 \over 1{,}29^5} \\ b≈18{,}96\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=18{,}96⋅1{,}29^x\text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,006\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({\Delta y \over \Delta x}={21{,}55-22{,}11 \over 2\,011-2\,010}=-0{,}56\) 1p ○ \({\Delta y \over \Delta x}={19{,}87-21{,}55 \over 2\,014-2\,011}=-0{,}56\) 1p ○ De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y=ax+b\) met \(a=-0{,}56\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=-0{,}56x+b \\ x=4\text{ en }y=22{,}11\end{rcases}\begin{matrix}-0{,}56⋅4+b=22{,}11 \\ -2{,}24+b=22{,}11 \\ b=24{,}35\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=-0{,}56x+24{,}35\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.4 Werken met logaritmen | |||||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y=b⋅g^x\text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1, 40)\) en \((7, 5\,000)\) aflezen. 1p ○ \(y=b⋅g^x\) met \(g=({5\,000 \over 40})^{{1 \over 7-1}}=2{,}236...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅2{,}236...^x \\ x=1\text{ en }y=40{,}00\end{rcases}\begin{matrix}b⋅2{,}236...^1=40{,}00 \\ b={40{,}00 \over 2{,}236...^1} \\ b=17{,}888...\end{matrix}\) 1p ○ \(y=18⋅2{,}236^x\text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A\text{,}\) \(B\) en \(C\text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ Punt \(\text{A}(1, 900\,000)\text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B}(4, 3\,000)\text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C}(7, 60\,000)\text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A(1, 3\,000)\text{,}\) \(B(4, 400\,000)\) en \(C(9, 90\,000)\text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ 3p |