Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 vwo | 8.2 Tabellen en groei | |||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,020 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({15{,}41 \over 12{,}63} ≈ 1{,}22\) 1p ○ \({18{,}80 \over 15{,}41} ≈ 1{,}22\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}22\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 12{,}63 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 12{,}63 ⋅ 1{,}22^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(22{,}25 - 23{,}28 = -1{,}03\) 1p ○ \(21{,}22 - 22{,}25 = -1{,}03\) 1p ○ Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = -1{,}03\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 23{,}28 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = -1{,}03 x + 23{,}28\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.vk Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(2{,}4\%\) per uur. Op \(x = 0\) is \(y = 441 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in uur. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 5ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{uur}} = 1 - {2{,}4 \over 100} = 0{,}976 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 441 \text{.}\) 1p ○ \(y = 441 ⋅ 0{,}976^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.2 Groeipercentages en formules | |||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 4\) is \(y = 411\) en bij \(x = 8\) is \(y = 495 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({495 \over 411})^{{1 \over 8 - 4}} = 1{,}047...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}047...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 411\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}047...^{4} = 411 \\ b = {411 \over 1{,}047...^{4}} ≈ 341\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 341 ⋅ 1{,}048^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 2\) is \(y = 330\) en bij \(x = 6\) is \(y = 277 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({277 \over 330})^{{1 \over 6 - 2}} = 0{,}957...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}957...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 330\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}957...^{2} = 330 \\ b = {330 \over 0{,}957...^{2}} ≈ 360\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 360 ⋅ 0{,}957^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,013 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({35{,}74 \over 28{,}37})^{{1 \over 2\,017 - 2\,016}} ≈ 1{,}26\) 1p ○ \(g = ({56{,}74 \over 35{,}74})^{{1 \over 2\,019 - 2\,017}} ≈ 1{,}26\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}26\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}26^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 28{,}37\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}26^{3} = 28{,}37 \\ b = {28{,}37 \over 1{,}26^{3}} \\ b ≈ 14{,}18\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 14{,}18 ⋅ 1{,}26^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({\Delta y \over \Delta x} = {23{,}23 - 21{,}36 \over 7 - 6} = 1{,}87\) 1p ○ \({\Delta y \over \Delta x} = {30{,}71 - 23{,}23 \over 11 - 7} = 1{,}87\) 1p ○ De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = 1{,}87\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 1{,}87 x + b \\ x = 6 \text{ en } y = 21{,}36\end{rcases} \begin{matrix}1{,}87 ⋅ 6 + b = 21{,}36 \\ 11{,}22 + b = 21{,}36 \\ b = 10{,}14\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 1{,}87 x + 10{,}14\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.4 Werken met logaritmen | |||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((2 , 80\,000)\) en \((7 , 100)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({100 \over 80\,000})^{{1 \over 7 - 2}} = 0{,}262...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}262...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 80\,000{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}262...^{2} = 80\,000{,}00 \\ b = {80\,000{,}00 \over 0{,}262...^{2}} \\ b = 1159647{,}461...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 1\,159\,647 ⋅ 0{,}263^{x} \text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ Punt \(\text{A} (2 , 2\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (5 , 600\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (7 , 50\,000) \text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A (3 , 200) \text{,}\) \(B (6 , 4\,000)\) en \(C (9 , 50\,000) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p |