Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 vwo | 8.2 Tabellen en groei | |||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({18{,}22 \over 22{,}49} ≈ 0{,}81\) 1p ○ \({14{,}76 \over 18{,}22} ≈ 0{,}81\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}81\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 22{,}49 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 22{,}49 ⋅ 0{,}81^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,020 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({14{,}69 \over 12{,}77} ≈ 1{,}15\) 1p ○ \({16{,}89 \over 14{,}69} ≈ 1{,}15\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}15\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 12{,}77 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 12{,}77 ⋅ 1{,}15^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.vk Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(1{,}3\%\) per dag. Op \(x = 0\) is \(y = 596 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in dagen. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 2ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{dag}} = 1 + {1{,}3 \over 100} = 1{,}013 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 596 \text{.}\) 1p ○ \(y = 596 ⋅ 1{,}013^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.2 Groeipercentages en formules | |||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 2\) is \(y = 325\) en bij \(x = 7\) is \(y = 399 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({399 \over 325})^{{1 \over 7 - 2}} = 1{,}041...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}041...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 325\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}041...^{2} = 325 \\ b = {325 \over 1{,}041...^{2}} ≈ 299\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 299 ⋅ 1{,}042^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 5\) is \(y = 262\) en bij \(x = 7\) is \(y = 237 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({237 \over 262})^{{1 \over 7 - 5}} = 0{,}951...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}951...^{x} \\ x = 5 \text{ en } y = 262\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}951...^{5} = 262 \\ b = {262 \over 0{,}951...^{5}} ≈ 337\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 337 ⋅ 0{,}951^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,012 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({23{,}32 \over 30{,}94})^{{1 \over 2\,019 - 2\,016}} ≈ 0{,}91\) 1p ○ \(g = ({14{,}55 \over 23{,}32})^{{1 \over 2\,024 - 2\,019}} ≈ 0{,}91\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}91\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}91^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 30{,}94\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}91^{4} = 30{,}94 \\ b = {30{,}94 \over 0{,}91^{4}} \\ b ≈ 45{,}12\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 45{,}12 ⋅ 0{,}91^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({\Delta y \over \Delta x} = {21{,}68 - 26{,}63 \over 5 - 2} = -1{,}65\) 1p ○ \({\Delta y \over \Delta x} = {20{,}03 - 21{,}68 \over 6 - 5} = -1{,}65\) 1p ○ De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = -1{,}65\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -1{,}65 x + b \\ x = 2 \text{ en } y = 26{,}63\end{rcases} \begin{matrix}-1{,}65 ⋅ 2 + b = 26{,}63 \\ -3{,}3 + b = 26{,}63 \\ b = 29{,}93\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = -1{,}65 x + 29{,}93\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.4 Werken met logaritmen | |||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((2 , 20\,000)\) en \((7 , 700)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({700 \over 20\,000})^{{1 \over 7 - 2}} = 0{,}511...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}511...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 20\,000{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}511...^{2} = 20\,000{,}00 \\ b = {20\,000{,}00 \over 0{,}511...^{2}} \\ b = 76454{,}451...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 76\,454 ⋅ 0{,}511^{x} \text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ Punt \(\text{A} (3 , 5\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (6 , 70) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (7 , 40\,000) \text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A (2 , 600) \text{,}\) \(B (6 , 4\,000)\) en \(C (8 , 90) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p |