Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Formule bij tabellen opstellen'.

8.2 Tabellen en groei

Formule bij tabellen opstellen (3)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)	\(2\,025\)
\(y\)	\(17{,}54\)	\(15{,}95\)	\(14{,}36\)	\(12{,}77\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,022\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Lineair (1)

00jz - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - dynamic variables

\(15{,}95-17{,}54=-1{,}59\)

○

\(14{,}36-15{,}95=-1{,}59\)
\(12{,}77-14{,}36=-1{,}59\)

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y=ax+b\) met \(a=-1{,}59\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=17{,}54\text{.}\)

○

Dus \(y=-1{,}59x+17{,}54\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(18{,}84\)	\(18{,}46\)	\(18{,}09\)	\(17{,}73\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Exponentieel (1)

00k1 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - dynamic variables

\({18{,}46 \over 18{,}84}≈0{,}98\)

○

\({18{,}09 \over 18{,}46}≈0{,}98\)
\({17{,}73 \over 18{,}09}≈0{,}98\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}98\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=18{,}84\text{.}\)

○

Dus \(y=18{,}84⋅0{,}98^x\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(q\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)	\(2\,025\)
\(R\)	\(22{,}03\)	\(21{,}15\)	\(20{,}30\)	\(19{,}49\)

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(R\text{.}\) Neem \(q=0\) in \(2\,022\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieel (1)

00k3 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - dynamic variables

\({21{,}15 \over 22{,}03}≈0{,}96\)

○

\({20{,}30 \over 21{,}15}≈0{,}96\)
\({19{,}49 \over 20{,}30}≈0{,}96\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(R=b⋅g^q\) met \(g=0{,}96\)

○

\(b\) is de waarde bij \(q=0\text{,}\) dus \(b=22{,}03\text{.}\)

○

Dus \(R=22{,}03⋅0{,}96^q\text{.}\)

vwo wiskunde A

10.2 Groeipercentages en formules

Formule bij tabellen opstellen (3)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(3\)	\(5\)	\(10\)	\(14\)
\(y\)	\(21{,}40\)	\(23{,}08\)	\(27{,}28\)	\(30{,}64\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Lineair (2)

00k0 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - dynamic variables

\({\Delta y \over \Delta x}={23{,}08-21{,}40 \over 5-3}=0{,}84\)

○

\({\Delta y \over \Delta x}={27{,}28-23{,}08 \over 10-5}=0{,}84\)
\({\Delta y \over \Delta x}={30{,}64-27{,}28 \over 14-10}=0{,}84\)

○

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y=ax+b\) met \(a=0{,}84\)

○

\(\begin{rcases}y=0{,}84x+b \\ x=3\text{ en }y=21{,}4\end{rcases}\begin{matrix}0{,}84⋅3+b=21{,}4 \\ 2{,}52+b=21{,}4 \\ b=18{,}88\end{matrix}\)

○

Dus \(y=0{,}84x+18{,}88\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,012\)	\(2\,015\)	\(2\,017\)	\(2\,022\)
\(y\)	\(53{,}51\)	\(39{,}01\)	\(31{,}60\)	\(18{,}66\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,011\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Exponentieel (2)

00k2 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - dynamic variables

\(g=({39{,}01 \over 53{,}51})^{{1 \over 2\,015-2\,012}}≈0{,}90\)

○

\(g=({31{,}60 \over 39{,}01})^{{1 \over 2\,017-2\,015}}≈0{,}90\)
\(g=({18{,}66 \over 31{,}60})^{{1 \over 2\,022-2\,017}}≈0{,}90\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}9\)

○

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}9^x \\ x=1\text{ en }y=53{,}51\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}9^1=53{,}51 \\ b={53{,}51 \over 0{,}9^1} \\ b≈59{,}46\end{matrix}\)

○

Dus \(y=59{,}46⋅0{,}90^x\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\)	\(8\)	\(9\)	\(12\)
\(y\)	\(23{,}04\)	\(72{,}32\)	\(87{,}51\)	\(155{,}03\)

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieel (2)

00k4 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - dynamic variables

\(g=({72{,}32 \over 23{,}04})^{{1 \over 8-2}}≈1{,}21\)

○

\(g=({87{,}51 \over 72{,}32})^{{1 \over 9-8}}≈1{,}21\)
\(g=({155{,}03 \over 87{,}51})^{{1 \over 12-9}}≈1{,}21\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}21\)

○

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}21^x \\ x=2\text{ en }y=23{,}04\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}21^2=23{,}04 \\ b={23{,}04 \over 1{,}21^2} \\ b≈15{,}74\end{matrix}\)

○

Dus \(y=15{,}74⋅1{,}21^x\text{.}\)