Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(N={870 \over 2+5⋅1{,}46^t}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - dynamic variables

a

Als \(t\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}46^t\) heel groot (want \(1{,}46>1\text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(5⋅1{,}46^t\) heel groot
en dus wordt \(2+5⋅1{,}46^t\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({870 \over 2+5⋅1{,}46^t}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(N\) is dus \(0\text{.}\)

1p

3p

b

\(y={375 \over 5+24⋅0{,}41^x}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}41^x\) naar \(0\) (want \(0{,}41<1\text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(24⋅0{,}41^x\) naar \(0\)
en dus nadert \(5+24⋅0{,}41^x\) naar \(5\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({375 \over 5+24⋅0{,}41^x}\) naar \({375 \over 5}=75\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(75\text{.}\)

1p

3p

c

\(R=3(5+0{,}25^q)\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - dynamic variables

c

Als \(q\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}25^q\) naar \(0\) (want \(0{,}25<1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(5+0{,}25^q\) naar \(5\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(3(5+0{,}25^q)\) naar \(3⋅5=15\)
De grenswaarde van \(R\) is dus \(15\text{.}\)

1p

3p

d

\(y=29-{48 \over e^x}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^x\) heel groot (want \(e>1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({48 \over e^x}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(29-{48 \over e^x}\) naar \(29\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(29\text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(N=1-{7 \over t^9}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - dynamic variables

a

Als \(t\) heel groot wordt, dan wordt \(t^9\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({7 \over t^9}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(1-{7 \over t^9}\) naar \(1\)
De grenswaarde van \(N\) is dus \(1\text{.}\)

1p

3p

b

\(K={-8q^2-5q+7 \over q^2+4q-9}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - dynamic variables

b

Als \(q\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(q\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-8q^2 \over q^2}\text{.}\)

1p

○

Er geldt \({-8q^2 \over q^2}={-8 \over 1}=-8\text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(K\) is dus \(-8\text{.}\)

1p

3p

c

\(y=20-60⋅x^{-0{,}9}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}9}\) naar \(0\text{,}\) want \(x^{-0{,}9}={1 \over x^{0{,}9}}\) en \(x^{0{,}9}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(-60⋅x^{-0{,}9}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(20-60x^{-0{,}9}\) naar \(20\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(20\text{.}\)

1p

3p

d

\(N=70-60⋅1{,}89^{-0{,}5t}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - dynamic variables

d

Er geldt \(1{,}89^{-0{,}5t}={1 \over 1{,}89^{0{,}5t}}\text{,}\) dus als \(t\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}5t\) heel groot, dus wordt \(1{,}89^{0{,}5t}\) heel groot (want \(1{,}89>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}89^{0{,}5t}}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-60⋅1{,}89^{-0{,}5t}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(70-60⋅1{,}89^{-0{,}5t}\) naar \(70\text{.}\)
De grenswaarde van \(N\) is dus \(70\text{.}\)

1p
"