Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y={870 \over 11+23⋅1{,}23^x}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}23^x\) heel groot (want \(1{,}23>1\text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(23⋅1{,}23^x\) heel groot
en dus wordt \(11+23⋅1{,}23^x\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({870 \over 11+23⋅1{,}23^x}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

1p

3p

b

\(y={170 \over 10-7⋅0{,}81^x}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}81^x\) naar \(0\) (want \(0{,}81<1\text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(-7⋅0{,}81^x\) naar \(0\)
en dus nadert \(10-7⋅0{,}81^x\) naar \(10\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({170 \over 10-7⋅0{,}81^x}\) naar \({170 \over 10}=17\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(17\text{.}\)

1p

3p

c

\(y=9(4+0{,}58^x)\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}58^x\) naar \(0\) (want \(0{,}58<1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(4+0{,}58^x\) naar \(4\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(9(4+0{,}58^x)\) naar \(9⋅4=36\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(36\text{.}\)

1p

3p

d

\(y=30+{1 \over e^x}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^x\) heel groot (want \(e>1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({1 \over e^x}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(30+{1 \over e^x}\) naar \(30\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(30\text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y=3+{7 \over x}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({7 \over x}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(3+{7 \over x}\) naar \(3\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(3\text{.}\)

1p

3p

b

\(y={x^2+4x-2 \over -3x^2-5x+6}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({x^2 \over -3x^2}\text{.}\)

1p

○

Er geldt \({x^2 \over -3x^2}={1 \over -3}=-\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(-\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

3p

c

\(y=70-50⋅x^{-0{,}4}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}4}\) naar \(0\text{,}\) want \(x^{-0{,}4}={1 \over x^{0{,}4}}\) en \(x^{0{,}4}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(-50⋅x^{-0{,}4}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(70-50x^{-0{,}4}\) naar \(70\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(70\text{.}\)

1p

3p

d

\(y=50-30⋅1{,}81^{-0{,}5x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(1{,}81^{-0{,}5x}={1 \over 1{,}81^{0{,}5x}}\text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}5x\) heel groot, dus wordt \(1{,}81^{0{,}5x}\) heel groot (want \(1{,}81>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}81^{0{,}5x}}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-30⋅1{,}81^{-0{,}5x}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(50-30⋅1{,}81^{-0{,}5x}\) naar \(50\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(50\text{.}\)

1p
"