Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = {870 \over 20 + 14 ⋅ 1{,}55^{x}}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}55^{x}\) heel groot (want \(1{,}55 > 1 \text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(14 ⋅ 1{,}55^{x}\) heel groot
en dus wordt \(20 + 14 ⋅ 1{,}55^{x}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({870 \over 20 + 14 ⋅ 1{,}55^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {1\,422 \over 18 - 17 ⋅ 0{,}44^{x}}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}44^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}44 < 1 \text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(-17 ⋅ 0{,}44^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(18 - 17 ⋅ 0{,}44^{x}\) naar \(18 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({1\,422 \over 18 - 17 ⋅ 0{,}44^{x}}\) naar \({1\,422 \over 18} = 79\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(79 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 17 (4 + 0{,}83^{x})\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}83^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}83 < 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(4 + 0{,}83^{x}\) naar \(4 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(17 (4 + 0{,}83^{x})\) naar \(17 ⋅ 4 = 68\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(68 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 46 - {49 \over e^{x}}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({49 \over e^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(46 - {49 \over e^{x}}\) naar \(46\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(46 \text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = 7 - {4 \over x^{8}}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{8}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({4 \over x^{8}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(7 - {4 \over x^{8}}\) naar \(7\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(7 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {8 x^{2} + 6 \over -5 x^{2} + 4 x - 3}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({8 x^{2} \over -5 x^{2}} \text{.}\)

1p

○

Er geldt \({8 x^{2} \over -5 x^{2}} = {8 \over -5} = -1\frac{3}{5} \text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(-1\frac{3}{5} \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 40 + 20 ⋅ x^{-0{,}6}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}6}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}6} = {1 \over x^{0{,}6}}\) en \(x^{0{,}6}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(20 ⋅ x^{-0{,}6}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(40 + 20 x^{-0{,}6}\) naar \(40 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(40 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 70 + 80 ⋅ 1{,}49^{-0{,}1 x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(1{,}49^{-0{,}1 x} = {1 \over 1{,}49^{0{,}1 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}1 x\) heel groot, dus wordt \(1{,}49^{0{,}1 x}\) heel groot (want \(1{,}49 > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}49^{0{,}1 x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(80 ⋅ 1{,}49^{-0{,}1 x}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(70 + 80 ⋅ 1{,}49^{-0{,}1 x}\) naar \(70 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(70 \text{.}\)

1p
"