Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = {570 \over 9 + 5 ⋅ e^{x}}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(5 ⋅ e^{x}\) heel groot
en dus wordt \(9 + 5 ⋅ e^{x}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({570 \over 9 + 5 ⋅ e^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {1\,235 \over 19 - 25 ⋅ 0{,}26^{x}}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}26^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}26 < 1 \text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(-25 ⋅ 0{,}26^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(19 - 25 ⋅ 0{,}26^{x}\) naar \(19 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({1\,235 \over 19 - 25 ⋅ 0{,}26^{x}}\) naar \({1\,235 \over 19} = 65\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(65 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 11 (3 - 0{,}47^{x})\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}47^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}47 < 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(3 - 0{,}47^{x}\) naar \(3 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(11 (3 - 0{,}47^{x})\) naar \(11 ⋅ 3 = 33\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(33 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 57 - {10 \over e^{x}}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({10 \over e^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(57 - {10 \over e^{x}}\) naar \(57\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(57 \text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = 5 + {1 \over x^{4}}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{4}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({1 \over x^{4}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(5 + {1 \over x^{4}}\) naar \(5\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(5 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {-4 x \over 3 x + 7}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-4 x \over 3 x} \text{.}\)

1p

○

Er geldt \({-4 x \over 3 x} = {-4 \over 3} = -1\frac{1}{3} \text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(-1\frac{1}{3} \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 40 + 60 ⋅ x^{-0{,}3}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}3}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}3} = {1 \over x^{0{,}3}}\) en \(x^{0{,}3}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(60 ⋅ x^{-0{,}3}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(40 + 60 x^{-0{,}3}\) naar \(40 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(40 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 60 - 40 ⋅ 1{,}82^{-0{,}7 x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(1{,}82^{-0{,}7 x} = {1 \over 1{,}82^{0{,}7 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}7 x\) heel groot, dus wordt \(1{,}82^{0{,}7 x}\) heel groot (want \(1{,}82 > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}82^{0{,}7 x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-40 ⋅ 1{,}82^{-0{,}7 x}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(60 - 40 ⋅ 1{,}82^{-0{,}7 x}\) naar \(60 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(60 \text{.}\)

1p
"