Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y={360 \over 6+11⋅1{,}86^x}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}86^x\) heel groot (want \(1{,}86>1\text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(11⋅1{,}86^x\) heel groot
en dus wordt \(6+11⋅1{,}86^x\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({360 \over 6+11⋅1{,}86^x}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

1p

3p

b

\(y={1\,825 \over 25-2⋅0{,}9^x}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}9^x\) naar \(0\) (want \(0{,}9<1\text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(-2⋅0{,}9^x\) naar \(0\)
en dus nadert \(25-2⋅0{,}9^x\) naar \(25\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({1\,825 \over 25-2⋅0{,}9^x}\) naar \({1\,825 \over 25}=73\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(73\text{.}\)

1p

3p

c

\(y=12(3-0{,}51^x)\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}51^x\) naar \(0\) (want \(0{,}51<1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(3-0{,}51^x\) naar \(3\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(12(3-0{,}51^x)\) naar \(12⋅3=36\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(36\text{.}\)

1p

3p

d

\(y=7+{32 \over e^x}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^x\) heel groot (want \(e>1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({32 \over e^x}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(7+{32 \over e^x}\) naar \(7\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(7\text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y=7-{3 \over x^2}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^2\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({3 \over x^2}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(7-{3 \over x^2}\) naar \(7\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(7\text{.}\)

1p

3p

b

\(y={-9x^2-4x \over -8x^2-x+6}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-9x^2 \over -8x^2}\text{.}\)

1p

○

Er geldt \({-9x^2 \over -8x^2}={-9 \over -8}=1\frac{1}{8}\text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(1\frac{1}{8}\text{.}\)

1p

3p

c

\(y=50-40⋅x^{-0{,}2}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}2}\) naar \(0\text{,}\) want \(x^{-0{,}2}={1 \over x^{0{,}2}}\) en \(x^{0{,}2}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(-40⋅x^{-0{,}2}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(50-40x^{-0{,}2}\) naar \(50\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(50\text{.}\)

1p

3p

d

\(y=10+30⋅e^{-0{,}1x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(e^{-0{,}1x}={1 \over e^{0{,}1x}}\text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}1x\) heel groot, dus wordt \(e^{0{,}1x}\) heel groot (want \(e>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over e^{0{,}1x}}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(30⋅e^{-0{,}1x}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(10+30⋅e^{-0{,}1x}\) naar \(10\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(10\text{.}\)

1p
"