Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(W={550 \over 22+6⋅1{,}32^q}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(q\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}32^q\) heel groot (want \(1{,}32>1\text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(6⋅1{,}32^q\) heel groot
en dus wordt \(22+6⋅1{,}32^q\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({550 \over 22+6⋅1{,}32^q}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(W\) is dus \(0\text{.}\)

1p

3p

b

\(N={702 \over 18-2⋅0{,}9^t}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(t\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}9^t\) naar \(0\) (want \(0{,}9<1\text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(-2⋅0{,}9^t\) naar \(0\)
en dus nadert \(18-2⋅0{,}9^t\) naar \(18\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({702 \over 18-2⋅0{,}9^t}\) naar \({702 \over 18}=39\)
De grenswaarde van \(N\) is dus \(39\text{.}\)

1p

3p

c

\(y=16(3+0{,}45^x)\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}45^x\) naar \(0\) (want \(0{,}45<1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(3+0{,}45^x\) naar \(3\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(16(3+0{,}45^x)\) naar \(16⋅3=48\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(48\text{.}\)

1p

3p

d

\(A=49+{21 \over e^t}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(t\) heel groot wordt, dan wordt \(e^t\) heel groot (want \(e>1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({21 \over e^t}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(49+{21 \over e^t}\) naar \(49\)
De grenswaarde van \(A\) is dus \(49\text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y=-7-{3 \over x^8}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^8\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({3 \over x^8}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-7-{3 \over x^8}\) naar \(-7\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(-7\text{.}\)

1p

3p

b

\(y={4x^2-3 \over 2x^2-9x-1}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({4x^2 \over 2x^2}\text{.}\)

1p

○

Er geldt \({4x^2 \over 2x^2}={4 \over 2}=2\text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(2\text{.}\)

1p

3p

c

\(y=70-10⋅x^{-0{,}6}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}6}\) naar \(0\text{,}\) want \(x^{-0{,}6}={1 \over x^{0{,}6}}\) en \(x^{0{,}6}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(-10⋅x^{-0{,}6}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(70-10x^{-0{,}6}\) naar \(70\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(70\text{.}\)

1p

3p

d

\(N=70+10⋅e^{-0{,}3t}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(e^{-0{,}3t}={1 \over e^{0{,}3t}}\text{,}\) dus als \(t\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}3t\) heel groot, dus wordt \(e^{0{,}3t}\) heel groot (want \(e>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over e^{0{,}3t}}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(10⋅e^{-0{,}3t}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(70+10⋅e^{-0{,}3t}\) naar \(70\text{.}\)
De grenswaarde van \(N\) is dus \(70\text{.}\)

1p
"