Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(N={470 \over 16+3⋅1{,}85^t}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(t\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}85^t\) heel groot (want \(1{,}85>1\text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(3⋅1{,}85^t\) heel groot
en dus wordt \(16+3⋅1{,}85^t\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({470 \over 16+3⋅1{,}85^t}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(N\) is dus \(0\text{.}\)

1p

3p

b

\(K={270 \over 5-14⋅0{,}27^q}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(q\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}27^q\) naar \(0\) (want \(0{,}27<1\text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(-14⋅0{,}27^q\) naar \(0\)
en dus nadert \(5-14⋅0{,}27^q\) naar \(5\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({270 \over 5-14⋅0{,}27^q}\) naar \({270 \over 5}=54\)
De grenswaarde van \(K\) is dus \(54\text{.}\)

1p

3p

c

\(y=17(3-0{,}48^x)\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}48^x\) naar \(0\) (want \(0{,}48<1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(3-0{,}48^x\) naar \(3\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(17(3-0{,}48^x)\) naar \(17⋅3=51\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(51\text{.}\)

1p

3p

d

\(N=16+{20 \over e^t}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(t\) heel groot wordt, dan wordt \(e^t\) heel groot (want \(e>1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({20 \over e^t}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(16+{20 \over e^t}\) naar \(16\)
De grenswaarde van \(N\) is dus \(16\text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y=4+{1 \over x^7}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^7\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({1 \over x^7}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(4+{1 \over x^7}\) naar \(4\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(4\text{.}\)

1p

3p

b

\(y={-9x^2+4x-8 \over -6x^2-3x-2}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-9x^2 \over -6x^2}\text{.}\)

1p

○

Er geldt \({-9x^2 \over -6x^2}={-9 \over -6}=1\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(1\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

3p

c

\(R=70-80⋅q^{-0{,}6}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(q\) heel groot wordt, dan nadert \(q^{-0{,}6}\) naar \(0\text{,}\) want \(q^{-0{,}6}={1 \over q^{0{,}6}}\) en \(q^{0{,}6}\) wordt heel groot als \(q\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(-80⋅q^{-0{,}6}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(70-80q^{-0{,}6}\) naar \(70\text{.}\)
De grenswaarde van \(R\) is dus \(70\text{.}\)

1p

3p

d

\(y=50-60⋅1{,}16^{-0{,}1x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(1{,}16^{-0{,}1x}={1 \over 1{,}16^{0{,}1x}}\text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}1x\) heel groot, dus wordt \(1{,}16^{0{,}1x}\) heel groot (want \(1{,}16>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}16^{0{,}1x}}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-60⋅1{,}16^{-0{,}1x}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(50-60⋅1{,}16^{-0{,}1x}\) naar \(50\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(50\text{.}\)

1p
"