Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = {280 \over 13 + 15 ⋅ e^{x}}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(15 ⋅ e^{x}\) heel groot
en dus wordt \(13 + 15 ⋅ e^{x}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({280 \over 13 + 15 ⋅ e^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {414 \over 23 - 25 ⋅ 0{,}14^{x}}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}14^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}14 < 1 \text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(-25 ⋅ 0{,}14^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(23 - 25 ⋅ 0{,}14^{x}\) naar \(23 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({414 \over 23 - 25 ⋅ 0{,}14^{x}}\) naar \({414 \over 23} = 18\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(18 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 13 (4 - 0{,}75^{x})\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}75^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}75 < 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(4 - 0{,}75^{x}\) naar \(4 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(13 (4 - 0{,}75^{x})\) naar \(13 ⋅ 4 = 52\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(52 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 27 - {64 \over 1{,}84^{x}}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}84^{x}\) heel groot (want \(1{,}84 > 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({64 \over 1{,}84^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(27 - {64 \over 1{,}84^{x}}\) naar \(27\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(27 \text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = -7 - {8 \over x^{5}}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{5}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({8 \over x^{5}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-7 - {8 \over x^{5}}\) naar \(-7\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(-7 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {3 x^{2} + 8 x + 4 \over 6 x^{2} - 9 x + 5}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({3 x^{2} \over 6 x^{2}} \text{.}\)

1p

○

Er geldt \({3 x^{2} \over 6 x^{2}} = {3 \over 6} = \frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(\frac{1}{2} \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 30 - 10 ⋅ x^{-0{,}6}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}6}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}6} = {1 \over x^{0{,}6}}\) en \(x^{0{,}6}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(-10 ⋅ x^{-0{,}6}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(30 - 10 x^{-0{,}6}\) naar \(30 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(30 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 80 - 30 ⋅ 1{,}79^{-0{,}8 x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(1{,}79^{-0{,}8 x} = {1 \over 1{,}79^{0{,}8 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}8 x\) heel groot, dus wordt \(1{,}79^{0{,}8 x}\) heel groot (want \(1{,}79 > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}79^{0{,}8 x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-30 ⋅ 1{,}79^{-0{,}8 x}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(80 - 30 ⋅ 1{,}79^{-0{,}8 x}\) naar \(80 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(80 \text{.}\)

1p
"