Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = {860 \over 22 + 3 ⋅ 1{,}26^{x}}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}26^{x}\) heel groot (want \(1{,}26 > 1 \text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(3 ⋅ 1{,}26^{x}\) heel groot
en dus wordt \(22 + 3 ⋅ 1{,}26^{x}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({860 \over 22 + 3 ⋅ 1{,}26^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {1\,600 \over 25 + 18 ⋅ 0{,}6^{x}}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}6^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}6 < 1 \text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(18 ⋅ 0{,}6^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(25 + 18 ⋅ 0{,}6^{x}\) naar \(25 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({1\,600 \over 25 + 18 ⋅ 0{,}6^{x}}\) naar \({1\,600 \over 25} = 64\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(64 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 18 (4 + 0{,}42^{x})\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}42^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}42 < 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(4 + 0{,}42^{x}\) naar \(4 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(18 (4 + 0{,}42^{x})\) naar \(18 ⋅ 4 = 72\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(72 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 46 - {12 \over 1{,}28^{x}}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}28^{x}\) heel groot (want \(1{,}28 > 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({12 \over 1{,}28^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(46 - {12 \over 1{,}28^{x}}\) naar \(46\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(46 \text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = 3 + {8 \over x^{4}}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{4}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({8 \over x^{4}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(3 + {8 \over x^{4}}\) naar \(3\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(3 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {7 x + 8 \over -x + 3}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({7 x \over -x} \text{.}\)

1p

○

Er geldt \({7 x \over -x} = {7 \over -1} = -7 \text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(-7 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 90 + 10 ⋅ x^{-0{,}3}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}3}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}3} = {1 \over x^{0{,}3}}\) en \(x^{0{,}3}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(10 ⋅ x^{-0{,}3}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(90 + 10 x^{-0{,}3}\) naar \(90 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(90 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 10 + 60 ⋅ e^{-0{,}6 x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(e^{-0{,}6 x} = {1 \over e^{0{,}6 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}6 x\) heel groot, dus wordt \(e^{0{,}6 x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over e^{0{,}6 x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(60 ⋅ e^{-0{,}6 x}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(10 + 60 ⋅ e^{-0{,}6 x}\) naar \(10 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(10 \text{.}\)

1p
"