Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

vwo wiskunde A	4.3 Rijtjes en roosters
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Een slinger bestaat uit \(7\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(5\) rode vlaggetjes? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal} = \binom{7}{5} = 21\) 1p 1p b Op een aanrecht staat een stapel van \(5\) roze en \(4\) groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er mogelijk? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal} = \binom{5 + 4}{5} = 126\) 1p 1p c Sara maakt een letterrijtje van \(10\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal} = 2^{10} = 1\,024\) 1p 2p d Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van \(10\) signalen zijn er mogelijk met minstens \(7\) lange signalen? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Minstens \(7\) wil zeggen \(7 \text{,}\) \(8 \text{,}\) \(9\) of \(10 \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{10}{7} + \binom{10}{8} + \binom{10}{9} + \binom{10}{10} = 176\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B \text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(6\) stappen naar rechts en \(3\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal} = \binom{9}{6} = 84\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P \text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{10}{6}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{10}{3} \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{10}{6} ⋅ \binom{10}{3} = 25\,200\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P \text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{5}{2} ⋅ \binom{11}{7} \text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{16}{9} \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{16}{9} - \binom{5}{2} ⋅ \binom{11}{7} = 8\,140\) 1p

4.3 Rijtjes en roosters

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Een slinger bestaat uit \(7\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(5\) rode vlaggetjes?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal} = \binom{7}{5} = 21\)

Op een aanrecht staat een stapel van \(5\) roze en \(4\) groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er mogelijk?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal} = \binom{5 + 4}{5} = 126\)

Sara maakt een letterrijtje van \(10\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal} = 2^{10} = 1\,024\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van \(10\) signalen zijn er mogelijk met minstens \(7\) lange signalen?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Minstens \(7\) wil zeggen \(7 \text{,}\) \(8 \text{,}\) \(9\) of \(10 \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{10}{7} + \binom{10}{8} + \binom{10}{9} + \binom{10}{10} = 176\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B \text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(6\) stappen naar rechts en \(3\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal} = \binom{9}{6} = 84\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P \text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{10}{6}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{10}{3} \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{10}{6} ⋅ \binom{10}{3} = 25\,200\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P \text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{5}{2} ⋅ \binom{11}{7} \text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{16}{9} \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{16}{9} - \binom{5}{2} ⋅ \binom{11}{7} = 8\,140\)