Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

vwo wiskunde A	4.3 Rijtjes en roosters
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Sara maakt een letterrijtje van \(6\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er mogelijk met \(5\) A's? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal}=\binom{6}{5}=6\) 1p 1p b Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(5\) korte en \(4\) lange signalen? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{5+4}{5}=126\) 1p 1p c Willem gooit \(6\) keer met een muntstuk. Hoeveel verschillende rijtjes van kop en munt kan hij gooien? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^6=64\) 1p 2p d Beertje Pol eet \(6\) pannenkoeken die met appel of spek zijn belegd. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten als er hoogstens \(3\) met appel zijn? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Hoogstens \(3\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\text{,}\) \(2\) of \(3\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{6}{0}+\binom{6}{1}+\binom{6}{2}+\binom{6}{3}=42\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(3\) stappen naar rechts en \(7\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{10}{3}=120\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{10}{3}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{9}{4}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{10}{3}⋅\binom{9}{4}=15\,120\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{10}{7}⋅\binom{10}{6}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{20}{13}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{20}{13}-\binom{10}{7}⋅\binom{10}{6}=52\,320\) 1p

4.3 Rijtjes en roosters

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Sara maakt een letterrijtje van \(6\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er mogelijk met \(5\) A's?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal}=\binom{6}{5}=6\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(5\) korte en \(4\) lange signalen?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{5+4}{5}=126\)

Willem gooit \(6\) keer met een muntstuk. Hoeveel verschillende rijtjes van kop en munt kan hij gooien?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^6=64\)

Beertje Pol eet \(6\) pannenkoeken die met appel of spek zijn belegd. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten als er hoogstens \(3\) met appel zijn?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Hoogstens \(3\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\text{,}\) \(2\) of \(3\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{6}{0}+\binom{6}{1}+\binom{6}{2}+\binom{6}{3}=42\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(3\) stappen naar rechts en \(7\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{10}{3}=120\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{10}{3}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{9}{4}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{10}{3}⋅\binom{9}{4}=15\,120\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{10}{7}⋅\binom{10}{6}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{20}{13}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{20}{13}-\binom{10}{7}⋅\binom{10}{6}=52\,320\)