Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

vwo wiskunde A	4.3 Rijtjes en roosters
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(6\) borden waarvan \(4\) roze? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis a \(\text{aantal}=\binom{6}{4}=15\) 1p 1p b Beertje Pol eet \(2\) pannenkoeken met appel en \(2\) met spek. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis b \(\text{aantal}=\binom{2+2}{2}=6\) 1p 1p c Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(5\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis c \(\text{aantal}=2^5=32\) 1p 2p d Sara maakt een letterrijtje van \(4\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk met hoogstens \(2\) B's? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind d Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{4}{0}+\binom{4}{1}+\binom{4}{2}=11\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis ○ \(5\) stappen naar rechts en \(7\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{12}{5}=792\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{10}{7}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{11}{5}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{10}{7}⋅\binom{11}{5}=55\,440\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{7}{4}⋅\binom{7}{5}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{14}{9}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{14}{9}-\binom{7}{4}⋅\binom{7}{5}=1\,267\) 1p

4.3 Rijtjes en roosters

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(6\) borden waarvan \(4\) roze?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis

\(\text{aantal}=\binom{6}{4}=15\)

Beertje Pol eet \(2\) pannenkoeken met appel en \(2\) met spek. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis

\(\text{aantal}=\binom{2+2}{2}=6\)

Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(5\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis

\(\text{aantal}=2^5=32\)

Sara maakt een letterrijtje van \(4\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk met hoogstens \(2\) B's?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind

Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{4}{0}+\binom{4}{1}+\binom{4}{2}=11\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis

○

\(5\) stappen naar rechts en \(7\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{12}{5}=792\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{10}{7}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{11}{5}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{10}{7}⋅\binom{11}{5}=55\,440\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{7}{4}⋅\binom{7}{5}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{14}{9}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{14}{9}-\binom{7}{4}⋅\binom{7}{5}=1\,267\)