Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde A 10.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per week met \(5{,}1\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{week}}={5{,}1 \over 100}+1=1{,}051\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}051^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}051^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=13{,}934...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(13{,}9\) weken.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per kwartier met \(5{,}3\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{kwartier}}={-5{,}3 \over 100}+1=0{,}947\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}947^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}947^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=12{,}728...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(12{,}7\) kwartier.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(22{,}8\) jaren.

3p

Bereken de procentuele toename per jaar.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{22{,}8}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{22{,}8}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}030...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}030...-1)×100\%=3{,}1\%\) per jaar.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(16{,}5\) kwartier.

3p

Bereken de procentuele afname per kwartier.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per kwartier is de oplossing van de vergelijking \(g^{16{,}5}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{16{,}5}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}958...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}958...-1)×100\%=-4{,}1\%\) dus een procentuele afname van \(4{,}1\%\) per kwartier.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per dag met \(2{,}3\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(65\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}}={2{,}3 \over 100}+1=1{,}023\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(65\%\) komt overeen met een factor \({65 \over 100}+1=1{,}65\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}023^t=1{,}65\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}023^x\)
\(y_2=1{,}65\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=22{,}022...\)

1p

○

Dus duurt het \(22{,}0\) dagen voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(65\%\text{.}\)

1p
"