Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde A 10.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per week met \(3{,}5\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{week}}={3{,}5 \over 100}+1=1{,}035\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}035^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}035^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=20{,}148...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(20{,}1\) weken.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(2{,}9\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}}={-2{,}9 \over 100}+1=0{,}971\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}971^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}971^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=23{,}553...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(23{,}6\) jaren.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(16{,}7\) uur.

3p

Bereken de procentuele toename per uur.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per uur is de oplossing van de vergelijking \(g^{16{,}7}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{16{,}7}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}042...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}042...-1)×100\%=4{,}2\%\) per uur.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(10{,}8\) jaren.

3p

Bereken de procentuele afname per jaar.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{10{,}8}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{10{,}8}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}937...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}937...-1)×100\%=-6{,}2\%\) dus een procentuele afname van \(6{,}2\%\) per jaar.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(2{,}4\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(84\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}}={2{,}4 \over 100}+1=1{,}024\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(84\%\) komt overeen met een factor \({84 \over 100}+1=1{,}84\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}024^t=1{,}84\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}024^x\)
\(y_2=1{,}84\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=25{,}710...\)

1p

○

Dus duurt het \(25{,}7\) jaren voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(84\%\text{.}\)

1p
"