Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde A 10.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(5{,}7\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}} = 1 + {5{,}7 \over 100} = 1{,}057 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}057^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}057^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 12{,}503...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(12{,}5\) jaren.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(5{,}4\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}} = 1 - {5{,}4 \over 100} = 0{,}946 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}946^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}946^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 12{,}486...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(12{,}5\) jaren.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(15{,}3\) seconden.

3p

Bereken de procentuele toename per seconde.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per seconde is de oplossing van de vergelijking \(g^{15{,}3} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{15{,}3}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}046...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}046... - 1) × 100\% = 4{,}6\%\) per seconde.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(20{,}7\) jaren.

3p

Bereken de procentuele afname per jaar.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{20{,}7} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{20{,}7}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}967...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}967... - 1) × 100\% = -3{,}3\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}3\%\) per jaar.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(1{,}8\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(63\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}} = 1 + {1{,}8 \over 100} = 1{,}018 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(63\%\) komt overeen met een factor \(1 + {63 \over 100} = 1{,}63 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}018^{t} = 1{,}63 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}018^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}63\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 27{,}386...\)

1p

○

Dus duurt het \(27{,}4\) jaren voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(63\% \text{.}\)

1p
"