Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde A 10.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per seconde met \(2{,}2\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{seconde}}={2{,}2 \over 100}+1=1{,}022\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}022^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}022^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=31{,}852...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(31{,}9\) seconden.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per uur met \(2{,}1\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{uur}}={-2{,}1 \over 100}+1=0{,}979\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}979^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}979^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=32{,}659...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(32{,}7\) uur.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(11{,}8\) minuten.

3p

Bereken de procentuele toename per minuut.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per minuut is de oplossing van de vergelijking \(g^{11{,}8}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{11{,}8}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}060...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}060...-1)×100\%=6{,}1\%\) per minuut.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(11{,}2\) jaren.

3p

Bereken de procentuele afname per jaar.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{11{,}2}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{11{,}2}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}939...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}939...-1)×100\%=-6{,}0\%\) dus een procentuele afname van \(6{,}0\%\) per jaar.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(2{,}3\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(62\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}}={2{,}3 \over 100}+1=1{,}023\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(62\%\) komt overeen met een factor \({62 \over 100}+1=1{,}62\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}023^t=1{,}62\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}023^x\)
\(y_2=1{,}62\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=21{,}215...\)

1p

○

Dus duurt het \(21{,}2\) jaren voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(62\%\text{.}\)

1p
"