Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde A 10.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(5{,}4\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}} = {5{,}4 \over 100} + 1 = 1{,}054 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}054^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}054^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 13{,}179...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(13{,}2\) jaren.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per seconde met \(3{,}2\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{seconde}} = {-3{,}2 \over 100} + 1 = 0{,}968 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}968^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}968^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 21{,}312...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(21{,}3\) seconden.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(14{,}1\) kwartier.

3p

Bereken de procentuele toename per kwartier.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per kwartier is de oplossing van de vergelijking \(g^{14{,}1} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{14{,}1}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}050...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}050... - 1) × 100\% = 5{,}0\%\) per kwartier.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(15{,}4\) dagen.

3p

Bereken de procentuele afname per dag.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor per dag is de oplossing van de vergelijking \(g^{15{,}4} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{15{,}4}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}955...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}955... - 1) × 100\% = -4{,}4\%\) dus een procentuele afname van \(4{,}4\%\) per dag.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per dag met \(2{,}9\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(75\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}} = {2{,}9 \over 100} + 1 = 1{,}029 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(75\%\) komt overeen met een factor \({75 \over 100} + 1 = 1{,}75 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}029^{t} = 1{,}75 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}029^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}75\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 19{,}575...\)

1p

○

Dus duurt het \(19{,}6\) dagen voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(75\% \text{.}\)

1p
"