Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde A 10.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(2{,}6\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}}={2{,}6 \over 100}+1=1{,}026\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}026^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}026^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=27{,}004...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(27{,}0\) minuten.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per week met \(1{,}2\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis

○

De groeifactor is \(g_{\text{week}}={-1{,}2 \over 100}+1=0{,}988\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}988^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}988^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=57{,}414...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(57{,}4\) weken.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(21{,}6\) kwartier.

3p

Bereken de procentuele toename per kwartier.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis

○

De groeifactor per kwartier is de oplossing van de vergelijking \(g^{21{,}6}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{21{,}6}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}032...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}032...-1)×100\%=3{,}3\%\) per kwartier.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(13{,}1\) seconden.

3p

Bereken de procentuele afname per seconde.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis

○

De groeifactor per seconde is de oplossing van de vergelijking \(g^{13{,}1}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{13{,}1}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}948...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}948...-1)×100\%=-5{,}2\%\) dus een procentuele afname van \(5{,}2\%\) per seconde.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(3{,}1\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(62\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}}={3{,}1 \over 100}+1=1{,}031\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(62\%\) komt overeen met een factor \({62 \over 100}+1=1{,}62\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}031^t=1{,}62\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}031^x\)
\(y_2=1{,}62\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=15{,}802...\)

1p

○

Dus duurt het \(15{,}8\) minuten voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(62\%\text{.}\)

1p
"