Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(4, -3)\) en \(B(2, -4)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis ○ \(d(A, B)=\sqrt{(4-2)^2+(-3--4)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(4, 2)\) en de lijn \(l{:}\,-4x+2y=3\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - data pool: #1576 (102ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2x+4y=c \\ A(4, 2)\end{rcases}c=2⋅4+4⋅2=16\) Dus \(n{:}\,2x+4y=16\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-4x+2y=3 \\ 2x+4y=16\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-4x+2y=3 \\ 4x+8y=32\end{cases}\) Optellen geeft \(10y=35\) dus \(y=3\frac{1}{2}\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-4x+2y=3 \\ y=3\frac{1}{2}\end{rcases}\begin{matrix}-4x+2⋅3\frac{1}{2}=3 \\ x=1\end{matrix}\) Dus \(S(1, 3\frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(4-1)^2+(2-3\frac{1}{2})^2}=\sqrt{11\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x-2y+18=0\) en het punt \(A(6, 2)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-5)^2+(y-1)^2=8\) Dus \(M(5, 1)\) en \(r=\sqrt{8}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(5-6)^2+(1-2)^2}=\sqrt{2}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2}<\sqrt{8}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=\sqrt{8}-\sqrt{2}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2+12x+10y+58=0\) en \(c_2{:}\,(x-2)^2+(y-3)^2=4\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+6)^2+(y+5)^2=3\) Dus \(M_1(-6, -5)\) en \(r_1=\sqrt{3}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(2, 3)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(-6-2)^2+(-5-3)^2}=\sqrt{128}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{4}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{128}-\sqrt{3}-\sqrt{4}\text{.}\) 1p

"