Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (4 , 1)\) en \(B (2 , -2) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(4 - 2)^{2} + (1 - -2)^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (3 , -2)\) en de lijn \(l{:}\,4 x - y = -3 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (57ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-x - 4 y = c \\ A (3 , -2)\end{rcases} c = -1 ⋅ 3 - 4 ⋅ -2 = 5\) Dus \(n{:}\,-x - 4 y = 5 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}4 x - y = -3 \\ -x - 4 y = 5\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 4\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x - y = -3 \\ -4 x - 16 y = 20\end{cases}\) Optellen geeft \(-17 y = 17\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}4 x - y = -3 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}4 x - 1 ⋅ -1 = -3 \\ x = -1\end{matrix}\) Dus \(S (-1 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(3 - -1)^{2} + (-2 - -1)^{2}} = \sqrt{17} \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 4 x - 10 y + 20 = 0\) en het punt \(A (0 , 7) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 9\) Dus \(M (-2 , 5)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-2 - 0)^{2} + (5 - 7)^{2}} = \sqrt{8} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{8} < \sqrt{9} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = 3 - \sqrt{8} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} - 4 x - 18 y + 74 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} = 5 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 2)^{2} + (y - 9)^{2} = 11\) Dus \(M_{1} (2 , 9)\) en \(r_{1} = \sqrt{11} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (-4 , 1) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(2 - -4)^{2} + (9 - 1)^{2}} = \sqrt{100} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{5} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{100} - \sqrt{11} - \sqrt{5} \text{.}\) 1p

"