Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (1 , -4)\) en \(B (5 , -2) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(1 - 5)^{2} + (-4 - -2)^{2}} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (4 , -2)\) en de lijn \(l{:}\,3 x - y = 4 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (58ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-x - 3 y = c \\ A (4 , -2)\end{rcases} c = -1 ⋅ 4 - 3 ⋅ -2 = 2\) Dus \(n{:}\,-x - 3 y = 2 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}3 x - y = 4 \\ -x - 3 y = 2\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3 x - y = 4 \\ -3 x - 9 y = 6\end{cases}\) Optellen geeft \(-10 y = 10\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3 x - y = 4 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}3 x - 1 ⋅ -1 = 4 \\ x = 1\end{matrix}\) Dus \(S (1 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (-2 - -1)^{2}} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 4 x - 3 = 0\) en het punt \(A (3 , 1) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 2)^{2} + y^{2} = 7\) Dus \(M (2 , 0)\) en \(r = \sqrt{7} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(2 - 3)^{2} + (0 - 1)^{2}} = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2} < \sqrt{7} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = \sqrt{7} - \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x - 12 y + 32 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x - 5)^{2} + (y + 1)^{2} = 9 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 3)^{2} + (y - 6)^{2} = 13\) Dus \(M_{1} (-3 , 6)\) en \(r_{1} = \sqrt{13} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (5 , -1) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(-3 - 5)^{2} + (6 - -1)^{2}} = \sqrt{113} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{9} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{113}-\sqrt{13}-\sqrt{9} = -3-\sqrt{13}+\sqrt{113} \text{.}\) 1p

"