Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (-4 , 1)\) en \(B (0 , -2) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(-4 - 0)^{2} + (1 - -2)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (2 , -5)\) en de lijn \(l{:}\,x - 4 y = 5 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (49ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-4 x - y = c \\ A (2 , -5)\end{rcases} c = -4 ⋅ 2 - 1 ⋅ -5 = -3\) Dus \(n{:}\,-4 x - y = -3 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}x - 4 y = 5 \\ -4 x - y = -3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x - 16 y = 20 \\ -4 x - y = -3\end{cases}\) Optellen geeft \(-17 y = 17\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x - 4 y = 5 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}x - 4 ⋅ -1 = 5 \\ x = 1\end{matrix}\) Dus \(S (1 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (-5 - -1)^{2}} = \sqrt{17} \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 23 = 0\) en het punt \(A (6 , -1) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 3ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 5)^{2} + (y + 2)^{2} = 6\) Dus \(M (5 , -2)\) en \(r = \sqrt{6} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(5 - 6)^{2} + (-2 - -1)^{2}} = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2} < \sqrt{6} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = \sqrt{6} - \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} + 16 x + 6 y + 57 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 5 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 8)^{2} + (y + 3)^{2} = 16\) Dus \(M_{1} (-8 , -3)\) en \(r_{1} = \sqrt{16} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (1 , 3) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(-8 - 1)^{2} + (-3 - 3)^{2}} = \sqrt{117} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{5} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{117} - \sqrt{16} - \sqrt{5} \text{.}\) 1p

"