Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (-4 , -1)\) en \(B (-5 , 2) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(-4 - -5)^{2} + (-1 - 2)^{2}} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (-4 , 2)\) en de lijn \(l{:}\,2 x - 4 y = 4 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (51ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-4 x - 2 y = c \\ A (-4 , 2)\end{rcases} c = -4 ⋅ -4 - 2 ⋅ 2 = 12\) Dus \(n{:}\,-4 x - 2 y = 12 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}2 x - 4 y = 4 \\ -4 x - 2 y = 12\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x - 8 y = 8 \\ -4 x - 2 y = 12\end{cases}\) Optellen geeft \(-10 y = 20\) dus \(y = -2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2 x - 4 y = 4 \\ y = -2\end{rcases} \begin{matrix}2 x - 4 ⋅ -2 = 4 \\ x = -2\end{matrix}\) Dus \(S (-2 , -2) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-4 - -2)^{2} + (2 - -2)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 4 x + 8 y + 4 = 0\) en het punt \(A (-3 , -5) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 2)^{2} + (y + 4)^{2} = 16\) Dus \(M (-2 , -4)\) en \(r = \sqrt{16} = 4 \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-2 - -3)^{2} + (-4 - -5)^{2}} = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2} < \sqrt{16} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = 4 - \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x + 2 y + 7 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x - 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 4 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 10\) Dus \(M_{1} (-4 , -1)\) en \(r_{1} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (3 , 5) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(-4 - 3)^{2} + (-1 - 5)^{2}} = \sqrt{85} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{4} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{85} - \sqrt{10} - \sqrt{4} \text{.}\) 1p

"