Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(-2, 1)\) en \(B(2, 2)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(-2-2)^2+(1-2)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(5, 4)\) en de lijn \(l{:}\,-x+3y=-3\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 191ms - data pool: #1576 (191ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,3x+y=c \\ A(5, 4)\end{rcases}c=3⋅5+1⋅4=19\) Dus \(n{:}\,3x+y=19\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-x+3y=-3 \\ 3x+y=19\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-3x+9y=-9 \\ 3x+y=19\end{cases}\) Optellen geeft \(10y=10\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-x+3y=-3 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}-x+3⋅1=-3 \\ x=6\end{matrix}\) Dus \(S(6, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-6)^2+(4-1)^2}=\sqrt{10}\text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+9=0\) en het punt \(A(6, 1)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 3ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-5)^2+y^2=16\) Dus \(M(5, 0)\) en \(r=\sqrt{16}=4\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(5-6)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2}<\sqrt{16}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=4-\sqrt{2}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2-12x-10y+54=0\) en \(c_2{:}\,(x+2)^2+(y+2)^2=14\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-6)^2+(y-5)^2=7\) Dus \(M_1(6, 5)\) en \(r_1=\sqrt{7}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(-2, -2)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(6--2)^2+(5--2)^2}=\sqrt{113}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{14}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{113}-\sqrt{7}-\sqrt{14}\text{.}\) 1p

"