Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(3, -4)\) en \(B(8, -8)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(3-8)^2+(-4--8)^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(-2, 4)\) en de lijn \(l{:}\,4x-3y=5\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #1576 (120ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-3x-4y=c \\ A(-2, 4)\end{rcases}c=-3⋅-2-4⋅4=-10\) Dus \(n{:}\,-3x-4y=-10\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}4x-3y=5 \\ -3x-4y=-10\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 4\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}12x-9y=15 \\ -12x-16y=-40\end{cases}\) Optellen geeft \(-25y=-25\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}4x-3y=5 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}4x-3⋅1=5 \\ x=2\end{matrix}\) Dus \(S(2, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-2-2)^2+(4-1)^2}=\sqrt{25}=5\text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x+2y-6=0\) en het punt \(A(-3, -2)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+2)^2+(y+1)^2=11\) Dus \(M(-2, -1)\) en \(r=\sqrt{11}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-2--3)^2+(-1--2)^2}=\sqrt{2}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2}<\sqrt{11}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=\sqrt{11}-\sqrt{2}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2-16x+18y+132=0\) en \(c_2{:}\,(x-1)^2+(y+2)^2=4\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-8)^2+(y+9)^2=13\) Dus \(M_1(8, -9)\) en \(r_1=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(1, -2)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(8-1)^2+(-9--2)^2}=\sqrt{98}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{4}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{98}-\sqrt{13}-\sqrt{4}\text{.}\) 1p

"