Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(2, -3)\) en \(B(7, -4)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(2-7)^2+(-3--4)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(-5, -3)\) en de lijn \(l{:}\,2x+4y=-2\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #1576 (127ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,4x-2y=c \\ A(-5, -3)\end{rcases}c=4⋅-5-2⋅-3=-14\) Dus \(n{:}\,4x-2y=-14\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}2x+4y=-2 \\ 4x-2y=-14\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4x+8y=-4 \\ 4x-2y=-14\end{cases}\) Aftrekken geeft \(10y=10\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2x+4y=-2 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}2x+4⋅1=-2 \\ x=-3\end{matrix}\) Dus \(S(-3, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-5--3)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x-8y+12=0\) en het punt \(A(-5, 2)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+3)^2+(y-4)^2=13\) Dus \(M(-3, 4)\) en \(r=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-3--5)^2+(4-2)^2}=\sqrt{8}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{8}<\sqrt{13}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=\sqrt{13}-\sqrt{8}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2-2x+6y+2=0\) en \(c_2{:}\,(x+7)^2+(y-7)^2=15\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-1)^2+(y+3)^2=8\) Dus \(M_1(1, -3)\) en \(r_1=\sqrt{8}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(-7, 7)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(1--7)^2+(-3-7)^2}=\sqrt{164}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{15}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{164}-\sqrt{8}-\sqrt{15}\text{.}\) 1p

"