Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

vwo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (10)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M(6, -1)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,(x-6)^2+(y+1)^2=4\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(4, 3)\) en \(A(9, 5)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(4-9)^2+(3-5)^2}=\sqrt{29}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-4)^2+(y-3)^2=29\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(-2, -3)\) en \(B(7, -5)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(-2+7), {1 \over 2}(-3+-5))=M(2\frac{1}{2}, -4)\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(2\frac{1}{2}--2)^2+(-4--3)^2}=\sqrt{21\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-2\frac{1}{2})^2+(y+4)^2=21\frac{1}{4}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(-2, 5)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=5\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+2)^2+(y-5)^2=25\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M(0, -7)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,x^2+(y+7)^2=9\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2x+10y+22=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-2x+10y+22=0\) \((x-1)^2-1+(y+5)^2-25+22=0\) \((x-1)^2+(y+5)^2=4\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(1, -5)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-3x+2y-16=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-3x+2y-16=0\) \((x-1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}+(y+1)^2-1-16=0\) \((x-1\frac{1}{2})^2+(y+1)^2=19\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(1\frac{1}{2}, -1)\) en \(r=\sqrt{19\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-14x+33=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-14x+33=0\) \((x-7)^2-49+y^2+33=0\) \((x-7)^2+y^2=16\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(7, 0)\) en \(r=\sqrt{16}=4\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is het punt \(M(-1, 6)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x+1)^2+(y-6)^2=16\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2+2x+1+y^2-12y+36=16\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2+2x-12y+21=0\text{.}\) 1p opgave 10 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=x+2\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(5\text{,}\) dus \(y_M=5\) of \(y_M=-5\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=x+2 \\ y_M=5\end{rcases}\text{ geeft }x+2=5\text{ dus }x_M=3\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(3, 5)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-3)^2+(y-5)^2=25\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=x+2 \\ y_M=-5\end{rcases}\text{ geeft }x+2=-5\text{ dus }x_M=-7\) Middelpunt \(M_2(-7, -5)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+7)^2+(y+5)^2=25\) 1p

vwo wiskunde B

7.3 Cirkelvergelijkingen

De vergelijking van een cirkel (10)

opgave 1

Gegeven is het punt \(M(6, -1)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (1)

00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

\(c{:}\,(x-6)^2+(y+1)^2=4\text{.}\)

opgave 2

Gegeven zijn de punten \(M(4, 3)\) en \(A(9, 5)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

MiddelpuntDoorPunt

00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(4-9)^2+(3-5)^2}=\sqrt{29}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-4)^2+(y-3)^2=29\text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(A(-2, -3)\) en \(B(7, -5)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

Middellijn

00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(-2+7), {1 \over 2}(-3+-5))=M(2\frac{1}{2}, -4)\text{.}\)

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(2\frac{1}{2}--2)^2+(-4--3)^2}=\sqrt{21\frac{1}{4}}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-2\frac{1}{2})^2+(y+4)^2=21\frac{1}{4}\text{.}\)

opgave 4

Gegeven is het punt \(M(-2, 5)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as.

MiddelpuntRaaktAanAs

00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=5\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+2)^2+(y-5)^2=25\text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het punt \(M(0, -7)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (2)

00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,x^2+(y+7)^2=9\text{.}\)

opgave 6

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2x+10y+22=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (1)

00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-2x+10y+22=0\)
\((x-1)^2-1+(y+5)^2-25+22=0\)
\((x-1)^2+(y+5)^2=4\text{.}\)

○

Dus \(M(1, -5)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\)

opgave 7

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-3x+2y-16=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (2)

00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-3x+2y-16=0\)
\((x-1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}+(y+1)^2-1-16=0\)
\((x-1\frac{1}{2})^2+(y+1)^2=19\frac{1}{4}\text{.}\)

○

Dus \(M(1\frac{1}{2}, -1)\) en \(r=\sqrt{19\frac{1}{4}}\text{.}\)

opgave 8

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-14x+33=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (3)

00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-14x+33=0\)
\((x-7)^2-49+y^2+33=0\)
\((x-7)^2+y^2=16\text{.}\)

○

Dus \(M(7, 0)\) en \(r=\sqrt{16}=4\text{.}\)

opgave 9

Gegeven is het punt \(M(-1, 6)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (3)

00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x+1)^2+(y-6)^2=16\text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+2x+1+y^2-12y+36=16\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2+2x-12y+21=0\text{.}\)

opgave 10

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=x+2\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken.

Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs

00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(5\text{,}\) dus \(y_M=5\) of \(y_M=-5\text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y=x+2 \\ y_M=5\end{rcases}\text{ geeft }x+2=5\text{ dus }x_M=3\)

○

Middelpunt \(M_1(3, 5)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-3)^2+(y-5)^2=25\)

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=x+2 \\ y_M=-5\end{rcases}\text{ geeft }x+2=-5\text{ dus }x_M=-7\)
Middelpunt \(M_2(-7, -5)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+7)^2+(y+5)^2=25\)