Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

vwo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (10)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M (-5 , 1) \text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6 \text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x + 5)^{2} + (y - 1)^{2} = 36 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M (2 , -4)\) en \(A (1 , -7) \text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(r = d(M , A) = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (-4 - -7)^{2}} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x - 2)^{2} + (y + 4)^{2} = 10 \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A (-7 , 6)\) en \(B (-4 , -5) \text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus \(M ({1 \over 2} (-7 + -4) , {1 \over 2} (6 + -5)) = M (-5\frac{1}{2} , \frac{1}{2}) \text{.}\) 1p ○ \(r = d(M , A) = \sqrt{(-5\frac{1}{2} - -7)^{2} + (\frac{1}{2} - 6)^{2}} = \sqrt{32\frac{1}{2}} \text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x + 5\frac{1}{2})^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = 32\frac{1}{2} \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M (-1 , -7) \text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x \text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(x \text{-}\)as, dus \(r = d(M , x \text{-as}) = 7 \text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x + 1)^{2} + (y + 7)^{2} = 49 \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M (3 , 0) \text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4 \text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x - 3)^{2} + y^{2} = 16 \text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0 \text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0\) \((x - 1)^{2} - 1 + (y + 2)^{2} - 4 - 20 = 0\) \((x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25 \text{.}\) 1p ○ Dus \(M (1 , -2)\) en \(r = \sqrt{25} = 5 \text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 7 x - 10 y + 27 = 0 \text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + y^{2} + 7 x - 10 y + 27 = 0\) \((x + 3\frac{1}{2})^{2} - 12\frac{1}{4} + (y - 5)^{2} - 25 + 27 = 0\) \((x + 3\frac{1}{2})^{2} + (y - 5)^{2} = 10\frac{1}{4} \text{.}\) 1p ○ Dus \(M (-3\frac{1}{2} , 5)\) en \(r = \sqrt{10\frac{1}{4}} \text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 4 x - 5 = 0 \text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + y^{2} - 4 x - 5 = 0\) \((x - 2)^{2} - 4 + y^{2} - 5 = 0\) \((x - 2)^{2} + y^{2} = 9 \text{.}\) 1p ○ Dus \(M (2 , 0)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is het punt \(M (-7 , -4) \text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6 \text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 \text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x + 7)^{2} + (y + 4)^{2} = 36 \text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^{2} + 14 x + 49 + y^{2} + 8 y + 16 = 36\) en dus \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 14 x + 8 y + 29 = 0 \text{.}\) 1p opgave 10 Er zijn twee cirkels \(c_{1}\) en \(c_{2}\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y = 4 x + 2\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(y \text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_{1}\) als \(c_{2}\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ De cirkels raken de \(y \text{-}\)as en hebben straal \(5 \text{,}\) dus \(x_{M} = 5\) of \(x_{M} = -5 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 4 x + 2 \\ x_{M} = 5\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 4 ⋅ 5 + 2 = 22\) 1p ○ Middelpunt \(M_{1} (5 , 22)\) en straal \(r = 5 \text{,}\) dus \(c_{1}{:}\,(x - 5)^{2} + (y - 22)^{2} = 25\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y = 4 x + 2 \\ x_{M} = -5\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 4 ⋅ -5 + 2 = -18\) Middelpunt \(M_{2} (-5 , -18)\) en straal \(r = 5 \text{,}\) dus \(c_{2}{:}\,(x + 5)^{2} + (y + 18)^{2} = 25\) 1p

vwo wiskunde B

7.3 Cirkelvergelijkingen

De vergelijking van een cirkel (10)

opgave 1

Gegeven is het punt \(M (-5 , 1) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6 \text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (1)

00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x + 5)^{2} + (y - 1)^{2} = 36 \text{.}\)

opgave 2

Gegeven zijn de punten \(M (2 , -4)\) en \(A (1 , -7) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

MiddelpuntDoorPunt

00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(r = d(M , A) = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (-4 - -7)^{2}} = \sqrt{10} \text{.}\)

○

\(c{:}\,(x - 2)^{2} + (y + 4)^{2} = 10 \text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(A (-7 , 6)\) en \(B (-4 , -5) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)

Middellijn

00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus
\(M ({1 \over 2} (-7 + -4) , {1 \over 2} (6 + -5)) = M (-5\frac{1}{2} , \frac{1}{2}) \text{.}\)

○

\(r = d(M , A) = \sqrt{(-5\frac{1}{2} - -7)^{2} + (\frac{1}{2} - 6)^{2}} = \sqrt{32\frac{1}{2}} \text{.}\)

○

\(c{:}\,(x + 5\frac{1}{2})^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = 32\frac{1}{2} \text{.}\)

opgave 4

Gegeven is het punt \(M (-1 , -7) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x \text{-}\)as.

MiddelpuntRaaktAanAs

00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x \text{-}\)as, dus \(r = d(M , x \text{-as}) = 7 \text{.}\)

○

\(c{:}\,(x + 1)^{2} + (y + 7)^{2} = 49 \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het punt \(M (3 , 0) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4 \text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (2)

00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x - 3)^{2} + y^{2} = 16 \text{.}\)

opgave 6

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0 \text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (1)

00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0\)
\((x - 1)^{2} - 1 + (y + 2)^{2} - 4 - 20 = 0\)
\((x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25 \text{.}\)

○

Dus \(M (1 , -2)\) en \(r = \sqrt{25} = 5 \text{.}\)

opgave 7

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 7 x - 10 y + 27 = 0 \text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (2)

00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 7 x - 10 y + 27 = 0\)
\((x + 3\frac{1}{2})^{2} - 12\frac{1}{4} + (y - 5)^{2} - 25 + 27 = 0\)
\((x + 3\frac{1}{2})^{2} + (y - 5)^{2} = 10\frac{1}{4} \text{.}\)

○

Dus \(M (-3\frac{1}{2} , 5)\) en \(r = \sqrt{10\frac{1}{4}} \text{.}\)

opgave 8

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 4 x - 5 = 0 \text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (3)

00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 4 x - 5 = 0\)
\((x - 2)^{2} - 4 + y^{2} - 5 = 0\)
\((x - 2)^{2} + y^{2} = 9 \text{.}\)

○

Dus \(M (2 , 0)\) en \(r = \sqrt{9} = 3 \text{.}\)

opgave 9

Gegeven is het punt \(M (-7 , -4) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6 \text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 \text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (3)

00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x + 7)^{2} + (y + 4)^{2} = 36 \text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} + 14 x + 49 + y^{2} + 8 y + 16 = 36\)
en dus
\(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 14 x + 8 y + 29 = 0 \text{.}\)

opgave 10

Er zijn twee cirkels \(c_{1}\) en \(c_{2}\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y = 4 x + 2\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(y \text{-}\)as raken.

Stel van zowel \(c_{1}\) als \(c_{2}\) een vergelijking op.

MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs

00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

De cirkels raken de \(y \text{-}\)as en hebben straal \(5 \text{,}\) dus \(x_{M} = 5\) of \(x_{M} = -5 \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y = 4 x + 2 \\ x_{M} = 5\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 4 ⋅ 5 + 2 = 22\)

○

Middelpunt \(M_{1} (5 , 22)\) en straal \(r = 5 \text{,}\) dus
\(c_{1}{:}\,(x - 5)^{2} + (y - 22)^{2} = 25\)

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y = 4 x + 2 \\ x_{M} = -5\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 4 ⋅ -5 + 2 = -18\)
Middelpunt \(M_{2} (-5 , -18)\) en straal \(r = 5 \text{,}\) dus
\(c_{2}{:}\,(x + 5)^{2} + (y + 18)^{2} = 25\)