Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

vwo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (10)	opgave 1 gegeven is het punt \(M(1, 6)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ \(c{:}\,(x-1)^2+(y-6)^2=49\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(1, 4)\) en \(A(-3, 2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(1--3)^2+(4-2)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-1)^2+(y-4)^2=20\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(-7, 0)\) en \(B(4, -6)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(-7+4), {1 \over 2}(0+-6))=M(-1\frac{1}{2}, -3)\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-1\frac{1}{2}--7)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{39\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+1\frac{1}{2})^2+(y+3)^2=39\frac{1}{4}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(-3, -7)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=3\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+3)^2+(y+7)^2=9\text{.}\) 1p opgave 5 gegeven is het punt \(M(-3, 0)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis ○ \(c{:}\,(x+3)^2+y^2=36\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+6y+30=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-10x+6y+30=0\) \((x-5)^2-25+(y+3)^2-9+30=0\) \((x-5)^2+(y+3)^2=4\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(5, -3)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-12x+5y+27=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-12x+5y+27=0\) \((x-6)^2-36+(y+2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}+27=0\) \((x-6)^2+(y+2\frac{1}{2})^2=15\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(6, -2\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{15\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-14x+24=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-14x+24=0\) \((x-7)^2-49+y^2+24=0\) \((x-7)^2+y^2=25\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(7, 0)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\) 1p opgave 9 gegeven is het punt \(M(-6, 1)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis ○ \(c{:}\,(x+6)^2+(y-1)^2=49\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2+12x+36+y^2-2y+1=49\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2+12x-2y-12=0\text{.}\) 1p opgave 10 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=3x+1\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis ○ De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(5\text{,}\) dus \(y_M=5\) of \(y_M=-5\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=3x+1 \\ y_M=5\end{rcases}\text{ geeft }3x+1=5\text{ dus }x_M=1\frac{1}{3}\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(1\frac{1}{3}, 5)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-1\frac{1}{3})^2+(y-5)^2=5\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=3x+1 \\ y_M=-5\end{rcases}\text{ geeft }3x+1=-5\text{ dus }x_M=-2\) Middelpunt \(M_2(-2, -5)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+2)^2+(y+5)^2=25\) 1p

vwo wiskunde B

7.3 Cirkelvergelijkingen

De vergelijking van een cirkel (10)

opgave 1

gegeven is het punt \(M(1, 6)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (1)

00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis

○

\(c{:}\,(x-1)^2+(y-6)^2=49\text{.}\)

opgave 2

Gegeven zijn de punten \(M(1, 4)\) en \(A(-3, 2)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

MiddelpuntDoorPunt

00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(1--3)^2+(4-2)^2}=\sqrt{20}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-1)^2+(y-4)^2=20\text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(A(-7, 0)\) en \(B(4, -6)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

Middellijn

00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(-7+4), {1 \over 2}(0+-6))=M(-1\frac{1}{2}, -3)\text{.}\)

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-1\frac{1}{2}--7)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{39\frac{1}{4}}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+1\frac{1}{2})^2+(y+3)^2=39\frac{1}{4}\text{.}\)

opgave 4

Gegeven is het punt \(M(-3, -7)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as.

MiddelpuntRaaktAanAs

00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=3\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+3)^2+(y+7)^2=9\text{.}\)

opgave 5

gegeven is het punt \(M(-3, 0)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (2)

00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis

○

\(c{:}\,(x+3)^2+y^2=36\text{.}\)

opgave 6

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+6y+30=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (1)

00ba - De vergelijking van een cirkel - basis

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-10x+6y+30=0\)
\((x-5)^2-25+(y+3)^2-9+30=0\)
\((x-5)^2+(y+3)^2=4\text{.}\)

○

Dus \(M(5, -3)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\)

opgave 7

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-12x+5y+27=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (2)

00bb - De vergelijking van een cirkel - basis

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-12x+5y+27=0\)
\((x-6)^2-36+(y+2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}+27=0\)
\((x-6)^2+(y+2\frac{1}{2})^2=15\frac{1}{4}\text{.}\)

○

Dus \(M(6, -2\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{15\frac{1}{4}}\text{.}\)

opgave 8

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-14x+24=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (3)

00bc - De vergelijking van een cirkel - basis

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-14x+24=0\)
\((x-7)^2-49+y^2+24=0\)
\((x-7)^2+y^2=25\text{.}\)

○

Dus \(M(7, 0)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

opgave 9

gegeven is het punt \(M(-6, 1)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (3)

00bx - De vergelijking van een cirkel - basis

○

\(c{:}\,(x+6)^2+(y-1)^2=49\text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+12x+36+y^2-2y+1=49\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2+12x-2y-12=0\text{.}\)

opgave 10

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=3x+1\) ligt, die straal \(5\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken.

Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs

00es - De vergelijking van een cirkel - basis

○

De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(5\text{,}\) dus \(y_M=5\) of \(y_M=-5\text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y=3x+1 \\ y_M=5\end{rcases}\text{ geeft }3x+1=5\text{ dus }x_M=1\frac{1}{3}\)

○

Middelpunt \(M_1(1\frac{1}{3}, 5)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-1\frac{1}{3})^2+(y-5)^2=5\)

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=3x+1 \\ y_M=-5\end{rcases}\text{ geeft }3x+1=-5\text{ dus }x_M=-2\)
Middelpunt \(M_2(-2, -5)\) en straal \(r=5\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+2)^2+(y+5)^2=25\)