Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

vwo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (10)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M (5 , 4) \text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3 \text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x - 5)^{2} + (y - 4)^{2} = 9 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M (-1 , -4)\) en \(A (4 , 0) \text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(r = d(M , A) = \sqrt{(-1 - 4)^{2} + (-4 - 0)^{2}} = \sqrt{41} \text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x + 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 41 \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A (3 , 0)\) en \(B (-7 , -2) \text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus \(M ({1 \over 2} (3 + -7) , {1 \over 2} (0 + -2)) = M (-2 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(r = d(M , A) = \sqrt{(-2 - 3)^{2} + (-1 - 0)^{2}} = \sqrt{26} \text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 26 \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M (5 , -6) \text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x \text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(x \text{-}\)as, dus \(r = d(M , x \text{-as}) = 6 \text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x - 5)^{2} + (y + 6)^{2} = 36 \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M (0 , 7) \text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6 \text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,x^{2} + (y - 7)^{2} = 36 \text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 x - 14 y + 58 = 0 \text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + y^{2} + 10 x - 14 y + 58 = 0\) \((x + 5)^{2} - 25 + (y - 7)^{2} - 49 + 58 = 0\) \((x + 5)^{2} + (y - 7)^{2} = 16 \text{.}\) 1p ○ Dus \(M (-5 , 7)\) en \(r = \sqrt{16} = 4 \text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 5 x + 4 y - 9 = 0 \text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + y^{2} + 5 x + 4 y - 9 = 0\) \((x + 2\frac{1}{2})^{2} - 6\frac{1}{4} + (y + 2)^{2} - 4 - 9 = 0\) \((x + 2\frac{1}{2})^{2} + (y + 2)^{2} = 19\frac{1}{4} \text{.}\) 1p ○ Dus \(M (-2\frac{1}{2} , -2)\) en \(r = \sqrt{19\frac{1}{4}} \text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 4 y - 45 = 0 \text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + y^{2} - 4 y - 45 = 0\) \(x^{2} + (y - 2)^{2} - 4 - 45 = 0\) \(x^{2} + (y - 2)^{2} = 49 \text{.}\) 1p ○ Dus \(M (0 , 2)\) en \(r = \sqrt{49} = 7 \text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is het punt \(M (-6 , 0) \text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3 \text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 \text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x + 6)^{2} + y^{2} = 9 \text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^{2} + 12 x + 36 + y^{2} = 9\) en dus \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 12 x + 27 = 0 \text{.}\) 1p opgave 10 Er zijn twee cirkels \(c_{1}\) en \(c_{2}\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y = 5 x + 2\) ligt, die straal \(3\) hebben en die de \(y \text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_{1}\) als \(c_{2}\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ De cirkels raken de \(y \text{-}\)as en hebben straal \(3 \text{,}\) dus \(x_{M} = 3\) of \(x_{M} = -3 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 5 x + 2 \\ x_{M} = 3\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 5 ⋅ 3 + 2 = 17\) 1p ○ Middelpunt \(M_{1} (3 , 17)\) en straal \(r = 3 \text{,}\) dus \(c_{1}{:}\,(x - 3)^{2} + (y - 17)^{2} = 9\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y = 5 x + 2 \\ x_{M} = -3\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 5 ⋅ -3 + 2 = -13\) Middelpunt \(M_{2} (-3 , -13)\) en straal \(r = 3 \text{,}\) dus \(c_{2}{:}\,(x + 3)^{2} + (y + 13)^{2} = 9\) 1p

vwo wiskunde B

7.3 Cirkelvergelijkingen

De vergelijking van een cirkel (10)

opgave 1

Gegeven is het punt \(M (5 , 4) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3 \text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (1)

00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x - 5)^{2} + (y - 4)^{2} = 9 \text{.}\)

opgave 2

Gegeven zijn de punten \(M (-1 , -4)\) en \(A (4 , 0) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

MiddelpuntDoorPunt

00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(r = d(M , A) = \sqrt{(-1 - 4)^{2} + (-4 - 0)^{2}} = \sqrt{41} \text{.}\)

○

\(c{:}\,(x + 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 41 \text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(A (3 , 0)\) en \(B (-7 , -2) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)

Middellijn

00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus
\(M ({1 \over 2} (3 + -7) , {1 \over 2} (0 + -2)) = M (-2 , -1) \text{.}\)

○

\(r = d(M , A) = \sqrt{(-2 - 3)^{2} + (-1 - 0)^{2}} = \sqrt{26} \text{.}\)

○

\(c{:}\,(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 26 \text{.}\)

opgave 4

Gegeven is het punt \(M (5 , -6) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x \text{-}\)as.

MiddelpuntRaaktAanAs

00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x \text{-}\)as, dus \(r = d(M , x \text{-as}) = 6 \text{.}\)

○

\(c{:}\,(x - 5)^{2} + (y + 6)^{2} = 36 \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het punt \(M (0 , 7) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6 \text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (2)

00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,x^{2} + (y - 7)^{2} = 36 \text{.}\)

opgave 6

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 x - 14 y + 58 = 0 \text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (1)

00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 10 x - 14 y + 58 = 0\)
\((x + 5)^{2} - 25 + (y - 7)^{2} - 49 + 58 = 0\)
\((x + 5)^{2} + (y - 7)^{2} = 16 \text{.}\)

○

Dus \(M (-5 , 7)\) en \(r = \sqrt{16} = 4 \text{.}\)

opgave 7

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 5 x + 4 y - 9 = 0 \text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (2)

00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 5 x + 4 y - 9 = 0\)
\((x + 2\frac{1}{2})^{2} - 6\frac{1}{4} + (y + 2)^{2} - 4 - 9 = 0\)
\((x + 2\frac{1}{2})^{2} + (y + 2)^{2} = 19\frac{1}{4} \text{.}\)

○

Dus \(M (-2\frac{1}{2} , -2)\) en \(r = \sqrt{19\frac{1}{4}} \text{.}\)

opgave 8

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 4 y - 45 = 0 \text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (3)

00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 4 y - 45 = 0\)
\(x^{2} + (y - 2)^{2} - 4 - 45 = 0\)
\(x^{2} + (y - 2)^{2} = 49 \text{.}\)

○

Dus \(M (0 , 2)\) en \(r = \sqrt{49} = 7 \text{.}\)

opgave 9

Gegeven is het punt \(M (-6 , 0) \text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3 \text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 \text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (3)

00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x + 6)^{2} + y^{2} = 9 \text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} + 12 x + 36 + y^{2} = 9\)
en dus
\(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 12 x + 27 = 0 \text{.}\)

opgave 10

Er zijn twee cirkels \(c_{1}\) en \(c_{2}\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y = 5 x + 2\) ligt, die straal \(3\) hebben en die de \(y \text{-}\)as raken.

Stel van zowel \(c_{1}\) als \(c_{2}\) een vergelijking op.

MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs

00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

De cirkels raken de \(y \text{-}\)as en hebben straal \(3 \text{,}\) dus \(x_{M} = 3\) of \(x_{M} = -3 \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y = 5 x + 2 \\ x_{M} = 3\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 5 ⋅ 3 + 2 = 17\)

○

Middelpunt \(M_{1} (3 , 17)\) en straal \(r = 3 \text{,}\) dus
\(c_{1}{:}\,(x - 3)^{2} + (y - 17)^{2} = 9\)

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y = 5 x + 2 \\ x_{M} = -3\end{rcases} \text{ geeft } y_{M} = 5 ⋅ -3 + 2 = -13\)
Middelpunt \(M_{2} (-3 , -13)\) en straal \(r = 3 \text{,}\) dus
\(c_{2}{:}\,(x + 3)^{2} + (y + 13)^{2} = 9\)