Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Extremen met een parameter'.

vwo wiskunde B 1.3 Werken met parameters

Extremen met een parameter (3)

opgave 1

Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = -\frac{1}{2} x^{2} + p x - 4 \text{.}\)

3p

Bereken exact voor welke \(p\) het maximum \(14\) is.

TopVanParabool (1)
00sr - Extremen met een parameter - basis - 2ms - data pool: #306 (2ms)

○

\(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ -\frac{1}{2}} = p\)

1p

○

\(y_{\text{top}} = f_{p} (p)\)
\(\text{} = -\frac{1}{2} ⋅ p^{2} + p ⋅ p - 4\)
\(\text{} = -\frac{1}{2} ⋅ p^{2} + p^{2} - 4\)
\(\text{} = \frac{1}{2} p^{2} - 4\)

1p

○

(Het maximum is \(14\) geeft)
\(\frac{1}{2} p^{2} - 4 = 14\)
\(\frac{1}{2} p^{2} = 18\)
\(p^{2} = 36\)
\(p = 6 ∨ p = -6\)

1p

opgave 2

Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = -\frac{1}{4} x^{2} + p x - 2 \text{.}\)

4p

Bereken exact voor welke \(p\) de top van de grafiek van \(f_{p}\) op de lijn \(y = 3 x + 5\) ligt.

TopVanParabool (2)
00ss - Extremen met een parameter - basis - 17ms - data pool: #2639 (17ms)

○

\(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ -\frac{1}{4}} = 2 p\)

1p

○

\(y_{\text{top}} = f_{p} (2 p)\)
\(\text{} = -\frac{1}{4} ⋅ (2 p)^{2} + p ⋅ 2 p - 2\)
\(\text{} = -\frac{1}{4} ⋅ 4 p^{2} + 2 p^{2} - 2\)
\(\text{} = p^{2} - 2\)

1p

○

\(\begin{rcases}(2 p , p^{2} - 2) \\ y = 3 x + 5\end{rcases} \begin{matrix}p^{2} - 2 = 3 ⋅ 2 p + 5\end{matrix}\)

1p

○

\(p^{2} - 6 p - 7 = 0\)
\((p + 1) (p - 7) = 0\)
\(p = -1 ∨ p = 7\)

1p

opgave 3

Van de functie \(f_{p} (x) = p x^{2} - x + 2\) is de extreme waarde \(3 \text{.}\)

3p

a

Bereken exact de waarde van \(p \text{.}\)

1p

b

Is de extreme waarde een maximum of een minimum? Licht toe.

TopVanParabool (3)
00st - Extremen met een parameter - basis - 2ms - data pool: #364 (2ms)

a

\(x_{\text{top}} = {1 \over 2 ⋅ p} = {1 \over 2 p}\)

1p

○

\(y_{\text{top}} = f_{p} ({1 \over 2 p})\)
\(\text{} = p ⋅ ({1 \over 2 p})^{2} - 1 ⋅ {1 \over 2 p} + 2\)
\(\text{} = p ⋅ {1 \over 4 p^{2}} - {1 \over 2 p} + 2\)
\(\text{} = {1 \over 4 p} - {1 \over 2 p} + 2\)
\(\text{} = -{1 \over 4 p} + 2\)

1p

○

(De extreme waarde is \(3\) geeft)
\(-{1 \over 4 p} + 2 = 3\)
\(-{1 \over 4 p} = 1\)
\(4 p = {-1 \over 1} = -1\)
\(p = -\frac{1}{4}\)

1p

b

\(f_{-\frac{1}{4}} (x) = -\frac{1}{4} x^{2} - x + 2\)
De grafiek is een bergparabool, dus de extreme waarde is een maximum.

1p
"