Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Gelijkvormige driehoeken'.

vwo wiskunde B	3.1 Berekeningen in driehoeken
Gelijkvormige driehoeken (6)	opgave 1 Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=3\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=1\) en \(B\kern{-.8pt}C=7\text{.}\) 3p Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\) Gelijkvormigheid (1) 00ou - Gelijkvormige driehoeken - basis - 3ms - data pool: #102 (3ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\) 1p ○ \({3 \over 4}={D\kern{-.8pt}E \over 7}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(D\kern{-.8pt}E={3⋅7 \over 4}=5\frac{1}{4}\) 1p opgave 2 Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=4\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=9\) en \(C\kern{-.8pt}E=3\text{.}\) 4p Bereken \(B\kern{-.8pt}F\text{.}\) Gelijkvormigheid (3) 00ov - Gelijkvormige driehoeken - basis - 1ms ○ \(B\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-C\kern{-.8pt}E=9-3=6\text{.}\) 1p ○ \(\triangle C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\) geeft \({C\kern{-.8pt}D \over B\kern{-.8pt}F}={C\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}E}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ \({4 \over B\kern{-.8pt}F}={3 \over 6}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(B\kern{-.8pt}F={4⋅6 \over 3}=8\) 1p opgave 3 Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=4\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=2\) en \(B\kern{-.8pt}F=6\text{.}\) 4p Bereken \(C\kern{-.8pt}E\text{.}\) Gelijkvormigheid (4) 00ow - Gelijkvormige driehoeken - basis - 0ms ○ \(\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}D\) geeft \({B\kern{-.8pt}F \over A\kern{-.8pt}F}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}D}\) 1p ○ \({6 \over 10}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over 2}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(B\kern{-.8pt}E={6⋅2 \over 10}=1\frac{1}{5}\) 1p ○ \(C\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-B\kern{-.8pt}E=2-1\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=9\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=9\) en \(D\kern{-.8pt}E=4\text{.}\) 4p Bereken \(A\kern{-.8pt}D\text{.}\) GelijkvormigheidMetX (1) 00ox - Gelijkvormige driehoeken - basis - 4ms - data pool: #113 (3ms) ○ \(\triangle D\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}\) 1p ○ Neem \(A\kern{-.8pt}D=x\text{,}\) dan geldt \(A\kern{-.8pt}B=x+9\) en dus \({x \over x+9}={A\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={4 \over 9}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(9x=4(x+9)\) 1p ○ \(9x=4x+36\) \(5x=36\) \(x={36 \over 5}=7\frac{1}{5}\text{,}\) dus \(A\kern{-.8pt}D=7\frac{1}{5}\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=9\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=3\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=8\) en \(B\kern{-.8pt}E=4\text{.}\) 3p Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\) Gelijkvormigheid (2) 00pd - Gelijkvormige driehoeken - basis - 21ms - data pool: #201 (20ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C∼\triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E}={B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D}={A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ \({12 \over 4}={8 \over D\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(D\kern{-.8pt}E={4⋅8 \over 12}=2\frac{2}{3}\) 1p opgave 6 Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=8\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=6\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=3\) en \(C\kern{-.8pt}E=5\text{.}\) 5p Bereken \(B\kern{-.8pt}E\text{.}\) GelijkvormigheidMetX (2) 00pe - Gelijkvormige driehoeken - basis - 20ms - data pool: #201 (20ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C∼\triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E}={B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D}={A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ Neem \(B\kern{-.8pt}E=x\text{,}\) dan geldt \(B\kern{-.8pt}C=x+5\) en dus \({14 \over x}={x+5 \over 6}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(x(x+5)=84\) 1p ○ \(x^2+5x-84=0\) \((x-7)(x+12)=0\) \(x=7∨x=-12\) 1p ○ [Een lengte is altijd positief, dus] \(B\kern{-.8pt}E=7\text{.}\) 1p

3.1 Berekeningen in driehoeken

Gelijkvormige driehoeken (6)

opgave 1

Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=3\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=1\) en \(B\kern{-.8pt}C=7\text{.}\)

Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\)

Gelijkvormigheid (1)

00ou - Gelijkvormige driehoeken - basis - 3ms - data pool: #102 (3ms)

○

\(\triangle A\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\)

○

\({3 \over 4}={D\kern{-.8pt}E \over 7}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(D\kern{-.8pt}E={3⋅7 \over 4}=5\frac{1}{4}\)

opgave 2

Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=4\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=9\) en \(C\kern{-.8pt}E=3\text{.}\)

Bereken \(B\kern{-.8pt}F\text{.}\)

Gelijkvormigheid (3)

00ov - Gelijkvormige driehoeken - basis - 1ms

○

\(B\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-C\kern{-.8pt}E=9-3=6\text{.}\)

○

\(\triangle C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\) geeft \({C\kern{-.8pt}D \over B\kern{-.8pt}F}={C\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}E}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\)

○

\({4 \over B\kern{-.8pt}F}={3 \over 6}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(B\kern{-.8pt}F={4⋅6 \over 3}=8\)

opgave 3

Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=4\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=2\) en \(B\kern{-.8pt}F=6\text{.}\)

Bereken \(C\kern{-.8pt}E\text{.}\)

Gelijkvormigheid (4)

00ow - Gelijkvormige driehoeken - basis - 0ms

○

\(\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}D\) geeft \({B\kern{-.8pt}F \over A\kern{-.8pt}F}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}D}\)

○

\({6 \over 10}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over 2}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(B\kern{-.8pt}E={6⋅2 \over 10}=1\frac{1}{5}\)

○

\(C\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-B\kern{-.8pt}E=2-1\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\text{.}\)

opgave 4

Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=9\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=9\) en \(D\kern{-.8pt}E=4\text{.}\)

Bereken \(A\kern{-.8pt}D\text{.}\)

GelijkvormigheidMetX (1)

00ox - Gelijkvormige driehoeken - basis - 4ms - data pool: #113 (3ms)

○

\(\triangle D\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}\)

○

Neem \(A\kern{-.8pt}D=x\text{,}\) dan geldt \(A\kern{-.8pt}B=x+9\) en dus
\({x \over x+9}={A\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={4 \over 9}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(9x=4(x+9)\)

○

\(9x=4x+36\)
\(5x=36\)
\(x={36 \over 5}=7\frac{1}{5}\text{,}\) dus \(A\kern{-.8pt}D=7\frac{1}{5}\text{.}\)

opgave 5

Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=9\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=3\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=8\) en \(B\kern{-.8pt}E=4\text{.}\)

Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\)

Gelijkvormigheid (2)

00pd - Gelijkvormige driehoeken - basis - 21ms - data pool: #201 (20ms)

○

\(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C∼\triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E}={B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D}={A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\)

○

\({12 \over 4}={8 \over D\kern{-.8pt}E}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(D\kern{-.8pt}E={4⋅8 \over 12}=2\frac{2}{3}\)

opgave 6

Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=8\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=6\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=3\) en \(C\kern{-.8pt}E=5\text{.}\)

Bereken \(B\kern{-.8pt}E\text{.}\)

GelijkvormigheidMetX (2)

00pe - Gelijkvormige driehoeken - basis - 20ms - data pool: #201 (20ms)

○

Neem \(B\kern{-.8pt}E=x\text{,}\) dan geldt \(B\kern{-.8pt}C=x+5\) en dus
\({14 \over x}={x+5 \over 6}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(x(x+5)=84\)

○

\(x^2+5x-84=0\)
\((x-7)(x+12)=0\)
\(x=7∨x=-12\)

○

[Een lengte is altijd positief, dus] \(B\kern{-.8pt}E=7\text{.}\)