Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Gelijkvormige driehoeken'.

vwo wiskunde B	3.1 Berekeningen in driehoeken
Gelijkvormige driehoeken (6)	opgave 1 Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=2\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=1\) en \(B\kern{-.8pt}C=8\text{.}\) 3p Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\) Gelijkvormigheid (1) 00ou - Gelijkvormige driehoeken - basis - 2ms - data pool: #102 (2ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) 1p ○ \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\) geeft \({2 \over 3}={D\kern{-.8pt}E \over 8}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\) 1p ○ \(D\kern{-.8pt}E={2⋅8 \over 3}=5\frac{1}{3}\) 1p opgave 2 Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=2\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=9\) en \(C\kern{-.8pt}E=5\text{.}\) 4p Bereken \(B\kern{-.8pt}F\text{.}\) Gelijkvormigheid (3) 00ov - Gelijkvormige driehoeken - basis - 1ms ○ \(B\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-C\kern{-.8pt}E=9-5=4\text{.}\) 1p ○ \(\triangle C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\) 1p ○ \({C\kern{-.8pt}D \over B\kern{-.8pt}F}={C\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}E}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\) geeft \({2 \over B\kern{-.8pt}F}={5 \over 4}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}F={2⋅4 \over 5}=1\frac{3}{5}\) 1p opgave 3 Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=6\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=4\) en \(B\kern{-.8pt}F=3\text{.}\) 4p Bereken \(C\kern{-.8pt}E\text{.}\) Gelijkvormigheid (4) 00ow - Gelijkvormige driehoeken - basis - 0ms ○ \(\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}D\) 1p ○ \({B\kern{-.8pt}F \over A\kern{-.8pt}F}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}D}\) geeft \({3 \over 9}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over 4}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}E={3⋅4 \over 9}=1\frac{1}{3}\) 1p ○ \(C\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-B\kern{-.8pt}E=4-1\frac{1}{3}=2\frac{2}{3}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=10\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=6\) en \(D\kern{-.8pt}E=4\text{.}\) 4p Bereken \(A\kern{-.8pt}D\text{.}\) GelijkvormigheidMetX (1) 00ox - Gelijkvormige driehoeken - basis - 3ms - data pool: #113 (3ms) ○ \(\triangle D\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}C\) 1p ○ \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}\) geeft \({x \over x+6}={A\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={4 \over 10}\) 1p ○ \(10x=4(x+6)\) 1p ○ \(10x=4x+24\) \(6x=24\) \(x={24 \over 6}=4\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=4\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=2\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=7\) en \(B\kern{-.8pt}E=1\text{.}\) 3p Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\) Gelijkvormigheid (2) 00pd - Gelijkvormige driehoeken - basis - 26ms - data pool: #201 (26ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C∼\triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) 1p ○ \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E}={B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D}={A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) geeft \({4+2 \over 1}={7 \over D\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ \(D\kern{-.8pt}E={1⋅7 \over 6}=1\frac{1}{6}\) 1p opgave 6 Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=9\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=5\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=11\) en \(C\kern{-.8pt}E=3\text{.}\) 4p Bereken \(B\kern{-.8pt}E\text{.}\) GelijkvormigheidMetX (2) 00pe - Gelijkvormige driehoeken - basis - 26ms - data pool: #201 (26ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C∼\triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) 1p ○ \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E}={B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D}={A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) geeft \({9+5 \over x}={x+3 \over 5}\) 1p ○ \(x(x+3)=70\) \(x^2+3x-70=0\) \((x-7)(x+10)=0\) \(x=7∨x=-10\) 1p ○ [Een lengte is altijd positief, dus] \(B\kern{-.8pt}E=7\text{.}\) 1p

3.1 Berekeningen in driehoeken

Gelijkvormige driehoeken (6)

opgave 1

Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=2\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=1\) en \(B\kern{-.8pt}C=8\text{.}\)

Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\)

Gelijkvormigheid (1)

00ou - Gelijkvormige driehoeken - basis - 2ms - data pool: #102 (2ms)

○

\(\triangle A\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\)

○

\({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\) geeft \({2 \over 3}={D\kern{-.8pt}E \over 8}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\)

○

\(D\kern{-.8pt}E={2⋅8 \over 3}=5\frac{1}{3}\)

opgave 2

Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=2\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=9\) en \(C\kern{-.8pt}E=5\text{.}\)

Bereken \(B\kern{-.8pt}F\text{.}\)

Gelijkvormigheid (3)

00ov - Gelijkvormige driehoeken - basis - 1ms

○

\(B\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-C\kern{-.8pt}E=9-5=4\text{.}\)

○

\(\triangle C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\)

○

\({C\kern{-.8pt}D \over B\kern{-.8pt}F}={C\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}E}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\) geeft \({2 \over B\kern{-.8pt}F}={5 \over 4}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\)

○

\(B\kern{-.8pt}F={2⋅4 \over 5}=1\frac{3}{5}\)

opgave 3

Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=6\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=4\) en \(B\kern{-.8pt}F=3\text{.}\)

Bereken \(C\kern{-.8pt}E\text{.}\)

Gelijkvormigheid (4)

00ow - Gelijkvormige driehoeken - basis - 0ms

○

\(\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}D\)

○

\({B\kern{-.8pt}F \over A\kern{-.8pt}F}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}D}\) geeft \({3 \over 9}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over 4}\)

○

\(B\kern{-.8pt}E={3⋅4 \over 9}=1\frac{1}{3}\)

○

\(C\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-B\kern{-.8pt}E=4-1\frac{1}{3}=2\frac{2}{3}\text{.}\)

opgave 4

Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=10\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=6\) en \(D\kern{-.8pt}E=4\text{.}\)

Bereken \(A\kern{-.8pt}D\text{.}\)

GelijkvormigheidMetX (1)

00ox - Gelijkvormige driehoeken - basis - 3ms - data pool: #113 (3ms)

○

\(\triangle D\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}C\)

○

\({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}\) geeft \({x \over x+6}={A\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={4 \over 10}\)

○

\(10x=4(x+6)\)

○

\(10x=4x+24\)
\(6x=24\)
\(x={24 \over 6}=4\text{.}\)

opgave 5

Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=4\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=2\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=7\) en \(B\kern{-.8pt}E=1\text{.}\)

Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\)

Gelijkvormigheid (2)

00pd - Gelijkvormige driehoeken - basis - 26ms - data pool: #201 (26ms)

○

\(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C∼\triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\)

○

\({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E}={B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D}={A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) geeft \({4+2 \over 1}={7 \over D\kern{-.8pt}E}\)

○

\(D\kern{-.8pt}E={1⋅7 \over 6}=1\frac{1}{6}\)

opgave 6

Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=9\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=5\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=11\) en \(C\kern{-.8pt}E=3\text{.}\)

Bereken \(B\kern{-.8pt}E\text{.}\)

GelijkvormigheidMetX (2)

00pe - Gelijkvormige driehoeken - basis - 26ms - data pool: #201 (26ms)

○

\(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C∼\triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\)

○

\({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E}={B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D}={A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) geeft \({9+5 \over x}={x+3 \over 5}\)

○

\(x(x+3)=70\)
\(x^2+3x-70=0\)
\((x-7)(x+10)=0\)
\(x=7∨x=-10\)

○

[Een lengte is altijd positief, dus] \(B\kern{-.8pt}E=7\text{.}\)