Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Goniometrische vergelijkingen'.

vwo wiskunde B 8.3 Goniometrische vergelijkingen

Goniometrische vergelijkingen (7)

opgave 1

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

3p

a

\(\sin(4x)=0\)

ExacteWaarde (0)
004f - Goniometrische vergelijkingen - basis - dynamic variables

a

De exacte waardencirkel geeft
\(4x=k⋅\pi \)

1p

○

\(4x=k⋅\pi \)
\(x=k⋅\frac{1}{4}\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=0∨x=\frac{1}{4}\pi ∨x=\frac{1}{2}\pi ∨x=\frac{3}{4}\pi ∨x=\pi ∨x=1\frac{1}{4}\pi ∨x=1\frac{1}{2}\pi ∨x=1\frac{3}{4}\pi ∨x=2\pi \)

1p

4p

b

\(-2\sin(1\frac{1}{2}t+\frac{5}{6}\pi )=1\)

ExacteWaarde (1)
004g - Goniometrische vergelijkingen - basis - dynamic variables

b

Balansmethode geeft \(\sin(1\frac{1}{2}t+\frac{5}{6}\pi )=-\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(1\frac{1}{2}t+\frac{5}{6}\pi =-\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi ∨1\frac{1}{2}t+\frac{5}{6}\pi =-\frac{5}{6}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(1\frac{1}{2}t=-\pi +k⋅2\pi ∨1\frac{1}{2}t=-1\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(t=-\frac{2}{3}\pi +k⋅1\frac{1}{3}\pi ∨t=-1\frac{1}{9}\pi +k⋅1\frac{1}{3}\pi \)

1p

○

\(t\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(t=\frac{2}{3}\pi ∨t=2\pi ∨t=\frac{2}{9}\pi ∨t=1\frac{5}{9}\pi \)

1p

4p

c

\(-5\cos(\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}\pi )=-2\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

ExacteWaarde (2)
004h - Goniometrische vergelijkingen - basis - dynamic variables

c

Balansmethode geeft \(\cos(\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}\pi )=\frac{1}{2}\sqrt{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}\pi =\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}\pi =1\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{2}{3}t=\frac{7}{12}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{2}{3}t=2\frac{1}{12}\pi +k⋅2\pi \)
\(t=\frac{7}{8}\pi +k⋅3\pi ∨t=3\frac{1}{8}\pi +k⋅3\pi \)

1p

○

\(t\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(t=\frac{7}{8}\pi ∨t=\frac{1}{8}\pi \)

1p

4p

d

\(-4\sin(\frac{3}{4}x-\frac{1}{3}\pi )=-2\sqrt{3}\)

ExacteWaarde (3)
006x - Goniometrische vergelijkingen - basis - dynamic variables

d

Balansmethode geeft \(\sin(\frac{3}{4}x-\frac{1}{3}\pi )=\frac{1}{2}\sqrt{3}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{3}{4}x-\frac{1}{3}\pi =\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{3}{4}x-\frac{1}{3}\pi =\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{3}{4}x=\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{3}{4}x=\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{8}{9}\pi +k⋅2\frac{2}{3}\pi ∨x=1\frac{1}{3}\pi +k⋅2\frac{2}{3}\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{8}{9}\pi ∨x=1\frac{1}{3}\pi \)

1p

opgave 2

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

4p

\(-5-2\cos(2\pi q)=-3\)

ExacteWaarde (4)
006y - Goniometrische vergelijkingen - basis - dynamic variables

○

Balansmethode geeft \(-2\cos(2\pi q)=2\) dus \(\cos(2\pi q)=-1\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(2\pi q=\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(2\pi q=\pi +k⋅2\pi \)
\(q=\frac{1}{2}+k⋅1\)

1p

○

\(q\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(q=\frac{1}{2}∨q=1\frac{1}{2}∨q=2\frac{1}{2}∨q=3\frac{1}{2}∨q=4\frac{1}{2}∨q=5\frac{1}{2}\)

1p

opgave 3

Los exact op.

3p

a

\(\cos^2(4x+\frac{1}{2}\pi )=1\)

Kwadraat
006z - Goniometrische vergelijkingen - basis - dynamic variables

a

\(\cos(4x+\frac{1}{2}\pi )=1∨\cos(4x+\frac{1}{2}\pi )=-1\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(4x+\frac{1}{2}\pi =k⋅2\pi ∨4x+\frac{1}{2}\pi =\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(4x=-\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi ∨4x=\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=-\frac{1}{8}\pi +k⋅\frac{1}{2}\pi ∨x=\frac{1}{8}\pi +k⋅\frac{1}{2}\pi \)

1p

3p

b

\(1\frac{3}{4}\sin(2x-\frac{1}{4}\pi )\sin(2x-\frac{2}{5}\pi )=0\)

ProductIsNul
0070 - Goniometrische vergelijkingen - basis - dynamic variables

b

\(\sin(2x-\frac{1}{4}\pi )=0∨\sin(2x-\frac{2}{5}\pi )=0\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(2x-\frac{1}{4}\pi =k⋅\pi ∨2x-\frac{2}{5}\pi =k⋅\pi \)

1p

○

\(2x=\frac{1}{4}\pi +k⋅\pi ∨2x=\frac{2}{5}\pi +k⋅\pi \)
\(x=\frac{1}{8}\pi +k⋅\frac{1}{2}\pi ∨x=\frac{1}{5}\pi +k⋅\frac{1}{2}\pi \)

1p
"