Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Goniometrische vergelijkingen'.

vwo wiskunde B 8.3 Goniometrische vergelijkingen

Goniometrische vergelijkingen (7)

opgave 1

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

3p

a

\(\cos(\frac{4}{5}t-\frac{1}{2}\pi )=0\)

ExacteWaarde (0)
004f - Goniometrische vergelijkingen - basis - 41ms - dynamic variables

a

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{4}{5}t-\frac{1}{2}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(\frac{4}{5}t=\pi +k⋅\pi \)
\(t=1\frac{1}{4}\pi +k⋅1\frac{1}{4}\pi \)

1p

○

\(t\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(t=1\frac{1}{4}\pi ∨t=0\)

1p

4p

b

\(-4\sin(\frac{3}{4}t-\frac{1}{3}\pi )=-2\)

ExacteWaarde (1)
004g - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

Balansmethode geeft \(\sin(\frac{3}{4}t-\frac{1}{3}\pi )=\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{3}{4}t-\frac{1}{3}\pi =\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{3}{4}t-\frac{1}{3}\pi =\frac{5}{6}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{3}{4}t=\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{3}{4}t=1\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi \)
\(t=\frac{2}{3}\pi +k⋅2\frac{2}{3}\pi ∨t=1\frac{5}{9}\pi +k⋅2\frac{2}{3}\pi \)

1p

○

\(t\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(t=\frac{2}{3}\pi ∨t=1\frac{5}{9}\pi \)

1p

4p

c

\(3\cos(\frac{2}{3}q+\frac{1}{4}\pi )=-1\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

ExacteWaarde (2)
004h - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

c

Balansmethode geeft \(\cos(\frac{2}{3}q+\frac{1}{4}\pi )=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{2}{3}q+\frac{1}{4}\pi =\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{2}{3}q+\frac{1}{4}\pi =1\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{2}{3}q=\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{2}{3}q=\pi +k⋅2\pi \)
\(q=\frac{3}{4}\pi +k⋅3\pi ∨q=1\frac{1}{2}\pi +k⋅3\pi \)

1p

○

\(q\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(q=\frac{3}{4}\pi ∨q=1\frac{1}{2}\pi \)

1p

4p

d

\(2\sin(\frac{1}{2}\pi x-\frac{1}{4}\pi )=\sqrt{3}\)

ExacteWaarde (3)
006x - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

d

Balansmethode geeft \(\sin(\frac{1}{2}\pi x-\frac{1}{4}\pi )=\frac{1}{2}\sqrt{3}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{1}{2}\pi x-\frac{1}{4}\pi =\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{1}{2}\pi x-\frac{1}{4}\pi =\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{1}{2}\pi x=\frac{7}{12}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{1}{2}\pi x=\frac{11}{12}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=1\frac{1}{6}+k⋅4∨x=1\frac{5}{6}+k⋅4\)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=1\frac{1}{6}∨x=5\frac{1}{6}∨x=1\frac{5}{6}∨x=5\frac{5}{6}\)

1p

opgave 2

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

4p

\(-5+3\sin(2x-\frac{3}{4}\pi )=-2\)

ExacteWaarde (4)
006y - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

○

Balansmethode geeft \(3\sin(2x-\frac{3}{4}\pi )=3\) dus \(\sin(2x-\frac{3}{4}\pi )=1\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(2x-\frac{3}{4}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(2x=1\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{5}{8}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{5}{8}\pi ∨x=1\frac{5}{8}\pi \)

1p

opgave 3

Los exact op.

3p

a

\(\sin^2(2x-\frac{3}{4}\pi )=1\)

Kwadraat
006z - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

a

\(\sin(2x-\frac{3}{4}\pi )=1∨\sin(2x-\frac{3}{4}\pi )=-1\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(2x-\frac{3}{4}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi ∨2x-\frac{3}{4}\pi =1\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(2x=1\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨2x=2\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{5}{8}\pi +k⋅\pi ∨x=1\frac{1}{8}\pi +k⋅\pi \)

1p

3p

b

\(1\frac{1}{8}\cos(\frac{2}{3}t+\frac{1}{2}\pi )\cos(1\frac{1}{2}t-\frac{1}{6}\pi )=0\)

ProductIsNul
0070 - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(\cos(\frac{2}{3}t+\frac{1}{2}\pi )=0∨\cos(1\frac{1}{2}t-\frac{1}{6}\pi )=0\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{2}{3}t+\frac{1}{2}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi ∨1\frac{1}{2}t-\frac{1}{6}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(\frac{2}{3}t=k⋅\pi ∨1\frac{1}{2}t=\frac{2}{3}\pi +k⋅\pi \)
\(t=k⋅1\frac{1}{2}\pi ∨t=\frac{4}{9}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

1p
"