Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Goniometrische vergelijkingen'.

vwo wiskunde B 8.3 Goniometrische vergelijkingen

Goniometrische vergelijkingen (7)

opgave 1

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

3p

a

\(\cos(2x-\frac{2}{3}\pi )=0\)

ExacteWaarde (0)
004f - Goniometrische vergelijkingen - basis - 52ms - dynamic variables

a

De exacte waardencirkel geeft
\(2x-\frac{2}{3}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(2x=1\frac{1}{6}\pi +k⋅\pi \)
\(x=\frac{7}{12}\pi +k⋅\frac{1}{2}\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{7}{12}\pi ∨x=\frac{1}{12}\pi ∨x=1\frac{1}{12}\pi ∨x=1\frac{7}{12}\pi \)

1p

4p

b

\(-5\cos(2q-\frac{1}{3}\pi )=2\frac{1}{2}\)

ExacteWaarde (1)
004g - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

b

Balansmethode geeft \(\cos(2q-\frac{1}{3}\pi )=-\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(2q-\frac{1}{3}\pi =\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨2q-\frac{1}{3}\pi =-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(2q=\pi +k⋅2\pi ∨2q=-\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(q=\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi ∨q=-\frac{1}{6}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(q\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(q=\frac{1}{2}\pi ∨q=1\frac{1}{2}\pi ∨q=\frac{5}{6}\pi ∨q=1\frac{5}{6}\pi \)

1p

4p

c

\(3\sin(3x-\frac{1}{2}\pi )=-1\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

ExacteWaarde (2)
004h - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

c

Balansmethode geeft \(\sin(3x-\frac{1}{2}\pi )=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(3x-\frac{1}{2}\pi =1\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨3x-\frac{1}{2}\pi =1\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(3x=1\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi ∨3x=2\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{7}{12}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi ∨x=\frac{3}{4}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{7}{12}\pi ∨x=1\frac{1}{4}\pi ∨x=1\frac{11}{12}\pi ∨x=\frac{3}{4}\pi ∨x=\frac{1}{12}\pi ∨x=1\frac{5}{12}\pi \)

1p

4p

d

\(-2\cos(2x-\frac{5}{6}\pi )=-\sqrt{3}\)

ExacteWaarde (3)
006x - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

d

Balansmethode geeft \(\cos(2x-\frac{5}{6}\pi )=\frac{1}{2}\sqrt{3}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(2x-\frac{5}{6}\pi =\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi ∨2x-\frac{5}{6}\pi =-\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(2x=\pi +k⋅2\pi ∨2x=\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi ∨x=\frac{1}{3}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{1}{2}\pi ∨x=1\frac{1}{2}\pi ∨x=\frac{1}{3}\pi ∨x=1\frac{1}{3}\pi \)

1p

opgave 2

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

4p

\(-5-3\sin(2q+\frac{5}{6}\pi )=-2\)

ExacteWaarde (4)
006y - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

○

Balansmethode geeft \(-3\sin(2q+\frac{5}{6}\pi )=3\) dus \(\sin(2q+\frac{5}{6}\pi )=-1\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(2q+\frac{5}{6}\pi =1\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(2q=\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(q=\frac{1}{3}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(q\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(q=\frac{1}{3}\pi ∨q=1\frac{1}{3}\pi \)

1p

opgave 3

Los exact op.

3p

a

\(\sin^2(2x)=1\)

Kwadraat
006z - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

a

\(\sin(2x)=1∨\sin(2x)=-1\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(2x=\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi ∨2x=1\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(2x=\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi ∨2x=1\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{1}{4}\pi +k⋅\pi ∨x=\frac{3}{4}\pi +k⋅\pi \)

1p

3p

b

\(\frac{8}{9}\sin(3x-\frac{2}{5}\pi )\cos(\frac{3}{4}x-\frac{3}{5}\pi )=0\)

ProductIsNul
0070 - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(\sin(3x-\frac{2}{5}\pi )=0∨\cos(\frac{3}{4}x-\frac{3}{5}\pi )=0\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(3x-\frac{2}{5}\pi =k⋅\pi ∨\frac{3}{4}x-\frac{3}{5}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(3x=\frac{2}{5}\pi +k⋅\pi ∨\frac{3}{4}x=1\frac{1}{10}\pi +k⋅\pi \)
\(x=\frac{2}{15}\pi +k⋅\frac{1}{3}\pi ∨x=1\frac{7}{15}\pi +k⋅1\frac{1}{3}\pi \)

1p
"