Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Parameterkrommen'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Parameterkrommen (7)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=3t^3-12t \\ y(t)=t^2+2t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x\text{-}\)as. SnijpuntenXas 00qo - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ Snijpunt met de \(x\text{-}\)as betekent \(y(t)=0\text{,}\) dit geeft \(t^2+2t=0\) 1p ○ [Oplossen geeft] \(t(t+2)=0\) \(t=0∨t=-2\) 1p ○ [De snijpunten met de \(x\text{-}\)as zijn dan] \(t=0\) geeft \(x(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\) \(t=-2\) geeft \(x(-2)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-\frac{1}{2}t^2-t \\ y(t)=\frac{2}{3}t^3-8t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((-4, -10\frac{2}{3})\text{.}\) ZelfsnijpuntAantonen 00qp - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ [Oplossen van \(x(t)=-4\) geeft] \(-\frac{1}{2}t^2-t=-4\) \(-\frac{1}{2}t^2-t+4=0\) \(t^2+2t-8=0\) \((t+4)(t-2)=0\) \(t=-4∨t=2\) 1p ○ \(y(-4)=-10\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(t=-4\) geeft het punt \((-4, -10\frac{2}{3})\text{.}\) 1p ○ \(y(2)=-10\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(t=2\) geeft ook het punt \((-4, -10\frac{2}{3})\text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt. 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=3t^2-6t \\ y(t)=-1\frac{1}{3}t^3+9t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y\text{-}\)as. EvenwijdigMetAs (1) 00qq - Parameterkrommen - basis - 1ms ○ \(x'(t)=6t-6\) \(y'(t)=-4t^2+9\) 1p ○ [Evenwijdig met de y-as, dus] \(x'(t)=0\) \(6t-6=0\) \(6t=6\) \(t=1\) 1p ○ \(y'(1)=5≠0\text{,}\) dus voor \(t=1\) is de baan evenwijdig aan de \(y\text{-}\)as in het punt \((-3, 7\frac{2}{3})\text{.}\) 1p opgave 4 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=\frac{1}{3}t^3-7t \\ y(t)=-\frac{3}{4}t^2-3t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. De baan snijdt zichzelf voor \(t=-5\) en voor \(t=1\) in het punt \((-6\frac{2}{3}, -3\frac{3}{4})\text{.}\) 5p Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal. HoekInZelfsnijpunt 00qr - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t)=t^2-7\) \(y'(t)=-1\frac{1}{2}t-3\) 1p ○ \(\overrightarrow{v}(-5)=\begin{pmatrix}x'(-5) \\ y'(-5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{v}(1)=\begin{pmatrix}x'(1) \\ y'(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6 \\ -4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\cos(\varphi )={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}18 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}-6 \\ -4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}18 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-6 \\ -4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={128{,}25 \over \sqrt{344\frac{1}{4}}⋅\sqrt{56\frac{1}{4}}}\) 1p ○ \(\varphi =\cos^{-1}({128{,}25 \over \sqrt{344\frac{1}{4}}⋅\sqrt{56\frac{1}{4}}})≈22{,}8\degree\) 1p opgave 5 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-t^3+4t \\ y(t)=2\frac{1}{2}t^2-5t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y\text{-}\)as. SnijpuntenYas 00qs - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ Snijpunt met de \(y\text{-}\)as betekent \(x(t)=0\text{,}\) dit geeft \(-t^3+4t=0\) 1p ○ [Oplossen geeft] \(t(-t^2+4)=0\) \(t=0∨-t^2+4=0\) \(t=0∨t^2-4=0\) \(t=0∨t^2=4\) \(t=0∨t=-2∨t=2\) 1p ○ [De snijpunten met de \(y\text{-}\)as zijn dan] \(t=0\) geeft \(y(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\) \(t=-2\) geeft \(y(-2)=20\text{,}\) dus \((0, 20)\) \(t=2\) geeft \(y(2)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\) 1p opgave 6 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=3t^2-9t \\ y(t)=-1\frac{1}{3}t^3+9t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x\text{-}\)as. EvenwijdigMetAs (2) 00qt - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t)=6t-9\) \(y'(t)=-4t^2+9\) 1p ○ [Evenwijdig met de x-as, dus] \(y'(t)=0\) \(-4t^2+9=0\) \(4t^2-9=0\) \(4t^2=9\) \(t^2=2\frac{1}{4}\) \(t=-1\frac{1}{2}∨t=1\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x'(-1\frac{1}{2})=-18≠0\text{,}\) dus voor \(t=-1\frac{1}{2}\) is de baan evenwijdig aan de \(x\text{-}\)as in het punt \((20\frac{1}{4}, -9)\text{.}\) 1p ○ \(x'(1\frac{1}{2})=0\text{,}\) dus voor \(t=1\frac{1}{2}\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((-6\frac{3}{4}, 9)\text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(x\text{-}\)as. 1p opgave 7 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-t^3+7t \\ y(t)=-1\frac{1}{2}t^2+3t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 5p Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t=-2\text{.}\) RaaklijnOpstellen 00qu - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t)=-3t^2+7\) \(y'(t)=-3t+3\) 1p ○ \(t=-2\) geeft het punt \((-6, -12)\text{.}\) 1p ○ [Voor de richtingsvector van \(l\) geldt] \(\overrightarrow{r}_l=\overrightarrow{v}(-2)=\begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 \\ 9\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ [Hieruit volgt] \(\overrightarrow{n}_l=\begin{pmatrix}9 \\ 5\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l{:}\,9x+5y=c\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}l{:}\,9x+5y=c \\ \text{door }(-6, -12)\end{rcases}\begin{matrix}c=9⋅-6+5⋅-12=-114\end{matrix}\) Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,9x+5y=-114\text{.}\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Parameterkrommen (7)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=3t^3-12t \\ y(t)=t^2+2t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x\text{-}\)as.

SnijpuntenXas

00qo - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

Snijpunt met de \(x\text{-}\)as betekent \(y(t)=0\text{,}\) dit geeft
\(t^2+2t=0\)

○

[Oplossen geeft]
\(t(t+2)=0\)
\(t=0∨t=-2\)

○

[De snijpunten met de \(x\text{-}\)as zijn dan]
\(t=0\) geeft \(x(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)
\(t=-2\) geeft \(x(-2)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-\frac{1}{2}t^2-t \\ y(t)=\frac{2}{3}t^3-8t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((-4, -10\frac{2}{3})\text{.}\)

ZelfsnijpuntAantonen

00qp - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

[Oplossen van \(x(t)=-4\) geeft]
\(-\frac{1}{2}t^2-t=-4\)
\(-\frac{1}{2}t^2-t+4=0\)
\(t^2+2t-8=0\)
\((t+4)(t-2)=0\)
\(t=-4∨t=2\)

○

\(y(-4)=-10\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(t=-4\) geeft het punt \((-4, -10\frac{2}{3})\text{.}\)

○

\(y(2)=-10\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(t=2\) geeft ook het punt \((-4, -10\frac{2}{3})\text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=3t^2-6t \\ y(t)=-1\frac{1}{3}t^3+9t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y\text{-}\)as.

EvenwijdigMetAs (1)

00qq - Parameterkrommen - basis - 1ms

○

\(x'(t)=6t-6\)
\(y'(t)=-4t^2+9\)

○

[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t)=0\)
\(6t-6=0\)
\(6t=6\)
\(t=1\)

○

\(y'(1)=5≠0\text{,}\) dus voor \(t=1\) is de baan evenwijdig aan de \(y\text{-}\)as in het punt \((-3, 7\frac{2}{3})\text{.}\)

opgave 4

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=\frac{1}{3}t^3-7t \\ y(t)=-\frac{3}{4}t^2-3t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

De baan snijdt zichzelf voor \(t=-5\) en voor \(t=1\) in het punt \((-6\frac{2}{3}, -3\frac{3}{4})\text{.}\)

Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.

HoekInZelfsnijpunt

00qr - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t)=t^2-7\)
\(y'(t)=-1\frac{1}{2}t-3\)

○

\(\overrightarrow{v}(-5)=\begin{pmatrix}x'(-5) \\ y'(-5)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)

○

\(\overrightarrow{v}(1)=\begin{pmatrix}x'(1) \\ y'(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6 \\ -4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)

○

\(\cos(\varphi )={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}18 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}-6 \\ -4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}18 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-6 \\ -4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={128{,}25 \over \sqrt{344\frac{1}{4}}⋅\sqrt{56\frac{1}{4}}}\)

○

\(\varphi =\cos^{-1}({128{,}25 \over \sqrt{344\frac{1}{4}}⋅\sqrt{56\frac{1}{4}}})≈22{,}8\degree\)

opgave 5

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-t^3+4t \\ y(t)=2\frac{1}{2}t^2-5t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y\text{-}\)as.

SnijpuntenYas

00qs - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

Snijpunt met de \(y\text{-}\)as betekent \(x(t)=0\text{,}\) dit geeft
\(-t^3+4t=0\)

○

[Oplossen geeft]
\(t(-t^2+4)=0\)
\(t=0∨-t^2+4=0\)
\(t=0∨t^2-4=0\)
\(t=0∨t^2=4\)
\(t=0∨t=-2∨t=2\)

○

[De snijpunten met de \(y\text{-}\)as zijn dan]
\(t=0\) geeft \(y(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)
\(t=-2\) geeft \(y(-2)=20\text{,}\) dus \((0, 20)\)
\(t=2\) geeft \(y(2)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)

opgave 6

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=3t^2-9t \\ y(t)=-1\frac{1}{3}t^3+9t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x\text{-}\)as.

EvenwijdigMetAs (2)

00qt - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t)=6t-9\)
\(y'(t)=-4t^2+9\)

○

[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t)=0\)
\(-4t^2+9=0\)
\(4t^2-9=0\)
\(4t^2=9\)
\(t^2=2\frac{1}{4}\)
\(t=-1\frac{1}{2}∨t=1\frac{1}{2}\)

○

\(x'(-1\frac{1}{2})=-18≠0\text{,}\) dus voor \(t=-1\frac{1}{2}\) is de baan evenwijdig aan de \(x\text{-}\)as in het punt \((20\frac{1}{4}, -9)\text{.}\)

○

\(x'(1\frac{1}{2})=0\text{,}\) dus voor \(t=1\frac{1}{2}\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((-6\frac{3}{4}, 9)\text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(x\text{-}\)as.

opgave 7

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-t^3+7t \\ y(t)=-1\frac{1}{2}t^2+3t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t=-2\text{.}\)

RaaklijnOpstellen

00qu - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t)=-3t^2+7\)
\(y'(t)=-3t+3\)

○

\(t=-2\) geeft het punt \((-6, -12)\text{.}\)

○

[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_l=\overrightarrow{v}(-2)=\begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 \\ 9\end{pmatrix}\text{.}\)

○

[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_l=\begin{pmatrix}9 \\ 5\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l{:}\,9x+5y=c\text{.}\)

○

\(\begin{rcases}l{:}\,9x+5y=c \\ \text{door }(-6, -12)\end{rcases}\begin{matrix}c=9⋅-6+5⋅-12=-114\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,9x+5y=-114\text{.}\)