Snijpunt met de \(x\text{-}\)as betekent \(y(t)=0\text{,}\) dit geeft
\(-\frac{1}{2}t^2+2t=0\)

[Oplossen geeft]
\(t^2-4t=0\)
\(t(t-4)=0\)
\(t=0∨t=4\)

[De snijpunten met de \(x\text{-}\)as zijn dan]
\(t=0\) geeft \(x(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)
\(t=4\) geeft \(x(4)=-9\frac{1}{3}\text{,}\) dus \((-9\frac{1}{3}, 0)\)

[Oplossen van \(y(t)=16\) geeft]
\(2t^2+4t=16\)
\(2t^2+4t-16=0\)
\(t^2+2t-8=0\)
\((t+4)(t-2)=0\)
\(t=-4∨t=2\)

\(x(-4)=16\text{,}\) dus \(t=-4\) geeft het punt \((16, 16)\text{.}\)

\(x(2)=16\text{,}\) dus \(t=2\) geeft ook het punt \((16, 16)\text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.

\(x'(t)=-2t^2+8\)
\(y'(t)=2t-3\)

[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t)=0\)
\(2t-3=0\)
\(2t=3\)
\(t=1\frac{1}{2}\)

\(x'(1\frac{1}{2})=3\frac{1}{2}≠0\text{,}\) dus voor \(t=1\frac{1}{2}\) is de baan evenwijdig aan de \(x\text{-}\)as in het punt \((9\frac{3}{4}, -2\frac{1}{4})\text{.}\)

\(x'(t)=3t-3\)
\(y'(t)=6t^2-14\)

\(\overrightarrow{v}(-1)=\begin{pmatrix}x'(-1) \\ y'(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6 \\ -8\end{pmatrix}\)

\(\overrightarrow{v}(3)=\begin{pmatrix}x'(3) \\ y'(3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 40\end{pmatrix}\)

\(\cos(\varphi )={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-6 \\ -8\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}6 \\ 40\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-6 \\ -8\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ 40\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={356 \over \sqrt{100}⋅\sqrt{1\,636}}\)

\(\varphi =\cos^{-1}({356 \over \sqrt{100}⋅\sqrt{1\,636}})≈28{,}3\degree\)

Snijpunt met de \(y\text{-}\)as betekent \(x(t)=0\text{,}\) dit geeft
\(-2t^3+2t=0\)

[Oplossen geeft]
\(t(-2t^2+2)=0\)
\(t=0∨-2t^2+2=0\)
\(t=0∨t^2-1=0\)
\(t=0∨t^2=1\)
\(t=0∨t=-1∨t=1\)

[De snijpunten met de \(y\text{-}\)as zijn dan]
\(t=0\) geeft \(y(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)
\(t=-1\) geeft \(y(-1)=1\text{,}\) dus \((0, 1)\)
\(t=1\) geeft \(y(1)=-3\text{,}\) dus \((0, -3)\)

\(x'(t)=4t^2-4\)
\(y'(t)=-3t+3\)

[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t)=0\)
\(4t^2-4=0\)
\(t^2-1=0\)
\(t^2=1\)
\(t=-1∨t=1\)

\(y'(-1)=6≠0\text{,}\) dus voor \(t=-1\) is de baan evenwijdig aan de \(y\text{-}\)as in het punt \((2\frac{2}{3}, -4\frac{1}{2})\text{.}\)

\(y'(1)=0\text{,}\) dus voor \(t=1\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((-2\frac{2}{3}, 1\frac{1}{2})\text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(y\text{-}\)as.

\(x'(t)=-t^2+1\)
\(y'(t)=\frac{1}{2}t-1\)

\(t=-2\) geeft het punt \((\frac{2}{3}, 3)\text{.}\)

[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_l=\overrightarrow{v}(-2)=\begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\)

[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_l=\begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l{:}\,2x-3y=c\text{.}\)

\(\begin{rcases}l{:}\,2x-3y=c \\ \text{door }(\frac{2}{3}, 3)\end{rcases}\begin{matrix}c=2⋅\frac{2}{3}-3⋅3=-7\frac{2}{3}\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,2x-3y=-7\frac{2}{3}\text{.}\)