Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Parameterkrommen'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Parameterkrommen (7)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-t^2-4t \\ y(t)=\frac{1}{3}t^3-3t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x\text{-}\)as. SnijpuntenXas 00qo - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ Snijpunt met de \(x\text{-}\)as betekent \(y(t)=0\text{,}\) dit geeft \(\frac{1}{3}t^3-3t=0\) 1p ○ [Oplossen geeft] \(t(\frac{1}{3}t^2-3)=0\) \(t=0∨\frac{1}{3}t^2-3=0\) \(t=0∨t^2-9=0\) \(t=0∨t^2=9\) \(t=0∨t=-3∨t=3\) 1p ○ [De snijpunten met de \(x\text{-}\)as zijn dan] \(t=0\) geeft \(x(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\) \(t=-3\) geeft \(x(-3)=3\text{,}\) dus \((3, 0)\) \(t=3\) geeft \(x(3)=-21\text{,}\) dus \((-21, 0)\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=\frac{1}{3}t^3-7t \\ y(t)=-\frac{1}{2}t^2+2t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((6\frac{2}{3}, -2\frac{1}{2})\text{.}\) ZelfsnijpuntAantonen 00qp - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ [Oplossen van \(y(t)=-2\frac{1}{2}\) geeft] \(-\frac{1}{2}t^2+2t=-2\frac{1}{2}\) \(-\frac{1}{2}t^2+2t+2\frac{1}{2}=0\) \(t^2-4t-5=0\) \((t+1)(t-5)=0\) \(t=-1∨t=5\) 1p ○ \(x(-1)=6\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(t=-1\) geeft het punt \((6\frac{2}{3}, -2\frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(x(5)=6\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(t=5\) geeft ook het punt \((6\frac{2}{3}, -2\frac{1}{2})\text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt. 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=\frac{1}{3}t^3-t \\ y(t)=-t^2-2t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x\text{-}\)as. EvenwijdigMetAs (1) 00qq - Parameterkrommen - basis - 1ms ○ \(x'(t)=t^2-1\) \(y'(t)=-2t-2\) 1p ○ [Evenwijdig met de x-as, dus] \(y'(t)=0\) \(-2t-2=0\) \(-2t=2\) \(t=-1\) 1p ○ \(x'(-1)=0\text{,}\) dus voor \(t=-1\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((\frac{2}{3}, 1)\text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(x\text{-}\)as. 1p opgave 4 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=\frac{1}{2}t^2+t \\ y(t)=\frac{2}{3}t^3-8t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. De baan snijdt zichzelf voor \(t=-4\) en voor \(t=2\) in het punt \((4, -10\frac{2}{3})\text{.}\) 5p Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal. HoekInZelfsnijpunt 00qr - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t)=t+1\) \(y'(t)=2t^2-8\) 1p ○ \(\overrightarrow{v}(-4)=\begin{pmatrix}x'(-4) \\ y'(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \\ 24\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{v}(2)=\begin{pmatrix}x'(2) \\ y'(2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\cos(\varphi )={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-3 \\ 24\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-3 \\ 24\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={9 \over \sqrt{585}⋅\sqrt{9}}\) 1p ○ \(\varphi =\cos^{-1}({9 \over \sqrt{585}⋅\sqrt{9}})≈82{,}9\degree\) 1p opgave 5 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-2\frac{1}{4}t^2+9t \\ y(t)=-t^3+4t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y\text{-}\)as. SnijpuntenYas 00qs - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ Snijpunt met de \(y\text{-}\)as betekent \(x(t)=0\text{,}\) dit geeft \(-2\frac{1}{4}t^2+9t=0\) 1p ○ [Oplossen geeft] \(t^2-4t=0\) \(t(t-4)=0\) \(t=0∨t=4\) 1p ○ [De snijpunten met de \(y\text{-}\)as zijn dan] \(t=0\) geeft \(y(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\) \(t=4\) geeft \(y(4)=-48\text{,}\) dus \((0, -48)\) 1p opgave 6 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-\frac{1}{3}t^3+4t \\ y(t)=1\frac{3}{4}t^2+7t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y\text{-}\)as. EvenwijdigMetAs (2) 00qt - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t)=-t^2+4\) \(y'(t)=3\frac{1}{2}t+7\) 1p ○ [Evenwijdig met de y-as, dus] \(x'(t)=0\) \(-t^2+4=0\) \(t^2-4=0\) \(t^2=4\) \(t=-2∨t=2\) 1p ○ \(y'(-2)=0\text{,}\) dus voor \(t=-2\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((-5\frac{1}{3}, -7)\text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(y\text{-}\)as. 1p ○ \(y'(2)=14≠0\text{,}\) dus voor \(t=2\) is de baan evenwijdig aan de \(y\text{-}\)as in het punt \((5\frac{1}{3}, 21)\text{.}\) 1p opgave 7 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-2\frac{2}{3}t^3+14t \\ y(t)=-3t^2+6t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 5p Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t=-1\text{.}\) RaaklijnOpstellen 00qu - Parameterkrommen - basis - 1ms ○ \(x'(t)=-8t^2+14\) \(y'(t)=-6t+6\) 1p ○ \(t=-1\) geeft het punt \((-11\frac{1}{3}, -9)\text{.}\) 1p ○ [Voor de richtingsvector van \(l\) geldt] \(\overrightarrow{r}_l=\overrightarrow{v}(-1)=\begin{pmatrix}x'(-1) \\ y'(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 12\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ [Hieruit volgt] \(\overrightarrow{n}_l=\begin{pmatrix}12 \\ -6\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l{:}\,12x-6y=c\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}l{:}\,12x-6y=c \\ \text{door }(-11\frac{1}{3}, -9)\end{rcases}\begin{matrix}c=12⋅-11\frac{1}{3}-6⋅-9=-82\end{matrix}\) Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,12x-6y=-82\text{.}\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Parameterkrommen (7)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-t^2-4t \\ y(t)=\frac{1}{3}t^3-3t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x\text{-}\)as.

SnijpuntenXas

00qo - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

Snijpunt met de \(x\text{-}\)as betekent \(y(t)=0\text{,}\) dit geeft
\(\frac{1}{3}t^3-3t=0\)

○

[Oplossen geeft]
\(t(\frac{1}{3}t^2-3)=0\)
\(t=0∨\frac{1}{3}t^2-3=0\)
\(t=0∨t^2-9=0\)
\(t=0∨t^2=9\)
\(t=0∨t=-3∨t=3\)

○

[De snijpunten met de \(x\text{-}\)as zijn dan]
\(t=0\) geeft \(x(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)
\(t=-3\) geeft \(x(-3)=3\text{,}\) dus \((3, 0)\)
\(t=3\) geeft \(x(3)=-21\text{,}\) dus \((-21, 0)\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=\frac{1}{3}t^3-7t \\ y(t)=-\frac{1}{2}t^2+2t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((6\frac{2}{3}, -2\frac{1}{2})\text{.}\)

ZelfsnijpuntAantonen

00qp - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

[Oplossen van \(y(t)=-2\frac{1}{2}\) geeft]
\(-\frac{1}{2}t^2+2t=-2\frac{1}{2}\)
\(-\frac{1}{2}t^2+2t+2\frac{1}{2}=0\)
\(t^2-4t-5=0\)
\((t+1)(t-5)=0\)
\(t=-1∨t=5\)

○

\(x(-1)=6\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(t=-1\) geeft het punt \((6\frac{2}{3}, -2\frac{1}{2})\text{.}\)

○

\(x(5)=6\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(t=5\) geeft ook het punt \((6\frac{2}{3}, -2\frac{1}{2})\text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=\frac{1}{3}t^3-t \\ y(t)=-t^2-2t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x\text{-}\)as.

EvenwijdigMetAs (1)

00qq - Parameterkrommen - basis - 1ms

○

\(x'(t)=t^2-1\)
\(y'(t)=-2t-2\)

○

[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t)=0\)
\(-2t-2=0\)
\(-2t=2\)
\(t=-1\)

○

\(x'(-1)=0\text{,}\) dus voor \(t=-1\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((\frac{2}{3}, 1)\text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(x\text{-}\)as.

opgave 4

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=\frac{1}{2}t^2+t \\ y(t)=\frac{2}{3}t^3-8t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

De baan snijdt zichzelf voor \(t=-4\) en voor \(t=2\) in het punt \((4, -10\frac{2}{3})\text{.}\)

Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.

HoekInZelfsnijpunt

00qr - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t)=t+1\)
\(y'(t)=2t^2-8\)

○

\(\overrightarrow{v}(-4)=\begin{pmatrix}x'(-4) \\ y'(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \\ 24\end{pmatrix}\)

○

\(\overrightarrow{v}(2)=\begin{pmatrix}x'(2) \\ y'(2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\)

○

\(\cos(\varphi )={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-3 \\ 24\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-3 \\ 24\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={9 \over \sqrt{585}⋅\sqrt{9}}\)

○

\(\varphi =\cos^{-1}({9 \over \sqrt{585}⋅\sqrt{9}})≈82{,}9\degree\)

opgave 5

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-2\frac{1}{4}t^2+9t \\ y(t)=-t^3+4t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y\text{-}\)as.

SnijpuntenYas

00qs - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

Snijpunt met de \(y\text{-}\)as betekent \(x(t)=0\text{,}\) dit geeft
\(-2\frac{1}{4}t^2+9t=0\)

○

[Oplossen geeft]
\(t^2-4t=0\)
\(t(t-4)=0\)
\(t=0∨t=4\)

○

[De snijpunten met de \(y\text{-}\)as zijn dan]
\(t=0\) geeft \(y(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)
\(t=4\) geeft \(y(4)=-48\text{,}\) dus \((0, -48)\)

opgave 6

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-\frac{1}{3}t^3+4t \\ y(t)=1\frac{3}{4}t^2+7t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y\text{-}\)as.

EvenwijdigMetAs (2)

00qt - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t)=-t^2+4\)
\(y'(t)=3\frac{1}{2}t+7\)

○

[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t)=0\)
\(-t^2+4=0\)
\(t^2-4=0\)
\(t^2=4\)
\(t=-2∨t=2\)

○

\(y'(-2)=0\text{,}\) dus voor \(t=-2\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((-5\frac{1}{3}, -7)\text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(y\text{-}\)as.

○

\(y'(2)=14≠0\text{,}\) dus voor \(t=2\) is de baan evenwijdig aan de \(y\text{-}\)as in het punt \((5\frac{1}{3}, 21)\text{.}\)

opgave 7

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-2\frac{2}{3}t^3+14t \\ y(t)=-3t^2+6t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t=-1\text{.}\)

RaaklijnOpstellen

00qu - Parameterkrommen - basis - 1ms

○

\(x'(t)=-8t^2+14\)
\(y'(t)=-6t+6\)

○

\(t=-1\) geeft het punt \((-11\frac{1}{3}, -9)\text{.}\)

○

[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_l=\overrightarrow{v}(-1)=\begin{pmatrix}x'(-1) \\ y'(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 12\end{pmatrix}\text{.}\)

○

[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_l=\begin{pmatrix}12 \\ -6\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l{:}\,12x-6y=c\text{.}\)

○

\(\begin{rcases}l{:}\,12x-6y=c \\ \text{door }(-11\frac{1}{3}, -9)\end{rcases}\begin{matrix}c=12⋅-11\frac{1}{3}-6⋅-9=-82\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,12x-6y=-82\text{.}\)