Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Raaklijn opstellen'.

vwo wiskunde B 2.4 Toepassingen van de afgeleide

Raaklijn opstellen (2)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x) = -3 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 2 \text{.}\) Op de grafiek van \(f\) ligt het punt \(A\) met \(x_{A} = 1 \text{.}\)

4p

Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn \(l\) aan \(f\) in \(A \text{.}\)

Polynoom
00a3 - Raaklijn opstellen - basis - 87ms

○

\(f(1) = 3 \text{,}\) dus \(A (1 , 3) \text{.}\)

1p

○

\(f(x) = -3 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 2\) geeft \(f'(x) = -9 x^{2} + 4 x + 6 \text{.}\)

1p

○

Stel \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = f'(1) = 1 \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = x + b \\ \text{door } A (1 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}1 ⋅ 1 + b = 3 \\ 1 + b = 3 \\ b = 2\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = x + 2 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de functie \(f (x) = {x^{2} - 10 x + 24 \over 2 x + 1} \text{.}\)

OxyAB

De grafiek van \(f\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \(A\) en \(B \text{.}\)

5p

Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn \(l\) in het punt \(A \text{.}\)

Gebroken
00t5 - Raaklijn opstellen - basis - 1ms

○

(\(f (x) = 0\) geeft snijpunten \(x \text{-}\)as)
\({x^{2} - 10 x + 24 \over 2 x + 1} = 0\)
\(x^{2} - 10 x + 24 = 0\)

1p

○

(som-productmethode)
\((x - 4) (x - 6) = 0\)
\(x = 4 ∨ x = 6\)
Dus \(A (4 , 0)\)

1p

○

\(f'(x) = \frac{(2 x+1) (2 x-10)-(x^{2}-10 x+24) \cdot 2}{(2 x+1)^{2}}\)

1p

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = f'(4) = -\frac{2}{9}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -\frac{2}{9} x + b \\ \text{door } A (4 , 0)\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{2}{9} ⋅ 4 + b = 0 \\ b = \frac{8}{9}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{2}{9} x + \frac{8}{9} \text{.}\)

1p
"