Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

vwo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (1)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y + 14 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (1 , 7) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 20\)
Dus \(M (-3 , 5)\) en \(r = \sqrt{20} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {5 - 7 \over -3 - 1} = \frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = \frac{1}{2}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -2\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -2 x + b \\ \text{door } A (1 , 7)\end{rcases} \begin{matrix}7 = -2 ⋅ 1 + b \\ 7 = -2 + b \\ b = 9\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -2 x + 9 \text{.}\)

1p
"