Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

vwo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (1)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-4x-2y-12=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(3, 5)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-2)^2+(y-1)^2=17\)
Dus \(M(2, 1)\) en \(r=\sqrt{17}\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={1-5 \over 2-3}=4\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=4\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{1}{4}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-\frac{1}{4}x+b \\ \text{door }A(3, 5)\end{rcases}\begin{matrix}5=-\frac{1}{4}⋅3+b \\ 5=-\frac{3}{4}+b \\ b=5\frac{3}{4}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{1}{4}x+5\frac{3}{4}\text{.}\)

1p
"