Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

vwo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (1)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x - 6 y + 24 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (8 , 4) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 10\)
Dus \(M (5 , 3)\) en \(r = \sqrt{10} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {3 - 4 \over 5 - 8} = \frac{1}{3} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = \frac{1}{3}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -3\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -3 x + b \\ \text{door } A (8 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}4 = -3 ⋅ 8 + b \\ 4 = -24 + b \\ b = 28\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -3 x + 28 \text{.}\)

1p
"