Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

vwo wiskunde B	3.5 De sinusregel en de cosinusregel
Sinus- en cosinusregel (10)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=32\text{,}\) \(\angle R=62\degree\) en \(\angle P=69\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(Q\kern{-.8pt}R\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInScherp 007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms a De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(Q\kern{-.8pt}R={P\kern{-.8pt}Q⋅\sin(\angle P) \over \sin(\angle R)}={32⋅\sin(69\degree) \over \sin(62\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(Q\kern{-.8pt}R≈33{,}8\text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R=21\text{,}\) \(\angle Q=32\degree\) en \(\angle R=106\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}Q\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInStomp 007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(P\kern{-.8pt}Q={P\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle R) \over \sin(\angle Q)}={21⋅\sin(106\degree) \over \sin(32\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(P\kern{-.8pt}Q≈38{,}1\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=19\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=28\) en \(\angle A=36\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{B}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInScherp 007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 9ms c De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle B)={A\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle A) \over B\kern{-.8pt}C}={28⋅\sin(36\degree) \over 19}=0{,}866...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle B≈60{,}0\degree\) of \(\angle B≈120{,}0\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle B\) een scherpe hoek is, dus \(\angle B≈60{,}0\degree\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=13\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=20\) en \(\angle M=34\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{K}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInStomp 007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle K)={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over K\kern{-.8pt}L}={20⋅\sin(34\degree) \over 13}=0{,}860...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle K≈59{,}3\degree\) of \(\angle K≈120{,}7\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle K\) een stompe hoek is, dus \(\angle K≈120{,}7\degree\text{.}\) 1p opgave 2 4p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=33\text{,}\) \(\angle C=38\degree\) en \(\angle B=63\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInScherp 007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms a Uit \(\angle C+\angle A+\angle B=180\degree\) volgt \(\angle A=180\degree-\angle C-\angle B=180\degree-38\degree-63\degree=79\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}B={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over \sin(\angle A)}={33⋅\sin(38\degree) \over \sin(79\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}B≈20{,}7\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=39\text{,}\) \(\angle A=53\degree\) en \(\angle C=34\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInStomp 007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b Uit \(\angle A+\angle B+\angle C=180\degree\) volgt \(\angle B=180\degree-\angle A-\angle C=180\degree-53\degree-34\degree=93\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C={A\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle A) \over \sin(\angle B)}={39⋅\sin(53\degree) \over \sin(93\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C≈31{,}2\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=29\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M=28\) en \(\angle M=70\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInScherp 007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms c De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^2=L\kern{-.8pt}M^2+K\kern{-.8pt}M^2-2⋅L\kern{-.8pt}M⋅K\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle M)\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}L^2=29^2+28^2-2⋅29⋅28⋅\cos(70\degree)=1069{,}559...\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}L=\sqrt{1069{,}559...}≈32{,}7\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R=13\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}Q=12\) en \(\angle P=113\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(Q\kern{-.8pt}R\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInStomp 007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(Q\kern{-.8pt}R^2=P\kern{-.8pt}R^2+P\kern{-.8pt}Q^2-2⋅P\kern{-.8pt}R⋅P\kern{-.8pt}Q⋅\cos(\angle P)\text{.}\) 1p ○ Dus \(Q\kern{-.8pt}R^2=13^2+12^2-2⋅13⋅12⋅\cos(113\degree)=434{,}908...\text{.}\) 1p ○ \(Q\kern{-.8pt}R=\sqrt{434{,}908...}≈20{,}9\text{.}\) 1p opgave 3 4p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M=21\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}L=20\) en \(L\kern{-.8pt}M=21\text{.}\) Bereken \(\angle \text{K}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInScherp 007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 8ms a De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(L\kern{-.8pt}M^2=K\kern{-.8pt}M^2+K\kern{-.8pt}L^2-2⋅K\kern{-.8pt}M⋅K\kern{-.8pt}L⋅\cos(\angle K)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(21^2=21^2+20^2-2⋅21⋅20⋅\cos(\angle K)\) dus \(441=841-840⋅\cos(\angle K)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle K)={441-841 \over -840}=0{,}476...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle K=\cos^{-1}(0{,}476...)≈61{,}6\degree\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=27\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=29\) en \(P\kern{-.8pt}Q=49\text{.}\) Bereken \(\angle \text{R}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInStomp 007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(P\kern{-.8pt}Q^2=Q\kern{-.8pt}R^2+P\kern{-.8pt}R^2-2⋅Q\kern{-.8pt}R⋅P\kern{-.8pt}R⋅\cos(\angle R)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(49^2=27^2+29^2-2⋅27⋅29⋅\cos(\angle R)\) dus \(2\,401=1\,570-1\,566⋅\cos(\angle R)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle R)={2\,401-1\,570 \over -1\,566}=-0{,}530...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle R=\cos^{-1}(-0{,}530...)≈122{,}0\degree\text{.}\) 1p

3.5 De sinusregel en de cosinusregel

Sinus- en cosinusregel (10)

opgave 1

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=32\text{,}\) \(\angle R=62\degree\) en \(\angle P=69\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(Q\kern{-.8pt}R\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInScherp

007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}\text{.}\)

○

Dus \(Q\kern{-.8pt}R={P\kern{-.8pt}Q⋅\sin(\angle P) \over \sin(\angle R)}={32⋅\sin(69\degree) \over \sin(62\degree)}\text{.}\)

○

\(Q\kern{-.8pt}R≈33{,}8\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R=21\text{,}\) \(\angle Q=32\degree\) en \(\angle R=106\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}Q\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInStomp

007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}\text{.}\)

○

Dus \(P\kern{-.8pt}Q={P\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle R) \over \sin(\angle Q)}={21⋅\sin(106\degree) \over \sin(32\degree)}\text{.}\)

○

\(P\kern{-.8pt}Q≈38{,}1\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=19\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=28\) en \(\angle A=36\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{B}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInScherp

007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 9ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle B)={A\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle A) \over B\kern{-.8pt}C}={28⋅\sin(36\degree) \over 19}=0{,}866...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle B≈60{,}0\degree\) of \(\angle B≈120{,}0\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle B\) een scherpe hoek is, dus \(\angle B≈60{,}0\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=13\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=20\) en \(\angle M=34\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{K}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInStomp

007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle K)={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over K\kern{-.8pt}L}={20⋅\sin(34\degree) \over 13}=0{,}860...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle K≈59{,}3\degree\) of \(\angle K≈120{,}7\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle K\) een stompe hoek is, dus \(\angle K≈120{,}7\degree\text{.}\)

opgave 2

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=33\text{,}\) \(\angle C=38\degree\) en \(\angle B=63\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInScherp

007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

Uit \(\angle C+\angle A+\angle B=180\degree\) volgt \(\angle A=180\degree-\angle C-\angle B=180\degree-38\degree-63\degree=79\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}\text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}B={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over \sin(\angle A)}={33⋅\sin(38\degree) \over \sin(79\degree)}\text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}B≈20{,}7\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=39\text{,}\) \(\angle A=53\degree\) en \(\angle C=34\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInStomp

007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle A+\angle B+\angle C=180\degree\) volgt \(\angle B=180\degree-\angle A-\angle C=180\degree-53\degree-34\degree=93\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\)

○

Dus \(B\kern{-.8pt}C={A\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle A) \over \sin(\angle B)}={39⋅\sin(53\degree) \over \sin(93\degree)}\text{.}\)

○

\(B\kern{-.8pt}C≈31{,}2\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=29\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M=28\) en \(\angle M=70\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInScherp

007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^2=L\kern{-.8pt}M^2+K\kern{-.8pt}M^2-2⋅L\kern{-.8pt}M⋅K\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle M)\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}L^2=29^2+28^2-2⋅29⋅28⋅\cos(70\degree)=1069{,}559...\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}L=\sqrt{1069{,}559...}≈32{,}7\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R=13\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}Q=12\) en \(\angle P=113\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(Q\kern{-.8pt}R\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInStomp

007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(Q\kern{-.8pt}R^2=P\kern{-.8pt}R^2+P\kern{-.8pt}Q^2-2⋅P\kern{-.8pt}R⋅P\kern{-.8pt}Q⋅\cos(\angle P)\text{.}\)

○

Dus \(Q\kern{-.8pt}R^2=13^2+12^2-2⋅13⋅12⋅\cos(113\degree)=434{,}908...\text{.}\)

○

\(Q\kern{-.8pt}R=\sqrt{434{,}908...}≈20{,}9\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M=21\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}L=20\) en \(L\kern{-.8pt}M=21\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{K}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInScherp

007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 8ms

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(L\kern{-.8pt}M^2=K\kern{-.8pt}M^2+K\kern{-.8pt}L^2-2⋅K\kern{-.8pt}M⋅K\kern{-.8pt}L⋅\cos(\angle K)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(21^2=21^2+20^2-2⋅21⋅20⋅\cos(\angle K)\)
dus \(441=841-840⋅\cos(\angle K)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle K)={441-841 \over -840}=0{,}476...\)

○

Hieruit volgt \(\angle K=\cos^{-1}(0{,}476...)≈61{,}6\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=27\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=29\) en \(P\kern{-.8pt}Q=49\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{R}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInStomp

007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(P\kern{-.8pt}Q^2=Q\kern{-.8pt}R^2+P\kern{-.8pt}R^2-2⋅Q\kern{-.8pt}R⋅P\kern{-.8pt}R⋅\cos(\angle R)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(49^2=27^2+29^2-2⋅27⋅29⋅\cos(\angle R)\)
dus \(2\,401=1\,570-1\,566⋅\cos(\angle R)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle R)={2\,401-1\,570 \over -1\,566}=-0{,}530...\)

○

Hieruit volgt \(\angle R=\cos^{-1}(-0{,}530...)≈122{,}0\degree\text{.}\)