Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

vwo wiskunde B	3.5 De sinusregel en de cosinusregel
Sinus- en cosinusregel (10)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 20 \text{,}\) \(\angle B = 35\degree\) en \(\angle C = 82\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInScherp 007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}B = {A\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle C) \over \sin(\angle B)} = {20 ⋅ \sin(82\degree) \over \sin(35\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}B ≈ 34{,}5 \text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 26 \text{,}\) \(\angle B = 46\degree\) en \(\angle C = 97\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInStomp 007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}B = {A\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle C) \over \sin(\angle B)} = {26 ⋅ \sin(97\degree) \over \sin(46\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}B ≈ 35{,}9 \text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M = 23 \text{,}\) \(K\kern{-.8pt}L = 30\) en \(\angle L = 48\degree \text{.}\) Bereken \(\angle \text{M} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInScherp 007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 5ms c De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} = {K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} = {L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} \text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle M) = {K\kern{-.8pt}L ⋅ \sin(\angle L) \over K\kern{-.8pt}M} = {30 ⋅ \sin(48\degree) \over 23} = 0{,}969... \text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle M ≈ 75{,}8\degree\) of \(\angle M ≈ 104{,}2\degree \text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle M\) een scherpe hoek is, dus \(\angle M ≈ 75{,}8\degree \text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 13 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C = 24\) en \(\angle C = 31\degree \text{.}\) Bereken \(\angle \text{A} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInStomp 007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} = {A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} \text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle A) = {B\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle C) \over A\kern{-.8pt}B} = {24 ⋅ \sin(31\degree) \over 13} = 0{,}950... \text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle A ≈ 72{,}0\degree\) of \(\angle A ≈ 108{,}0\degree \text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle A\) een stompe hoek is, dus \(\angle A ≈ 108{,}0\degree \text{.}\) 1p opgave 2 4p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L = 12 \text{,}\) \(\angle L = 64\degree\) en \(\angle K = 61\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInScherp 007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a Uit \(\angle L + \angle M + \angle K = 180\degree\) volgt \(\angle M = 180\degree - \angle L - \angle K = 180\degree - 64\degree - 61\degree = 55\degree \text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} = {K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} = {L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}M = {K\kern{-.8pt}L ⋅ \sin(\angle L) \over \sin(\angle M)} = {12 ⋅ \sin(64\degree) \over \sin(55\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}M ≈ 13{,}2 \text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R = 18 \text{,}\) \(\angle R = 35\degree\) en \(\angle Q = 36\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}Q \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInStomp 007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b Uit \(\angle R + \angle P + \angle Q = 180\degree\) volgt \(\angle P = 180\degree - \angle R - \angle Q = 180\degree - 35\degree - 36\degree = 109\degree \text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} = {P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(P\kern{-.8pt}Q = {Q\kern{-.8pt}R ⋅ \sin(\angle R) \over \sin(\angle P)} = {18 ⋅ \sin(35\degree) \over \sin(109\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(P\kern{-.8pt}Q ≈ 10{,}9 \text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 29 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C = 34\) en \(\angle B = 76\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInScherp 007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms c De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}B^{2} + B\kern{-.8pt}C^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ B\kern{-.8pt}C ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}C^{2} = 29^{2} + 34^{2} - 2 ⋅ 29 ⋅ 34 ⋅ \cos(76\degree) = 1519{,}930... \text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}C = \sqrt{1519{,}930...} ≈ 39{,}0 \text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M = 13 \text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M = 10\) en \(\angle M = 100\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInStomp 007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^{2} = L\kern{-.8pt}M^{2} + K\kern{-.8pt}M^{2} - 2 ⋅ L\kern{-.8pt}M ⋅ K\kern{-.8pt}M ⋅ \cos(\angle M) \text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}L^{2} = 13^{2} + 10^{2} - 2 ⋅ 13 ⋅ 10 ⋅ \cos(100\degree) = 314{,}148... \text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}L = \sqrt{314{,}148...} ≈ 17{,}7 \text{.}\) 1p opgave 3 4p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 20 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C = 23\) en \(A\kern{-.8pt}C = 30 \text{.}\) Bereken \(\angle \text{B} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInScherp 007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 4ms a De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}B^{2} + B\kern{-.8pt}C^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ B\kern{-.8pt}C ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(30^{2} = 20^{2} + 23^{2} - 2 ⋅ 20 ⋅ 23 ⋅ \cos(\angle B)\) dus \(900 = 929 - 920 ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle B) = {900 - 929 \over -920} = 0{,}031...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle B = \cos^{-1}(0{,}031...) ≈ 88{,}2\degree \text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 11 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C = 11\) en \(A\kern{-.8pt}C = 16 \text{.}\) Bereken \(\angle \text{B} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInStomp 007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}B^{2} + B\kern{-.8pt}C^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ B\kern{-.8pt}C ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(16^{2} = 11^{2} + 11^{2} - 2 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ \cos(\angle B)\) dus \(256 = 242 - 242 ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle B) = {256 - 242 \over -242} = -0{,}057...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle B = \cos^{-1}(-0{,}057...) ≈ 93{,}3\degree \text{.}\) 1p

3.5 De sinusregel en de cosinusregel

Sinus- en cosinusregel (10)

opgave 1

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 20 \text{,}\) \(\angle B = 35\degree\) en \(\angle C = 82\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInScherp

007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}B = {A\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle C) \over \sin(\angle B)} = {20 ⋅ \sin(82\degree) \over \sin(35\degree)} \text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}B ≈ 34{,}5 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 26 \text{,}\) \(\angle B = 46\degree\) en \(\angle C = 97\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInStomp

007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}B = {A\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle C) \over \sin(\angle B)} = {26 ⋅ \sin(97\degree) \over \sin(46\degree)} \text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}B ≈ 35{,}9 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M = 23 \text{,}\) \(K\kern{-.8pt}L = 30\) en \(\angle L = 48\degree \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{M} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInScherp

007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 5ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} = {K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} = {L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} \text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle M) = {K\kern{-.8pt}L ⋅ \sin(\angle L) \over K\kern{-.8pt}M} = {30 ⋅ \sin(48\degree) \over 23} = 0{,}969... \text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle M ≈ 75{,}8\degree\) of \(\angle M ≈ 104{,}2\degree \text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle M\) een scherpe hoek is, dus \(\angle M ≈ 75{,}8\degree \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 13 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C = 24\) en \(\angle C = 31\degree \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{A} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInStomp

007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} = {A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} \text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle A) = {B\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle C) \over A\kern{-.8pt}B} = {24 ⋅ \sin(31\degree) \over 13} = 0{,}950... \text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle A ≈ 72{,}0\degree\) of \(\angle A ≈ 108{,}0\degree \text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle A\) een stompe hoek is, dus \(\angle A ≈ 108{,}0\degree \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L = 12 \text{,}\) \(\angle L = 64\degree\) en \(\angle K = 61\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInScherp

007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle L + \angle M + \angle K = 180\degree\) volgt \(\angle M = 180\degree - \angle L - \angle K = 180\degree - 64\degree - 61\degree = 55\degree \text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} = {K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} = {L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} \text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}M = {K\kern{-.8pt}L ⋅ \sin(\angle L) \over \sin(\angle M)} = {12 ⋅ \sin(64\degree) \over \sin(55\degree)} \text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}M ≈ 13{,}2 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R = 18 \text{,}\) \(\angle R = 35\degree\) en \(\angle Q = 36\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}Q \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInStomp

007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle R + \angle P + \angle Q = 180\degree\) volgt \(\angle P = 180\degree - \angle R - \angle Q = 180\degree - 35\degree - 36\degree = 109\degree \text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} = {P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} \text{.}\)

○

Dus \(P\kern{-.8pt}Q = {Q\kern{-.8pt}R ⋅ \sin(\angle R) \over \sin(\angle P)} = {18 ⋅ \sin(35\degree) \over \sin(109\degree)} \text{.}\)

○

\(P\kern{-.8pt}Q ≈ 10{,}9 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 29 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C = 34\) en \(\angle B = 76\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInScherp

007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}B^{2} + B\kern{-.8pt}C^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ B\kern{-.8pt}C ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}C^{2} = 29^{2} + 34^{2} - 2 ⋅ 29 ⋅ 34 ⋅ \cos(76\degree) = 1519{,}930... \text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}C = \sqrt{1519{,}930...} ≈ 39{,}0 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M = 13 \text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M = 10\) en \(\angle M = 100\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInStomp

007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^{2} = L\kern{-.8pt}M^{2} + K\kern{-.8pt}M^{2} - 2 ⋅ L\kern{-.8pt}M ⋅ K\kern{-.8pt}M ⋅ \cos(\angle M) \text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}L^{2} = 13^{2} + 10^{2} - 2 ⋅ 13 ⋅ 10 ⋅ \cos(100\degree) = 314{,}148... \text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}L = \sqrt{314{,}148...} ≈ 17{,}7 \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 20 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C = 23\) en \(A\kern{-.8pt}C = 30 \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{B} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInScherp

007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 4ms

○

Invullen geeft \(30^{2} = 20^{2} + 23^{2} - 2 ⋅ 20 ⋅ 23 ⋅ \cos(\angle B)\)
dus \(900 = 929 - 920 ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle B) = {900 - 929 \over -920} = 0{,}031...\)

○

Hieruit volgt \(\angle B = \cos^{-1}(0{,}031...) ≈ 88{,}2\degree \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 11 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C = 11\) en \(A\kern{-.8pt}C = 16 \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{B} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInStomp

007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

○

Invullen geeft \(16^{2} = 11^{2} + 11^{2} - 2 ⋅ 11 ⋅ 11 ⋅ \cos(\angle B)\)
dus \(256 = 242 - 242 ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle B) = {256 - 242 \over -242} = -0{,}057...\)

○

Hieruit volgt \(\angle B = \cos^{-1}(-0{,}057...) ≈ 93{,}3\degree \text{.}\)