Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

vwo wiskunde B	3.5 De sinusregel en de cosinusregel
Sinus- en cosinusregel (10)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=12\text{,}\) \(\angle K=41\degree\) en \(\angle L=83\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInScherp 007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms a De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}M={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle L) \over \sin(\angle K)}={12⋅\sin(83\degree) \over \sin(41\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}M≈18{,}2\text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=28\text{,}\) \(\angle R=55\degree\) en \(\angle P=94\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(Q\kern{-.8pt}R\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInStomp 007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(Q\kern{-.8pt}R={P\kern{-.8pt}Q⋅\sin(\angle P) \over \sin(\angle R)}={28⋅\sin(94\degree) \over \sin(55\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(Q\kern{-.8pt}R≈34{,}1\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=17\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C=24\) en \(\angle C=41\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{A}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInScherp 007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 9ms c De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle A)={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over A\kern{-.8pt}B}={24⋅\sin(41\degree) \over 17}=0{,}926...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle A≈67{,}9\degree\) of \(\angle A≈112{,}1\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle A\) een scherpe hoek is, dus \(\angle A≈67{,}9\degree\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=17\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=27\) en \(\angle P=32\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{Q}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInStomp 007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle Q)={P\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle P) \over Q\kern{-.8pt}R}={27⋅\sin(32\degree) \over 17}=0{,}841...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle Q≈57{,}3\degree\) of \(\angle Q≈122{,}7\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle Q\) een stompe hoek is, dus \(\angle Q≈122{,}7\degree\text{.}\) 1p opgave 2 4p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=34\text{,}\) \(\angle M=57\degree\) en \(\angle L=39\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInScherp 007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms a Uit \(\angle M+\angle K+\angle L=180\degree\) volgt \(\angle K=180\degree-\angle M-\angle L=180\degree-57\degree-39\degree=84\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}L={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over \sin(\angle K)}={34⋅\sin(57\degree) \over \sin(84\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}L≈28{,}7\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=47\text{,}\) \(\angle L=42\degree\) en \(\angle K=39\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInStomp 007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b Uit \(\angle L+\angle M+\angle K=180\degree\) volgt \(\angle M=180\degree-\angle L-\angle K=180\degree-42\degree-39\degree=99\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}M={K\kern{-.8pt}L⋅\sin(\angle L) \over \sin(\angle M)}={47⋅\sin(42\degree) \over \sin(99\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}M≈31{,}8\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=20\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=20\) en \(\angle C=81\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInScherp 007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms c De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}B^2=B\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}C^2-2⋅B\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle C)\text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}B^2=20^2+20^2-2⋅20⋅20⋅\cos(81\degree)=674{,}852...\text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}B=\sqrt{674{,}852...}≈26{,}0\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=15\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=13\) en \(\angle R=91\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}Q\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInStomp 007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(P\kern{-.8pt}Q^2=Q\kern{-.8pt}R^2+P\kern{-.8pt}R^2-2⋅Q\kern{-.8pt}R⋅P\kern{-.8pt}R⋅\cos(\angle R)\text{.}\) 1p ○ Dus \(P\kern{-.8pt}Q^2=15^2+13^2-2⋅15⋅13⋅\cos(91\degree)=400{,}806...\text{.}\) 1p ○ \(P\kern{-.8pt}Q=\sqrt{400{,}806...}≈20{,}0\text{.}\) 1p opgave 3 4p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=22\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=18\) en \(A\kern{-.8pt}B=23\text{.}\) Bereken \(\angle \text{C}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInScherp 007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 8ms a De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}B^2=B\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}C^2-2⋅B\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle C)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(23^2=22^2+18^2-2⋅22⋅18⋅\cos(\angle C)\) dus \(529=808-792⋅\cos(\angle C)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle C)={529-808 \over -792}=0{,}352...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle C=\cos^{-1}(0{,}352...)≈69{,}4\degree\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=24\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=21\) en \(B\kern{-.8pt}C=40\text{.}\) Bereken \(\angle \text{A}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInStomp 007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}B^2-2⋅A\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}B⋅\cos(\angle A)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(40^2=24^2+21^2-2⋅24⋅21⋅\cos(\angle A)\) dus \(1\,600=1\,017-1\,008⋅\cos(\angle A)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle A)={1\,600-1\,017 \over -1\,008}=-0{,}578...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle A=\cos^{-1}(-0{,}578...)≈125{,}3\degree\text{.}\) 1p

3.5 De sinusregel en de cosinusregel

Sinus- en cosinusregel (10)

opgave 1

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=12\text{,}\) \(\angle K=41\degree\) en \(\angle L=83\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInScherp

007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}M={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle L) \over \sin(\angle K)}={12⋅\sin(83\degree) \over \sin(41\degree)}\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}M≈18{,}2\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=28\text{,}\) \(\angle R=55\degree\) en \(\angle P=94\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(Q\kern{-.8pt}R\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInStomp

007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}\text{.}\)

○

Dus \(Q\kern{-.8pt}R={P\kern{-.8pt}Q⋅\sin(\angle P) \over \sin(\angle R)}={28⋅\sin(94\degree) \over \sin(55\degree)}\text{.}\)

○

\(Q\kern{-.8pt}R≈34{,}1\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=17\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C=24\) en \(\angle C=41\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{A}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInScherp

007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 9ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle A)={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over A\kern{-.8pt}B}={24⋅\sin(41\degree) \over 17}=0{,}926...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle A≈67{,}9\degree\) of \(\angle A≈112{,}1\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle A\) een scherpe hoek is, dus \(\angle A≈67{,}9\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=17\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=27\) en \(\angle P=32\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{Q}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInStomp

007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle Q)={P\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle P) \over Q\kern{-.8pt}R}={27⋅\sin(32\degree) \over 17}=0{,}841...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle Q≈57{,}3\degree\) of \(\angle Q≈122{,}7\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle Q\) een stompe hoek is, dus \(\angle Q≈122{,}7\degree\text{.}\)

opgave 2

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=34\text{,}\) \(\angle M=57\degree\) en \(\angle L=39\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInScherp

007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

Uit \(\angle M+\angle K+\angle L=180\degree\) volgt \(\angle K=180\degree-\angle M-\angle L=180\degree-57\degree-39\degree=84\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}L={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over \sin(\angle K)}={34⋅\sin(57\degree) \over \sin(84\degree)}\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}L≈28{,}7\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=47\text{,}\) \(\angle L=42\degree\) en \(\angle K=39\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInStomp

007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle L+\angle M+\angle K=180\degree\) volgt \(\angle M=180\degree-\angle L-\angle K=180\degree-42\degree-39\degree=99\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}M={K\kern{-.8pt}L⋅\sin(\angle L) \over \sin(\angle M)}={47⋅\sin(42\degree) \over \sin(99\degree)}\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}M≈31{,}8\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=20\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=20\) en \(\angle C=81\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInScherp

007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}B^2=B\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}C^2-2⋅B\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle C)\text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}B^2=20^2+20^2-2⋅20⋅20⋅\cos(81\degree)=674{,}852...\text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}B=\sqrt{674{,}852...}≈26{,}0\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=15\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=13\) en \(\angle R=91\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}Q\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInStomp

007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(P\kern{-.8pt}Q^2=Q\kern{-.8pt}R^2+P\kern{-.8pt}R^2-2⋅Q\kern{-.8pt}R⋅P\kern{-.8pt}R⋅\cos(\angle R)\text{.}\)

○

Dus \(P\kern{-.8pt}Q^2=15^2+13^2-2⋅15⋅13⋅\cos(91\degree)=400{,}806...\text{.}\)

○

\(P\kern{-.8pt}Q=\sqrt{400{,}806...}≈20{,}0\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=22\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=18\) en \(A\kern{-.8pt}B=23\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{C}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInScherp

007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 8ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}B^2=B\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}C^2-2⋅B\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle C)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(23^2=22^2+18^2-2⋅22⋅18⋅\cos(\angle C)\)
dus \(529=808-792⋅\cos(\angle C)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle C)={529-808 \over -792}=0{,}352...\)

○

Hieruit volgt \(\angle C=\cos^{-1}(0{,}352...)≈69{,}4\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=24\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=21\) en \(B\kern{-.8pt}C=40\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{A}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInStomp

007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}B^2-2⋅A\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}B⋅\cos(\angle A)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(40^2=24^2+21^2-2⋅24⋅21⋅\cos(\angle A)\)
dus \(1\,600=1\,017-1\,008⋅\cos(\angle A)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle A)={1\,600-1\,017 \over -1\,008}=-0{,}578...\)

○

Hieruit volgt \(\angle A=\cos^{-1}(-0{,}578...)≈125{,}3\degree\text{.}\)