Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Snelheid en versnelling'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Snelheid en versnelling (3)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=\frac{1}{3}t^3-4t \\ y(t)=-\frac{3}{4}t^2+3t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t=-4\text{.}\) BaansnelheidBerekenen 00qv - Snelheid en versnelling - basis - 458ms ○ \(x'(t)=t^2-4\) \(y'(t)=-1\frac{1}{2}t+3\) 1p ○ [Voor de snelheidsvector geldt] \(\overrightarrow{v}(-4)=\begin{pmatrix}x'(-4) \\ y'(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12 \\ 9\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ [Dus de baansnelheid is] \(v(-4)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(-4)\end{vmatrix}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15\text{.}\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=t^3-4t \\ y(t)=-1\frac{1}{2}t^2-3t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t\text{.}\) Rond af op twee decimalen. BaansnelheidMinimaliseren 00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t)=3t^2-4\) \(y'(t)=-3t-3\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\) \(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\) \(\text{}=\sqrt{(3t^2-4)^2+(-3t-3)^2}\text{.}\) 1p ○ Voer in \(y_1=\sqrt{(3x^2-4)^2+(-3x-3)^2}\) Optie 'minimum' geeft \(x=-1{,}129...\) en \(y=0{,}425...\) 1p ○ De minimale baansnelheid is ongeveer \(0{,}43\) voor \(t=-1{,}13\text{.}\) 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-t^3+4t \\ y(t)=2\frac{1}{2}t^2-10t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t=-2\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. BaanversnellingBerekenen 00qx - Snelheid en versnelling - basis - 1ms ○ \(x'(t)=-3t^2+4\) \(y'(t)=5t-10\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\) \(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\) \(\text{}=\sqrt{(-3t^2+4)^2+(5t-10)^2}\) \(\text{}=\sqrt{9t^4+t^2-100t+116}\text{.}\) 1p ○ [De formule voor de baanversnelling is dan] \(a(t)=v'(t)\) \(\text{}={1 \over 2\sqrt{9t^4+t^2-100t+116}}⋅(36t^3+2t-100)\) \(\text{}={18t^3+t-50 \over \sqrt{9t^4+t^2-100t+116}}\) 1p ○ [Invullen van \(t=-2\) geeft] \(a(-2)={-392 \over \sqrt{464}}≈-18{,}20\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling (3)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=\frac{1}{3}t^3-4t \\ y(t)=-\frac{3}{4}t^2+3t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t=-4\text{.}\)

BaansnelheidBerekenen

00qv - Snelheid en versnelling - basis - 458ms

○

\(x'(t)=t^2-4\)
\(y'(t)=-1\frac{1}{2}t+3\)

○

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v}(-4)=\begin{pmatrix}x'(-4) \\ y'(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12 \\ 9\end{pmatrix}\text{.}\)

○

[Dus de baansnelheid is]
\(v(-4)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(-4)\end{vmatrix}=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15\text{.}\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=t^3-4t \\ y(t)=-1\frac{1}{2}t^2-3t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t\text{.}\) Rond af op twee decimalen.

BaansnelheidMinimaliseren

00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t)=3t^2-4\)
\(y'(t)=-3t-3\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\)
\(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\)
\(\text{}=\sqrt{(3t^2-4)^2+(-3t-3)^2}\text{.}\)

○

Voer in
\(y_1=\sqrt{(3x^2-4)^2+(-3x-3)^2}\)
Optie 'minimum' geeft \(x=-1{,}129...\) en \(y=0{,}425...\)

○

De minimale baansnelheid is ongeveer \(0{,}43\) voor \(t=-1{,}13\text{.}\)

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-t^3+4t \\ y(t)=2\frac{1}{2}t^2-10t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t=-2\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

BaanversnellingBerekenen

00qx - Snelheid en versnelling - basis - 1ms

○

\(x'(t)=-3t^2+4\)
\(y'(t)=5t-10\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\)
\(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\)
\(\text{}=\sqrt{(-3t^2+4)^2+(5t-10)^2}\)
\(\text{}=\sqrt{9t^4+t^2-100t+116}\text{.}\)

○

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t)=v'(t)\)
\(\text{}={1 \over 2\sqrt{9t^4+t^2-100t+116}}⋅(36t^3+2t-100)\)
\(\text{}={18t^3+t-50 \over \sqrt{9t^4+t^2-100t+116}}\)

○

[Invullen van \(t=-2\) geeft]
\(a(-2)={-392 \over \sqrt{464}}≈-18{,}20\)