Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Snelheid en versnelling'.

vwo wiskunde B 10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling (3)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-2\frac{1}{4}t^2+9t \\ y(t)=-t^3+9t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Oxy

3p

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t=-1\text{.}\)

BaansnelheidBerekenen
00qv - Snelheid en versnelling - basis - 380ms

○

\(x'(t)=-4\frac{1}{2}t+9\)
\(y'(t)=-3t^2+9\)

1p

○

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v}(-1)=\begin{pmatrix}x'(-1) \\ y'(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\frac{1}{2} \\ 6\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

[Dus de baansnelheid is]
\(v(-1)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(-1)\end{vmatrix}=\sqrt{13\frac{1}{2}^2+6^2}=\sqrt{218\frac{1}{4}}\text{ [}\text{}=1\frac{1}{2}\sqrt{97}\text{]}\text{.}\)

1p

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-1\frac{1}{2}t^2+3t \\ y(t)=t^3-t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Oxy

4p

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t\text{.}\) Rond af op twee decimalen.

BaansnelheidMinimaliseren
00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t)=-3t+3\)
\(y'(t)=3t^2-1\)

1p

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\)
\(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\)
\(\text{}=\sqrt{(-3t+3)^2+(3t^2-1)^2}\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=\sqrt{(-3x+3)^2+(3x^2-1)^2}\)
Optie 'minimum' geeft \(x=0{,}723...\) en \(y=1{,}006...\)

1p

○

De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}01\) voor \(t=0{,}72\text{.}\)

1p

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=t^2-4t \\ y(t)=-t^3+4t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Oxy

4p

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t=-2\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

BaanversnellingBerekenen
00qx - Snelheid en versnelling - basis - 1ms

○

\(x'(t)=2t-4\)
\(y'(t)=-3t^2+4\)

1p

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\)
\(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\)
\(\text{}=\sqrt{(2t-4)^2+(-3t^2+4)^2}\)
\(\text{}=\sqrt{9t^4-20t^2-16t+32}\text{.}\)

1p

○

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t)=v'(t)\)
\(\text{}={1 \over 2\sqrt{9t^4-20t^2-16t+32}}⋅(36t^3-40t-16)\)
\(\text{}={18t^3-20t-8 \over \sqrt{9t^4-20t^2-16t+32}}\)

1p

○

[Invullen van \(t=-2\) geeft]
\(a(-2)={-224 \over \sqrt{128}}≈-19{,}80\)

1p
"