Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Snelheid en versnelling'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Snelheid en versnelling (3)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{3} t^{3} - t \\ y(t) = 3 t^{2} + 9 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -1 \text{.}\) BaansnelheidBerekenen 00qv - Snelheid en versnelling - basis - 399ms ○ \(x'(t) = 4 t^{2} - 1\) \(y'(t) = 6 t + 9\) 1p ○ [Voor de snelheidsvector geldt] \(\overrightarrow{v} (-1) = \begin{pmatrix}x'(-1) \\ y'(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ [Dus de baansnelheid is] \(v(-1) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-1)\end{vmatrix} = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{18} \text{ [} \text{} = 3 \sqrt{2} \text{]} \text{.}\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + t \\ y(t) = -3 t^{2} + 6 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen. BaansnelheidMinimaliseren 00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t) = -4 t^{2} + 1\) \(y'(t) = -6 t + 6\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(-4 t^{2} + 1)^{2} + (-6 t + 6)^{2}} \text{.}\) 1p ○ Voer in \(y_{1} = \sqrt{(-4 x^{2} + 1)^{2} + (-6 x + 6)^{2}}\) Optie 'minimum' geeft \(x = 0{,}768...\) en \(y = 1{,}945...\) 1p ○ De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}95\) voor \(t = 0{,}77 \text{.}\) 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{2} t^{2} - 3 t \\ y(t) = t^{3} - 7 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -2 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. BaanversnellingBerekenen 00qx - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t) = -3 t - 3\) \(y'(t) = 3 t^{2} - 7\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(-3 t - 3)^{2} + (3 t^{2} - 7)^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{9 t^{4} - 33 t^{2} + 18 t + 58} \text{.}\) 1p ○ [De formule voor de baanversnelling is dan] \(a(t) = v'(t)\) \(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{9 t^{4} - 33 t^{2} + 18 t + 58}} ⋅ (36 t^{3} - 66 t + 18)\) \(\text{} = {18 t^{3} - 33 t + 9 \over \sqrt{9 t^{4} - 33 t^{2} + 18 t + 58}}\) 1p ○ [Invullen van \(t = -2\) geeft] \(a(-2) = {-69 \over \sqrt{34}} ≈ -11{,}83\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling (3)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{3} t^{3} - t \\ y(t) = 3 t^{2} + 9 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -1 \text{.}\)

BaansnelheidBerekenen

00qv - Snelheid en versnelling - basis - 399ms

○

\(x'(t) = 4 t^{2} - 1\)
\(y'(t) = 6 t + 9\)

○

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (-1) = \begin{pmatrix}x'(-1) \\ y'(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\)

○

[Dus de baansnelheid is]
\(v(-1) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-1)\end{vmatrix} = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{18} \text{ [} \text{} = 3 \sqrt{2} \text{]} \text{.}\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + t \\ y(t) = -3 t^{2} + 6 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.

BaansnelheidMinimaliseren

00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t) = -4 t^{2} + 1\)
\(y'(t) = -6 t + 6\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-4 t^{2} + 1)^{2} + (-6 t + 6)^{2}} \text{.}\)

○

Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(-4 x^{2} + 1)^{2} + (-6 x + 6)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = 0{,}768...\) en \(y = 1{,}945...\)

○

De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}95\) voor \(t = 0{,}77 \text{.}\)

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{2} t^{2} - 3 t \\ y(t) = t^{3} - 7 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -2 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

BaanversnellingBerekenen

00qx - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t) = -3 t - 3\)
\(y'(t) = 3 t^{2} - 7\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-3 t - 3)^{2} + (3 t^{2} - 7)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{9 t^{4} - 33 t^{2} + 18 t + 58} \text{.}\)

○

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{9 t^{4} - 33 t^{2} + 18 t + 58}} ⋅ (36 t^{3} - 66 t + 18)\)
\(\text{} = {18 t^{3} - 33 t + 9 \over \sqrt{9 t^{4} - 33 t^{2} + 18 t + 58}}\)

○

[Invullen van \(t = -2\) geeft]
\(a(-2) = {-69 \over \sqrt{34}} ≈ -11{,}83\)