Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Snelheid en versnelling'.

vwo wiskunde B 10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling (3)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-t^2+2t \\ y(t)=-t^3+12t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Oxy

3p

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t=3\text{.}\)

BaansnelheidBerekenen
00qv - Snelheid en versnelling - basis - 618ms

○

\(x'(t)=-2t+2\)
\(y'(t)=-3t^2+12\)

1p

○

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v}(3)=\begin{pmatrix}x'(3) \\ y'(3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 \\ -15\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

[Dus de baansnelheid is]
\(v(3)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(3)\end{vmatrix}=\sqrt{(-4)^2+(-15)^2}=\sqrt{241}\text{.}\)

1p

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-3t^2+12t \\ y(t)=-t^3+4t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Oxy

4p

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t\text{.}\) Rond af op twee decimalen.

BaansnelheidMinimaliseren
00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t)=-6t+12\)
\(y'(t)=-3t^2+4\)

1p

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\)
\(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\)
\(\text{}=\sqrt{(-6t+12)^2+(-3t^2+4)^2}\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=\sqrt{(-6x+12)^2+(-3x^2+4)^2}\)
Optie 'minimum' geeft \(x=1{,}447...\) en \(y=4{,}026...\)

1p

○

De minimale baansnelheid is ongeveer \(4{,}03\) voor \(t=1{,}45\text{.}\)

1p

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-\frac{1}{3}t^3+t \\ y(t)=-2t^2-8t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Oxy

4p

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t=-4\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

BaanversnellingBerekenen
00qx - Snelheid en versnelling - basis - 1ms

○

\(x'(t)=-t^2+1\)
\(y'(t)=-4t-8\)

1p

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\)
\(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\)
\(\text{}=\sqrt{(-t^2+1)^2+(-4t-8)^2}\)
\(\text{}=\sqrt{t^4+14t^2+64t+65}\text{.}\)

1p

○

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t)=v'(t)\)
\(\text{}={1 \over 2\sqrt{t^4+14t^2+64t+65}}⋅(4t^3+28t+64)\)
\(\text{}={2t^3+14t+32 \over \sqrt{t^4+14t^2+64t+65}}\)

1p

○

[Invullen van \(t=-4\) geeft]
\(a(-4)={-152 \over \sqrt{289}}≈-8{,}94\)

1p
"