Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Snelheid en versnelling'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Snelheid en versnelling (3)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -t^{3} + 12 t \\ y(t) = -t^{2} + 2 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -3 \text{.}\) BaansnelheidBerekenen 00qv - Snelheid en versnelling - basis - 416ms ○ \(x'(t) = -3 t^{2} + 12\) \(y'(t) = -2 t + 2\) 1p ○ [Voor de snelheidsvector geldt] \(\overrightarrow{v} (-3) = \begin{pmatrix}x'(-3) \\ y'(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-15 \\ 8\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ [Dus de baansnelheid is] \(v(-3) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-3)\end{vmatrix} = \sqrt{(-15)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{289} = 17 \text{.}\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -\frac{1}{2} t^{2} + 2 t \\ y(t) = 1\frac{2}{3} t^{3} - 15 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen. BaansnelheidMinimaliseren 00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t) = -t + 2\) \(y'(t) = 5 t^{2} - 15\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(-t + 2)^{2} + (5 t^{2} - 15)^{2}} \text{.}\) 1p ○ Voer in \(y_{1} = \sqrt{(-x + 2)^{2} + (5 x^{2} - 15)^{2}}\) Optie 'minimum' geeft \(x = 1{,}732...\) en \(y = 0{,}267...\) 1p ○ De minimale baansnelheid is ongeveer \(0{,}27\) voor \(t = 1{,}73 \text{.}\) 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = 1\frac{2}{3} t^{3} - 15 t \\ y(t) = -\frac{1}{2} t^{2} + t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -2 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. BaanversnellingBerekenen 00qx - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t) = 5 t^{2} - 15\) \(y'(t) = -t + 1\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(5 t^{2} - 15)^{2} + (-t + 1)^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{25 t^{4} - 149 t^{2} - 2 t + 226} \text{.}\) 1p ○ [De formule voor de baanversnelling is dan] \(a(t) = v'(t)\) \(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{25 t^{4} - 149 t^{2} - 2 t + 226}} ⋅ (100 t^{3} - 298 t - 2)\) \(\text{} = {50 t^{3} - 149 t - 1 \over \sqrt{25 t^{4} - 149 t^{2} - 2 t + 226}}\) 1p ○ [Invullen van \(t = -2\) geeft] \(a(-2) = {-103 \over \sqrt{34}} ≈ -17{,}66\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling (3)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -t^{3} + 12 t \\ y(t) = -t^{2} + 2 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -3 \text{.}\)

BaansnelheidBerekenen

00qv - Snelheid en versnelling - basis - 416ms

○

\(x'(t) = -3 t^{2} + 12\)
\(y'(t) = -2 t + 2\)

○

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (-3) = \begin{pmatrix}x'(-3) \\ y'(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-15 \\ 8\end{pmatrix} \text{.}\)

○

[Dus de baansnelheid is]
\(v(-3) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-3)\end{vmatrix} = \sqrt{(-15)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{289} = 17 \text{.}\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -\frac{1}{2} t^{2} + 2 t \\ y(t) = 1\frac{2}{3} t^{3} - 15 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.

BaansnelheidMinimaliseren

00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t) = -t + 2\)
\(y'(t) = 5 t^{2} - 15\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-t + 2)^{2} + (5 t^{2} - 15)^{2}} \text{.}\)

○

Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(-x + 2)^{2} + (5 x^{2} - 15)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = 1{,}732...\) en \(y = 0{,}267...\)

○

De minimale baansnelheid is ongeveer \(0{,}27\) voor \(t = 1{,}73 \text{.}\)

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{2}{3} t^{3} - 15 t \\ y(t) = -\frac{1}{2} t^{2} + t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -2 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

BaanversnellingBerekenen

00qx - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t) = 5 t^{2} - 15\)
\(y'(t) = -t + 1\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(5 t^{2} - 15)^{2} + (-t + 1)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{25 t^{4} - 149 t^{2} - 2 t + 226} \text{.}\)

○

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{25 t^{4} - 149 t^{2} - 2 t + 226}} ⋅ (100 t^{3} - 298 t - 2)\)
\(\text{} = {50 t^{3} - 149 t - 1 \over \sqrt{25 t^{4} - 149 t^{2} - 2 t + 226}}\)

○

[Invullen van \(t = -2\) geeft]
\(a(-2) = {-103 \over \sqrt{34}} ≈ -17{,}66\)