Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectoren en hoeken'.

vwo wiskunde B	10.4 Vectoren en hoeken
Vectoren en hoeken (3)	opgave 1 Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}7 \\ -2\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze vectoren. HoekTussenTweeVectoren 00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms ○ \(\cos(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b})) = {\begin{pmatrix}7 \\ -2\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}7 \\ -2\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {48 \over \sqrt{53} ⋅ \sqrt{45}} \text{.}\) 1p ○ \(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \cos^{-1}({48 \over \sqrt{53} ⋅ \sqrt{45}}) ≈ 10{,}6\degree\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 5\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} \text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze lijnen. HoekTussenTweeLijnen 00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms ○ \(\cos(\angle (k , l)) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {6 \over \sqrt{25} ⋅ \sqrt{4}}\) 1p ○ \(\angle (k , l) = \cos^{-1}({6 \over \sqrt{25} ⋅ \sqrt{4}}) ≈ 53{,}1\degree\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(\text{P} (2 , -5) \text{,}\) \(\text{Q} (4 , 0)\) en \(\text{R} (3 , 7) \text{.}\) 3p Bereken de hoek \(\angle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R \text{.}\) HoekInDriehoek 00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 2ms ○ \(\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{p} - \overrightarrow{q} = \begin{pmatrix}2 \\ -5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ -5\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{r} - \overrightarrow{q} = \begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 7\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\cos(\angle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R) = {\begin{pmatrix}-2 \\ -5\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ 7\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-2 \\ -5\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-1 \\ 7\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {-33 \over \sqrt{29} ⋅ \sqrt{50}} \text{.}\) 1p ○ \(\angle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R = \cos^{-1}({-33 \over \sqrt{29} ⋅ \sqrt{50}}) ≈ 150{,}1\degree\) 1p

10.4 Vectoren en hoeken

Vectoren en hoeken (3)

opgave 1

Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}7 \\ -2\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze vectoren.

HoekTussenTweeVectoren

00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms

○

\(\cos(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b})) = {\begin{pmatrix}7 \\ -2\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}7 \\ -2\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {48 \over \sqrt{53} ⋅ \sqrt{45}} \text{.}\)

○

\(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \cos^{-1}({48 \over \sqrt{53} ⋅ \sqrt{45}}) ≈ 10{,}6\degree\)

opgave 2

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 5\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze lijnen.

HoekTussenTweeLijnen

00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms

○

\(\cos(\angle (k , l)) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {6 \over \sqrt{25} ⋅ \sqrt{4}}\)

○

\(\angle (k , l) = \cos^{-1}({6 \over \sqrt{25} ⋅ \sqrt{4}}) ≈ 53{,}1\degree\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(\text{P} (2 , -5) \text{,}\) \(\text{Q} (4 , 0)\) en \(\text{R} (3 , 7) \text{.}\)

Bereken de hoek \(\angle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R \text{.}\)

HoekInDriehoek

00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 2ms

○

\(\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{p} - \overrightarrow{q} = \begin{pmatrix}2 \\ -5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ -5\end{pmatrix}\)
en \(\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{r} - \overrightarrow{q} = \begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 7\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\cos(\angle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R) = {\begin{pmatrix}-2 \\ -5\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ 7\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-2 \\ -5\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-1 \\ 7\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {-33 \over \sqrt{29} ⋅ \sqrt{50}} \text{.}\)

○

\(\angle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R = \cos^{-1}({-33 \over \sqrt{29} ⋅ \sqrt{50}}) ≈ 150{,}1\degree\)