Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectoren en hoeken'.

vwo wiskunde B	10.4 Vectoren en hoeken
Vectoren en hoeken (3)	opgave 1 Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ -5\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze vectoren. HoekTussenTweeVectoren 00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms ○ \(\cos(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b})) = {\begin{pmatrix}4 \\ -5\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ -5\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {7 \over \sqrt{41} ⋅ \sqrt{10}} \text{.}\) 1p ○ \(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \cos^{-1}({7 \over \sqrt{41} ⋅ \sqrt{10}}) ≈ 69{,}8\degree\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 4\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix} \text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze lijnen. HoekTussenTweeLijnen 00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms ○ \(\cos(\angle (k , l)) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {14 \over \sqrt{49} ⋅ \sqrt{20}}\) 1p ○ \(\angle (k , l) = \cos^{-1}({14 \over \sqrt{49} ⋅ \sqrt{20}}) ≈ 63{,}4\degree\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(\text{A} (2 , 0) \text{,}\) \(\text{B} (3 , -7)\) en \(\text{C} (6 , -4) \text{.}\) 3p Bereken de hoek \(\angle C\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}B \text{.}\) HoekInDriehoek 00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 4ms ○ \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}6 \\ -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ -7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -7\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\cos(\angle C\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}B) = {\begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -7\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ -7\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {32 \over \sqrt{32} ⋅ \sqrt{50}} \text{.}\) 1p ○ \(\angle C\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}B = \cos^{-1}({32 \over \sqrt{32} ⋅ \sqrt{50}}) ≈ 36{,}9\degree\) 1p

10.4 Vectoren en hoeken

Vectoren en hoeken (3)

opgave 1

Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ -5\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze vectoren.

HoekTussenTweeVectoren

00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms

○

\(\cos(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b})) = {\begin{pmatrix}4 \\ -5\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ -5\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {7 \over \sqrt{41} ⋅ \sqrt{10}} \text{.}\)

○

\(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \cos^{-1}({7 \over \sqrt{41} ⋅ \sqrt{10}}) ≈ 69{,}8\degree\)

opgave 2

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 4\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze lijnen.

HoekTussenTweeLijnen

00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms

○

\(\cos(\angle (k , l)) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {14 \over \sqrt{49} ⋅ \sqrt{20}}\)

○

\(\angle (k , l) = \cos^{-1}({14 \over \sqrt{49} ⋅ \sqrt{20}}) ≈ 63{,}4\degree\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(\text{A} (2 , 0) \text{,}\) \(\text{B} (3 , -7)\) en \(\text{C} (6 , -4) \text{.}\)

Bereken de hoek \(\angle C\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}B \text{.}\)

HoekInDriehoek

00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 4ms

○

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}6 \\ -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix}\)
en \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ -7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -7\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\cos(\angle C\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}B) = {\begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -7\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ -4\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ -7\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {32 \over \sqrt{32} ⋅ \sqrt{50}} \text{.}\)

○

\(\angle C\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}B = \cos^{-1}({32 \over \sqrt{32} ⋅ \sqrt{50}}) ≈ 36{,}9\degree\)