Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectoren en hoeken'.

vwo wiskunde B	10.4 Vectoren en hoeken
Vectoren en hoeken (3)	opgave 1 Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} \text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze vectoren. HoekTussenTweeVectoren 00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms ○ \(\cos(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b})) = {\begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {20 \over \sqrt{74} ⋅ \sqrt{16}} \text{.}\) 1p ○ \(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \cos^{-1}({20 \over \sqrt{74} ⋅ \sqrt{16}}) ≈ 54{,}5\degree\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 4\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ -5\end{pmatrix} \text{.}\) 2p Bereken de hoek tussen deze lijnen. HoekTussenTweeLijnen 00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 1ms ○ \(\cos(\angle (k , l)) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ -5\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -5\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {23 \over \sqrt{10} ⋅ \sqrt{61}}\) 1p ○ \(\angle (k , l) = \cos^{-1}({23 \over \sqrt{10} ⋅ \sqrt{61}}) ≈ 21{,}4\degree\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(\text{P} (6 , -4) \text{,}\) \(\text{Q} (5 , 7)\) en \(\text{R} (0 , -3) \text{.}\) 3p Bereken de hoek \(\angle Q\kern{-.8pt}R\kern{-.8pt}P \text{.}\) HoekInDriehoek 00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 3ms ○ \(\overrightarrow{RQ} = \overrightarrow{q} - \overrightarrow{r} = \begin{pmatrix}5 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 10\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{RP} = \overrightarrow{p} - \overrightarrow{r} = \begin{pmatrix}6 \\ -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\cos(\angle Q\kern{-.8pt}R\kern{-.8pt}P) = {\begin{pmatrix}5 \\ 10\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ -1\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}5 \\ 10\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -1\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {20 \over \sqrt{125} ⋅ \sqrt{37}} \text{.}\) 1p ○ \(\angle Q\kern{-.8pt}R\kern{-.8pt}P = \cos^{-1}({20 \over \sqrt{125} ⋅ \sqrt{37}}) ≈ 72{,}9\degree\) 1p

10.4 Vectoren en hoeken

Vectoren en hoeken (3)

opgave 1

Gegeven zijn de vectoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix}\) en \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze vectoren.

HoekTussenTweeVectoren

00qd - Vectoren en hoeken - basis - eind - 0ms

○

\(\cos(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b})) = {\begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}5 \\ -7\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {20 \over \sqrt{74} ⋅ \sqrt{16}} \text{.}\)

○

\(\angle (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = \cos^{-1}({20 \over \sqrt{74} ⋅ \sqrt{16}}) ≈ 54{,}5\degree\)

opgave 2

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 4\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ -5\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de hoek tussen deze lijnen.

HoekTussenTweeLijnen

00qe - Vectoren en hoeken - basis - eind - 1ms

○

\(\cos(\angle (k , l)) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ -5\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -5\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {23 \over \sqrt{10} ⋅ \sqrt{61}}\)

○

\(\angle (k , l) = \cos^{-1}({23 \over \sqrt{10} ⋅ \sqrt{61}}) ≈ 21{,}4\degree\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(\text{P} (6 , -4) \text{,}\) \(\text{Q} (5 , 7)\) en \(\text{R} (0 , -3) \text{.}\)

Bereken de hoek \(\angle Q\kern{-.8pt}R\kern{-.8pt}P \text{.}\)

HoekInDriehoek

00qf - Vectoren en hoeken - basis - eind - 3ms

○

\(\overrightarrow{RQ} = \overrightarrow{q} - \overrightarrow{r} = \begin{pmatrix}5 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 10\end{pmatrix}\)
en \(\overrightarrow{RP} = \overrightarrow{p} - \overrightarrow{r} = \begin{pmatrix}6 \\ -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\cos(\angle Q\kern{-.8pt}R\kern{-.8pt}P) = {\begin{pmatrix}5 \\ 10\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ -1\end{pmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}5 \\ 10\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -1\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {20 \over \sqrt{125} ⋅ \sqrt{37}} \text{.}\)

○

\(\angle Q\kern{-.8pt}R\kern{-.8pt}P = \cos^{-1}({20 \over \sqrt{125} ⋅ \sqrt{37}}) ≈ 72{,}9\degree\)