Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B	10.3 Vectoren en lijnen
Vectorvoorstelling van een lijn (7)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (5 , 3)\) en \(B (4 , 2) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijn 00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 3p Onderzoek of het punt \(A (26 , 28)\) op \(l\) ligt. PuntOpVectorvoorstelling 00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms ○ \(x = 26\) geeft \(2 + 6 t = 26\) \(6 t = 24\) \(t = 4 \text{.}\) 1p ○ \(t = 4\) geeft \(y = 7 + 4 ⋅ 5 = 27 \text{.}\) 1p ○ \(27 ≠ 28 \text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-4 \\ -2\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,5 x - 2 y = 29 \text{.}\) 3p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking 00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms ○ Substitutie geeft \(5 (-1 - 4 t) - 2 (-1 - 2 t) = 29 \text{.}\) 1p ○ \(-5 - 20 t + 2 + 4 t = 29\) \(-16 t - 3 = 29\) \(-16 t = 32\) \(t = -2 \text{.}\) 1p ○ Invullen van \(t = -2\) in de vectorvoorstelling geeft \(x = -1 - 2 ⋅ -4 = 7\) en \(y = -1 - 2 ⋅ -2 = 3\) dus \(S (7 , 3) \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven zijn de punten \(A (7 , 4)\) en \(B (0 , 1) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijnstuk 00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-7 \\ -3\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} ∧ 3 ≤ t ≤ 5 \text{.}\) 2p Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk. EindpuntenVanLijnstuk 00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 8ms ○ \(t = 3\) geeft \(x = 0 + 3 ⋅ 2 = 6\) en \(y = 4 + 3 ⋅ 2 = 10 \text{,}\) dus \((6 , 10) \text{.}\) 1p ○ \(t = 5\) geeft \(x = 0 + 5 ⋅ 2 = 10\) en \(y = 4 + 5 ⋅ 2 = 14 \text{,}\) dus \((10 , 14) \text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven zijn de punten \(A (3 , 0) \text{,}\) \(B (-7 , 5)\) en \(C (6 , -4) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid 00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}6 \\ -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-7 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}13 \\ -9\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}13 \\ -9\end{pmatrix}\) 1p opgave 7 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix} \text{.}\) 4p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen 00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 103ms ○ [Gelijkstellen geeft] \(\begin{cases}2 + 2 t = 3 + 3 u \\ 2 - 4 t = 5 - 4 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}2 t - 3 u = 1 \\ -4 t + 4 u = 3\end{cases}\) 1p ○ \(\begin{cases}2 t - 3 u = 1 \\ -4 t + 4 u = 3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 t - 6 u = 2 \\ -4 t + 4 u = 3\end{cases}\) 1p ○ Optellen geeft \(-2 u = 5\) en dus \(u = -2\frac{1}{2}\) 1p ○ \(u = -2\frac{1}{2}\) geeft \(x = 3 + 3 ⋅ -2\frac{1}{2} = -4\frac{1}{2}\) en \(y = 5 - 4 ⋅ -2\frac{1}{2} = 15 \text{,}\) dus \(S (-4\frac{1}{2} , 15) \text{.}\) 1p

vwo wiskunde B

10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A (5 , 3)\) en \(B (4 , 2) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn

00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ -1\end{pmatrix} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\)

Onderzoek of het punt \(A (26 , 28)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling

00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(x = 26\) geeft
\(2 + 6 t = 26\)
\(6 t = 24\)
\(t = 4 \text{.}\)

○

\(t = 4\) geeft \(y = 7 + 4 ⋅ 5 = 27 \text{.}\)

○

\(27 ≠ 28 \text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l \text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-4 \\ -2\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,5 x - 2 y = 29 \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking

00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

Substitutie geeft
\(5 (-1 - 4 t) - 2 (-1 - 2 t) = 29 \text{.}\)

○

\(-5 - 20 t + 2 + 4 t = 29\)
\(-16 t - 3 = 29\)
\(-16 t = 32\)
\(t = -2 \text{.}\)

○

Invullen van \(t = -2\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x = -1 - 2 ⋅ -4 = 7\)
en
\(y = -1 - 2 ⋅ -2 = 3\)
dus \(S (7 , 3) \text{.}\)

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A (7 , 4)\) en \(B (0 , 1) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk

00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-7 \\ -3\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} ∧ 3 ≤ t ≤ 5 \text{.}\)

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk

00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 8ms

○

\(t = 3\) geeft \(x = 0 + 3 ⋅ 2 = 6\) en \(y = 4 + 3 ⋅ 2 = 10 \text{,}\) dus \((6 , 10) \text{.}\)

○

\(t = 5\) geeft \(x = 0 + 5 ⋅ 2 = 10\) en \(y = 4 + 5 ⋅ 2 = 14 \text{,}\) dus \((10 , 14) \text{.}\)

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A (3 , 0) \text{,}\) \(B (-7 , 5)\) en \(C (6 , -4) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid

00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}6 \\ -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-7 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}13 \\ -9\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}13 \\ -9\end{pmatrix}\)

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen

00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 103ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}2 + 2 t = 3 + 3 u \\ 2 - 4 t = 5 - 4 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}2 t - 3 u = 1 \\ -4 t + 4 u = 3\end{cases}\)

○

\(\begin{cases}2 t - 3 u = 1 \\ -4 t + 4 u = 3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 t - 6 u = 2 \\ -4 t + 4 u = 3\end{cases}\)

○

Optellen geeft \(-2 u = 5\) en dus \(u = -2\frac{1}{2}\)

○

\(u = -2\frac{1}{2}\) geeft \(x = 3 + 3 ⋅ -2\frac{1}{2} = -4\frac{1}{2}\) en \(y = 5 - 4 ⋅ -2\frac{1}{2} = 15 \text{,}\) dus \(S (-4\frac{1}{2} , 15) \text{.}\)