Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B 10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A(3, 0)\) en \(B(5, 6)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn
00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}5 \\ 6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 6\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}2 \\ 6\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix}\text{.}\)

3p

Onderzoek of het punt \(A(8, 27)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling
00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(x=8\) geeft
\(3+t=8\)
\(t=5\)
\(t=5\text{.}\)

1p

○

\(t=5\) geeft \(y=7+5⋅4=27\text{.}\)

1p

○

Dus \(A\) ligt op \(l\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ 3\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,2x+y=1\text{.}\)

3p

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking
00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

Substitutie geeft
\(2(-2-t)+(3+4t)=1\text{.}\)

1p

○

\(-4-2t+3+4t=1\)
\(2t-1=1\)
\(2t=2\)
\(t=1\text{.}\)

1p

○

Invullen van \(t=1\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x=-2+1⋅-1=-3\)
en
\(y=3+1⋅4=7\)
dus \(S(-3, 7)\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A(4, 1)\) en \(B(6, 0)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk
00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}∧0≤t≤1\text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix}∧-5≤t≤-2\text{.}\)

2p

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk
00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 6ms

○

\(t=-5\) geeft \(x=4-5⋅2=-6\) en \(y=5-5⋅-4=25\text{,}\) dus \((-6, 25)\text{.}\)

1p

○

\(t=-2\) geeft \(x=4-2⋅2=0\) en \(y=5-2⋅-4=13\text{,}\) dus \((0, 13)\text{.}\)

1p

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A(-6, -7)\text{,}\) \(B(0, -3)\) en \(C(-2, 4)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A\text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid
00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}-2 \\ 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ 7\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}-6 \\ -7\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6 \\ -7\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-2 \\ 7\end{pmatrix}\)

1p

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 \\ 5\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\)

4p

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen
00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 83ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}-5+3t=-2+4u \\ 5-t=1-2u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}3t-4u=3 \\ -t+2u=-4\end{cases}\)

1p

○

\(\begin{cases}3t-4u=3 \\ -t+2u=-4\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3t-4u=3 \\ -3t+6u=-12\end{cases}\)

1p

○

Optellen geeft \(2u=-9\) en dus \(u=-4\frac{1}{2}\)

1p

○

\(u=-4\frac{1}{2}\) geeft \(x=-2+4⋅-4\frac{1}{2}=-20\) en \(y=1-2⋅-4\frac{1}{2}=10\text{,}\) dus \(S(-20, 10)\text{.}\)

1p
"