Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B	10.3 Vectoren en lijnen
Vectorvoorstelling van een lijn (7)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (7 , 4)\) en \(B (1 , 5) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijn 00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}1 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-6 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\) 3p Onderzoek of het punt \(A (27 , 32)\) op \(l\) ligt. PuntOpVectorvoorstelling 00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(x = 27\) geeft \(7 + 4 t = 27\) \(4 t = 20\) \(t = 5 \text{.}\) 1p ○ \(t = 5\) geeft \(y = 1 + 5 ⋅ 6 = 31 \text{.}\) 1p ○ \(31 ≠ 32 \text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,3 x - 2 y = -7 \text{.}\) 3p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking 00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ Substitutie geeft \(3 (-1 + 4 t) - 2 (3 + 5 t) = -7 \text{.}\) 1p ○ \(-3 + 12 t - 6 - 10 t = -7\) \(2 t - 9 = -7\) \(2 t = 2\) \(t = 1 \text{.}\) 1p ○ Invullen van \(t = 1\) in de vectorvoorstelling geeft \(x = -1 + 1 ⋅ 4 = 3\) en \(y = 3 + 1 ⋅ 5 = 8\) dus \(S (3 , 8) \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven zijn de punten \(A (6 , 7)\) en \(B (4 , 5) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijnstuk 00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ -2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-2 \\ -2\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} ∧ -2 ≤ t ≤ -1 \text{.}\) 2p Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk. EindpuntenVanLijnstuk 00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 4ms ○ \(t = -2\) geeft \(x = 0 - 2 ⋅ 5 = -10\) en \(y = 2 - 2 ⋅ 1 = 0 \text{,}\) dus \((-10 , 0) \text{.}\) 1p ○ \(t = -1\) geeft \(x = 0 - 1 ⋅ 5 = -5\) en \(y = 2 - 1 ⋅ 1 = 1 \text{,}\) dus \((-5 , 1) \text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven zijn de punten \(A (3 , -4) \text{,}\) \(B (6 , -7)\) en \(C (-5 , 1) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid 00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}-5 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ -7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-11 \\ 8\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-11 \\ 8\end{pmatrix}\) 1p opgave 7 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\) 4p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen 00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 88ms ○ [Gelijkstellen geeft] \(\begin{cases}1 + 4 t = 0 + u \\ 1 + 2 t = -3 - 3 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}4 t - u = -1 \\ 2 t + 3 u = -4\end{cases}\) 1p ○ \(\begin{cases}4 t - u = -1 \\ 2 t + 3 u = -4\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 t - u = -1 \\ 4 t + 6 u = -8\end{cases}\) 1p ○ Aftrekken geeft \(-7 u = 7\) en dus \(u = -1\) 1p ○ \(u = -1\) geeft \(x = 0 - 1 = -1\) en \(y = -3 - 3 ⋅ -1 = 0 \text{,}\) dus \(S (-1 , 0) \text{.}\) 1p

vwo wiskunde B

10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A (7 , 4)\) en \(B (1 , 5) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn

00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}1 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-6 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\)

Onderzoek of het punt \(A (27 , 32)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling

00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(x = 27\) geeft
\(7 + 4 t = 27\)
\(4 t = 20\)
\(t = 5 \text{.}\)

○

\(t = 5\) geeft \(y = 1 + 5 ⋅ 6 = 31 \text{.}\)

○

\(31 ≠ 32 \text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l \text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,3 x - 2 y = -7 \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking

00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

Substitutie geeft
\(3 (-1 + 4 t) - 2 (3 + 5 t) = -7 \text{.}\)

○

\(-3 + 12 t - 6 - 10 t = -7\)
\(2 t - 9 = -7\)
\(2 t = 2\)
\(t = 1 \text{.}\)

○

Invullen van \(t = 1\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x = -1 + 1 ⋅ 4 = 3\)
en
\(y = 3 + 1 ⋅ 5 = 8\)
dus \(S (3 , 8) \text{.}\)

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A (6 , 7)\) en \(B (4 , 5) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk

00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ -2\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-2 \\ -2\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} ∧ -2 ≤ t ≤ -1 \text{.}\)

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk

00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 4ms

○

\(t = -2\) geeft \(x = 0 - 2 ⋅ 5 = -10\) en \(y = 2 - 2 ⋅ 1 = 0 \text{,}\) dus \((-10 , 0) \text{.}\)

○

\(t = -1\) geeft \(x = 0 - 1 ⋅ 5 = -5\) en \(y = 2 - 1 ⋅ 1 = 1 \text{,}\) dus \((-5 , 1) \text{.}\)

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A (3 , -4) \text{,}\) \(B (6 , -7)\) en \(C (-5 , 1) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid

00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}-5 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ -7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-11 \\ 8\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-11 \\ 8\end{pmatrix}\)

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ -3\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen

00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 88ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}1 + 4 t = 0 + u \\ 1 + 2 t = -3 - 3 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}4 t - u = -1 \\ 2 t + 3 u = -4\end{cases}\)

○

\(\begin{cases}4 t - u = -1 \\ 2 t + 3 u = -4\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 t - u = -1 \\ 4 t + 6 u = -8\end{cases}\)

○

Aftrekken geeft \(-7 u = 7\) en dus \(u = -1\)

○

\(u = -1\) geeft \(x = 0 - 1 = -1\) en \(y = -3 - 3 ⋅ -1 = 0 \text{,}\) dus \(S (-1 , 0) \text{.}\)