Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B 10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A(3, 0)\) en \(B(2, 7)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn
00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 7\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-1 \\ 7\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}\text{.}\)

3p

Onderzoek of het punt \(A(13, 20)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling
00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(x=13\) geeft
\(7+2t=13\)
\(2t=6\)
\(t=3\text{.}\)

1p

○

\(t=3\) geeft \(y=4+3⋅5=19\text{.}\)

1p

○

\(19≠20\text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-5 \\ 2\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,2x-2y=52\text{.}\)

3p

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking
00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

Substitutie geeft
\(2(2-5t)-2(-3+2t)=52\text{.}\)

1p

○

\(4-10t+6-4t=52\)
\(-14t+10=52\)
\(-14t=42\)
\(t=-3\text{.}\)

1p

○

Invullen van \(t=-3\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x=2-3⋅-5=17\)
en
\(y=-3-3⋅2=-9\)
dus \(S(17, -9)\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A(7, 6)\) en \(B(5, 0)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk
00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7 \\ 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ -6\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 \\ 6\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-2 \\ -6\end{pmatrix}∧0≤t≤1\text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\ 6\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-2 \\ -6\end{pmatrix}∧-5≤t≤2\text{.}\)

2p

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk
00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 9ms

○

\(t=-5\) geeft \(x=5-5⋅-2=15\) en \(y=6-5⋅-6=36\text{,}\) dus \((15, 36)\text{.}\)

1p

○

\(t=2\) geeft \(x=5+2⋅-2=1\) en \(y=6+2⋅-6=-6\text{,}\) dus \((1, -6)\text{.}\)

1p

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A(0, 6)\text{,}\) \(B(-7, 1)\) en \(C(3, 5)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A\text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid
00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-7 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10 \\ 4\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}0 \\ 6\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 6\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}10 \\ 4\end{pmatrix}\)

1p

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix}\text{.}\)

4p

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen
00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 123ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}2+2t=3+4u \\ 1-t=-1+u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}2t-4u=1 \\ -t-u=-2\end{cases}\)

1p

○

\(\begin{cases}2t-4u=1 \\ -t-u=-2\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2t-4u=1 \\ -2t-2u=-4\end{cases}\)

1p

○

Optellen geeft \(-6u=-3\) en dus \(u=\frac{1}{2}\)

1p

○

\(u=\frac{1}{2}\) geeft \(x=3+4⋅\frac{1}{2}=5\) en \(y=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\text{,}\) dus \(S(5, -\frac{1}{2})\text{.}\)

1p
"