Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B 10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A(7, 6)\) en \(B(4, 1)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn
00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}7 \\ 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \\ -5\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 \\ 6\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-3 \\ -5\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}\text{.}\)

3p

Onderzoek of het punt \(A(19, 9)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling
00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(x=19\) geeft
\(7+3t=19\)
\(3t=12\)
\(t=4\text{.}\)

1p

○

\(t=4\) geeft \(y=1+4⋅2=9\text{.}\)

1p

○

Dus \(A\) ligt op \(l\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \\ 4\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-3 \\ 5\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,2x-4y=-74\text{.}\)

3p

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking
00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

Substitutie geeft
\(2(-3-3t)-4(4+5t)=-74\text{.}\)

1p

○

\(-6-6t-16-20t=-74\)
\(-26t-22=-74\)
\(-26t=-52\)
\(t=2\text{.}\)

1p

○

Invullen van \(t=2\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x=-3+2⋅-3=-9\)
en
\(y=4+2⋅5=14\)
dus \(S(-9, 14)\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A(2, 0)\) en \(B(5, 1)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk
00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}∧0≤t≤1\text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-1 \\ -6\end{pmatrix}∧-5≤t≤1\text{.}\)

2p

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk
00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 6ms

○

\(t=-5\) geeft \(x=3-5⋅-1=8\) en \(y=7-5⋅-6=37\text{,}\) dus \((8, 37)\text{.}\)

1p

○

\(t=1\) geeft \(x=3+1⋅-1=2\) en \(y=7+1⋅-6=1\text{,}\) dus \((2, 1)\text{.}\)

1p

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A(3, 4)\text{,}\) \(B(0, -5)\) en \(C(-1, 7)\text{.}\)

2p

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A\text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid
00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}-1 \\ 7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ -5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 12\end{pmatrix}\text{.}\)

1p

○

\(\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-1 \\ 12\end{pmatrix}\)

1p

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -5\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \\ -3\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\text{.}\)

4p

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen
00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 85ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}1+3t=-3+2u \\ -5+t=-3-u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}3t-2u=-4 \\ t+u=2\end{cases}\)

1p

○

\(\begin{cases}3t-2u=-4 \\ t+u=2\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3t-2u=-4 \\ 3t+3u=6\end{cases}\)

1p

○

Aftrekken geeft \(-5u=-10\) en dus \(u=2\)

1p

○

\(u=2\) geeft \(x=-3+2⋅2=1\) en \(y=-3-2=-5\text{,}\) dus \(S(1, -5)\text{.}\)

1p
"