Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B	10.3 Vectoren en lijnen
Vectorvoorstelling van een lijn (7)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(6, 3)\) en \(B(7, 0)\text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B\text{.}\) VectorvoorstellingBijLijn 00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de lijn \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 2\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}7 \\ 5\end{pmatrix}\text{.}\) 3p Onderzoek of het punt \(A(34, 21)\) op \(l\) ligt. PuntOpVectorvoorstelling 00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms ○ \(x=34\) geeft \(6+7t=34\) \(7t=28\) \(t=4\text{.}\) 1p ○ \(t=4\) geeft \(y=2+4⋅5=22\text{.}\) 1p ○ \(22≠21\text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 \\ -1\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-5 \\ 2\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,2x+y=-1\text{.}\) 3p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\) SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking 00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms ○ Substitutie geeft \(2(-4-5t)+(-1+2t)=-1\text{.}\) 1p ○ \(-8-10t-1+2t=-1\) \(-8t-9=-1\) \(-8t=8\) \(t=-1\text{.}\) 1p ○ Invullen van \(t=-1\) in de vectorvoorstelling geeft \(x=-4-1⋅-5=1\) en \(y=-1-1⋅2=-3\) dus \(S(1, -3)\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven zijn de punten \(A(3, 6)\) en \(B(7, 1)\text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) VectorvoorstellingBijLijnstuk 00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 \\ 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ -5\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 6\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}4 \\ -5\end{pmatrix}∧0≤t≤1\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 6\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}∧-5≤t≤1\text{.}\) 2p Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk. EindpuntenVanLijnstuk 00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 7ms ○ \(t=-5\) geeft \(x=1-5⋅1=-4\) en \(y=6-5⋅1=1\text{,}\) dus \((-4, 1)\text{.}\) 1p ○ \(t=1\) geeft \(x=1+1⋅1=2\) en \(y=6+1⋅1=7\text{,}\) dus \((2, 7)\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven zijn de punten \(A(-7, 0)\text{,}\) \(B(4, 1)\) en \(C(3, 6)\text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A\text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\) VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid 00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}3 \\ 6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 5\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}-7 \\ 0\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7 \\ 0\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-1 \\ 5\end{pmatrix}\) 1p opgave 7 Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 \\ 3\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \\ -1\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}4 \\ -3\end{pmatrix}\text{.}\) 4p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\) SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen 00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 108ms ○ [Gelijkstellen geeft] \(\begin{cases}-4+3t=-3+4u \\ 3+t=-1-3u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}3t-4u=1 \\ t+3u=-4\end{cases}\) 1p ○ \(\begin{cases}3t-4u=1 \\ t+3u=-4\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3t-4u=1 \\ 3t+9u=-12\end{cases}\) 1p ○ Aftrekken geeft \(-13u=13\) en dus \(u=-1\) 1p ○ \(u=-1\) geeft \(x=-3+4⋅-1=-7\) en \(y=-1-3⋅-1=2\text{,}\) dus \(S(-7, 2)\text{.}\) 1p

vwo wiskunde B

10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A(6, 3)\) en \(B(7, 0)\text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn

00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix}\text{.}\)

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix}\text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 2\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}7 \\ 5\end{pmatrix}\text{.}\)

Onderzoek of het punt \(A(34, 21)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling

00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(x=34\) geeft
\(6+7t=34\)
\(7t=28\)
\(t=4\text{.}\)

○

\(t=4\) geeft \(y=2+4⋅5=22\text{.}\)

○

\(22≠21\text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l\text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 \\ -1\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-5 \\ 2\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,2x+y=-1\text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking

00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

Substitutie geeft
\(2(-4-5t)+(-1+2t)=-1\text{.}\)

○

\(-8-10t-1+2t=-1\)
\(-8t-9=-1\)
\(-8t=8\)
\(t=-1\text{.}\)

○

Invullen van \(t=-1\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x=-4-1⋅-5=1\)
en
\(y=-1-1⋅2=-3\)
dus \(S(1, -3)\text{.}\)

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A(3, 6)\) en \(B(7, 1)\text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk

00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 \\ 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ -5\end{pmatrix}\text{.}\)

○

\(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 6\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}4 \\ -5\end{pmatrix}∧0≤t≤1\text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 6\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}∧-5≤t≤1\text{.}\)

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk

00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 7ms

○

\(t=-5\) geeft \(x=1-5⋅1=-4\) en \(y=6-5⋅1=1\text{,}\) dus \((-4, 1)\text{.}\)

○

\(t=1\) geeft \(x=1+1⋅1=2\) en \(y=6+1⋅1=7\text{,}\) dus \((2, 7)\text{.}\)

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A(-7, 0)\text{,}\) \(B(4, 1)\) en \(C(3, 6)\text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A\text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid

00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}3 \\ 6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 5\end{pmatrix}\text{.}\)

○

\(\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}-7 \\ 0\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7 \\ 0\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}-1 \\ 5\end{pmatrix}\)

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 \\ 3\end{pmatrix}+t⋅\begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix}\) en \(l\text{: }\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \\ -1\end{pmatrix}+u⋅\begin{pmatrix}4 \\ -3\end{pmatrix}\text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l\text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen

00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 108ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}-4+3t=-3+4u \\ 3+t=-1-3u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}3t-4u=1 \\ t+3u=-4\end{cases}\)

○

\(\begin{cases}3t-4u=1 \\ t+3u=-4\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3t-4u=1 \\ 3t+9u=-12\end{cases}\)

○

Aftrekken geeft \(-13u=13\) en dus \(u=-1\)

○

\(u=-1\) geeft \(x=-3+4⋅-1=-7\) en \(y=-1-3⋅-1=2\text{,}\) dus \(S(-7, 2)\text{.}\)