Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Vectorvoorstelling van een lijn'.

vwo wiskunde B	10.3 Vectoren en lijnen
Vectorvoorstelling van een lijn (7)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (7 , 1)\) en \(B (4 , 3) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijn 00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-3 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\) 3p Onderzoek of het punt \(A (13 , 32)\) op \(l\) ligt. PuntOpVectorvoorstelling 00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms ○ \(x = 13\) geeft \(6 + t = 13\) \(t = 7\) \(t = 7 \text{.}\) 1p ○ \(t = 7\) geeft \(y = 3 + 7 ⋅ 4 = 31 \text{.}\) 1p ○ \(31 ≠ 32 \text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-4 \\ -1\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,x + 2 y = -24 \text{.}\) 3p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking 00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ Substitutie geeft \((4 - 4 t) + 2 (-5 - t) = -24 \text{.}\) 1p ○ \(4 - 4 t - 10 - 2 t = -24\) \(-6 t - 6 = -24\) \(-6 t = -18\) \(t = 3 \text{.}\) 1p ○ Invullen van \(t = 3\) in de vectorvoorstelling geeft \(x = 4 + 3 ⋅ -4 = -8\) en \(y = -5 + 3 ⋅ -1 = -8\) dus \(S (-8 , -8) \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven zijn de punten \(A (0 , 5)\) en \(B (3 , 7) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) VectorvoorstellingBijLijnstuk 00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-5 \\ -1\end{pmatrix} ∧ -4 ≤ t ≤ -3 \text{.}\) 2p Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk. EindpuntenVanLijnstuk 00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 5ms ○ \(t = -4\) geeft \(x = 7 - 4 ⋅ -5 = 27\) en \(y = 4 - 4 ⋅ -1 = 8 \text{,}\) dus \((27 , 8) \text{.}\) 1p ○ \(t = -3\) geeft \(x = 7 - 3 ⋅ -5 = 22\) en \(y = 4 - 3 ⋅ -1 = 7 \text{,}\) dus \((22 , 7) \text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven zijn de punten \(A (5 , 0) \text{,}\) \(B (7 , 2)\) en \(C (6 , -3) \text{.}\) 2p Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid 00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -5\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ -5\end{pmatrix}\) 1p opgave 7 Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 3\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\) 4p Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\) SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen 00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 80ms ○ [Gelijkstellen geeft] \(\begin{cases}-2 + 3 t = -3 + u \\ 0 + 4 t = 3 - 3 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}3 t - u = -1 \\ 4 t + 3 u = 3\end{cases}\) 1p ○ \(\begin{cases}3 t - u = -1 \\ 4 t + 3 u = 3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}12 t - 4 u = -4 \\ 12 t + 9 u = 9\end{cases}\) 1p ○ Aftrekken geeft \(-13 u = -13\) en dus \(u = 1\) 1p ○ \(u = 1\) geeft \(x = -3 + 1 = -2\) en \(y = 3 - 3 ⋅ 1 = 0 \text{,}\) dus \(S (-2 , 0) \text{.}\) 1p

vwo wiskunde B

10.3 Vectoren en lijnen

Vectorvoorstelling van een lijn (7)

opgave 1

Gegeven zijn de punten \(A (7 , 1)\) en \(B (4 , 3) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door de punten \(A\) en \(B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijn

00pj - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-3 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de lijn \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)

Onderzoek of het punt \(A (13 , 32)\) op \(l\) ligt.

PuntOpVectorvoorstelling

00pk - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 1ms

○

\(x = 13\) geeft
\(6 + t = 13\)
\(t = 7\)
\(t = 7 \text{.}\)

○

\(t = 7\) geeft \(y = 3 + 7 ⋅ 4 = 31 \text{.}\)

○

\(31 ≠ 32 \text{,}\) dus \(A\) ligt niet op \(l \text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de lijnen \(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-4 \\ -1\end{pmatrix}\) en \(l{:}\,x + 2 y = -24 \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanVectorvoorstellingEnVergelijking

00pl - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

Substitutie geeft
\((4 - 4 t) + 2 (-5 - t) = -24 \text{.}\)

○

\(4 - 4 t - 10 - 2 t = -24\)
\(-6 t - 6 = -24\)
\(-6 t = -18\)
\(t = 3 \text{.}\)

○

Invullen van \(t = 3\) in de vectorvoorstelling geeft
\(x = 4 + 3 ⋅ -4 = -8\)
en
\(y = -5 + 3 ⋅ -1 = -8\)
dus \(S (-8 , -8) \text{.}\)

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A (0 , 5)\) en \(B (3 , 7) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van het lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)

VectorvoorstellingBijLijnstuk

00pz - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 5\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} ∧ 0 ≤ t ≤ 1 \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het lijnstuk \(\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 4\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-5 \\ -1\end{pmatrix} ∧ -4 ≤ t ≤ -3 \text{.}\)

Bepaal de eindpunten van het gegeven lijnstuk.

EindpuntenVanLijnstuk

00q0 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 5ms

○

\(t = -4\) geeft \(x = 7 - 4 ⋅ -5 = 27\) en \(y = 4 - 4 ⋅ -1 = 8 \text{,}\) dus \((27 , 8) \text{.}\)

○

\(t = -3\) geeft \(x = 7 - 3 ⋅ -5 = 22\) en \(y = 4 - 3 ⋅ -1 = 7 \text{,}\) dus \((22 , 7) \text{.}\)

opgave 6

Gegeven zijn de punten \(A (5 , 0) \text{,}\) \(B (7 , 2)\) en \(C (6 , -3) \text{.}\)

Stel een vectorvoorstelling op van de lijn \(l\) door \(A \text{,}\) evenwijdig met \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\)

VectorvoorstellingBijEvenwijdigheid

00q8 - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{r} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}6 \\ -3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -5\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{s} = \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}-1 \\ -5\end{pmatrix}\)

opgave 7

Gegeven zijn de lijnen
\(k \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 0\end{pmatrix} + t ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}\) en \(l \text{: } \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 3\end{pmatrix} + u ⋅ \begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix} \text{.}\)

Bereken de coördinaten van het snijpunt \(S\) van \(k\) en \(l \text{.}\)

SnijpuntVanTweeVectorvoorstellingen

00qm - Vectorvoorstelling van een lijn - basis - eind - 80ms

○

[Gelijkstellen geeft]
\(\begin{cases}-2 + 3 t = -3 + u \\ 0 + 4 t = 3 - 3 u\end{cases}\) oftewel \(\begin{cases}3 t - u = -1 \\ 4 t + 3 u = 3\end{cases}\)

○

\(\begin{cases}3 t - u = -1 \\ 4 t + 3 u = 3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}12 t - 4 u = -4 \\ 12 t + 9 u = 9\end{cases}\)

○

Aftrekken geeft \(-13 u = -13\) en dus \(u = 1\)

○

\(u = 1\) geeft \(x = -3 + 1 = -2\) en \(y = 3 - 3 ⋅ 1 = 0 \text{,}\) dus \(S (-2 , 0) \text{.}\)