Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(3{,}5\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}}={3{,}5 \over 100}+1=1{,}035\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}035^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}035^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=20{,}148...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(20{,}1\) jaren.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per uur met \(3{,}9\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{uur}}={-3{,}9 \over 100}+1=0{,}961\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}961^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}961^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=17{,}424...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(17{,}4\) uur.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(20{,}8\) weken.

3p

Bereken de procentuele toename per week.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per week is de oplossing van de vergelijking \(g^{20{,}8}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{20{,}8}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}033...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}033...-1)×100\%=3{,}4\%\) per week.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(17{,}5\) weken.

3p

Bereken de procentuele afname per week.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per week is de oplossing van de vergelijking \(g^{17{,}5}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{17{,}5}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}961...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}961...-1)×100\%=-3{,}9\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}9\%\) per week.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(2{,}6\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(85\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}}={2{,}6 \over 100}+1=1{,}026\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(85\%\) komt overeen met een factor \({85 \over 100}+1=1{,}85\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}026^t=1{,}85\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}026^x\)
\(y_2=1{,}85\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=23{,}967...\)

1p

○

Dus duurt het \(24{,}0\) minuten voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(85\%\text{.}\)

1p
"