Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per seconde met \(3{,}8\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{seconde}}={3{,}8 \over 100}+1=1{,}038\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}038^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}038^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=18{,}585...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(18{,}6\) seconden.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per dag met \(5{,}9\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}}={-5{,}9 \over 100}+1=0{,}941\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}941^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}941^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=11{,}398...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(11{,}4\) dagen.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(14{,}2\) uur.

3p

Bereken de procentuele toename per uur.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per uur is de oplossing van de vergelijking \(g^{14{,}2}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{14{,}2}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}050...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}050...-1)×100\%=5{,}0\%\) per uur.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(19{,}8\) uur.

3p

Bereken de procentuele afname per uur.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per uur is de oplossing van de vergelijking \(g^{19{,}8}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{19{,}8}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}965...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}965...-1)×100\%=-3{,}4\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}4\%\) per uur.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(1{,}5\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(84\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}}={1{,}5 \over 100}+1=1{,}015\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(84\%\) komt overeen met een factor \({84 \over 100}+1=1{,}84\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}015^t=1{,}84\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}015^x\)
\(y_2=1{,}84\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=40{,}955...\)

1p

○

Dus duurt het \(41{,}0\) jaren voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(84\%\text{.}\)

1p
"