Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per dag met \(5{,}7\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}} = 1 + {5{,}7 \over 100} = 1{,}057 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}057^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}057^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 12{,}503...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(12{,}5\) dagen.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per dag met \(3{,}1\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}} = 1 - {3{,}1 \over 100} = 0{,}969 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}969^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}969^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 22{,}011...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(22{,}0\) dagen.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(10{,}1\) minuten.

3p

Bereken de procentuele toename per minuut.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per minuut is de oplossing van de vergelijking \(g^{10{,}1} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{10{,}1}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}071...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}071... - 1) × 100\% = 7{,}1\%\) per minuut.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(23{,}1\) seconden.

3p

Bereken de procentuele afname per seconde.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per seconde is de oplossing van de vergelijking \(g^{23{,}1} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{23{,}1}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}970...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}970... - 1) × 100\% = -3{,}0\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}0\%\) per seconde.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per seconde met \(2{,}3\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(69\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{seconde}} = 1 + {2{,}3 \over 100} = 1{,}023 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(69\%\) komt overeen met een factor \(1 + {69 \over 100} = 1{,}69 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}023^{t} = 1{,}69 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}023^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}69\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 23{,}075...\)

1p

○

Dus duurt het \(23{,}1\) seconden voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(69\% \text{.}\)

1p
"