Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(5{,}4\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}} = {5{,}4 \over 100} + 1 = 1{,}054 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}054^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}054^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 13{,}179...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(13{,}2\) minuten.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per week met \(2{,}9\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{week}} = {-2{,}9 \over 100} + 1 = 0{,}971 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}971^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}971^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 23{,}553...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(23{,}6\) weken.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(12{,}7\) kwartier.

3p

Bereken de procentuele toename per kwartier.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per kwartier is de oplossing van de vergelijking \(g^{12{,}7} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{12{,}7}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}056...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}056... - 1) × 100\% = 5{,}6\%\) per kwartier.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(11{,}1\) uur.

3p

Bereken de procentuele afname per uur.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per uur is de oplossing van de vergelijking \(g^{11{,}1} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{11{,}1}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}939...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}939... - 1) × 100\% = -6{,}1\%\) dus een procentuele afname van \(6{,}1\%\) per uur.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per kwartier met \(3{,}5\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(89\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{kwartier}} = {3{,}5 \over 100} + 1 = 1{,}035 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(89\%\) komt overeen met een factor \({89 \over 100} + 1 = 1{,}89 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}035^{t} = 1{,}89 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}035^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}89\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 18{,}504...\)

1p

○

Dus duurt het \(18{,}5\) kwartier voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(89\% \text{.}\)

1p
"