Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per week met \(5{,}7\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis

○

De groeifactor is \(g_{\text{week}}={5{,}7 \over 100}+1=1{,}057\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}057^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}057^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=12{,}503...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(12{,}5\) weken.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(2{,}1\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}}={-2{,}1 \over 100}+1=0{,}979\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}979^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}979^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=32{,}659...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(32{,}7\) jaren.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(13{,}8\) jaren.

3p

Bereken de procentuele toename per jaar.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{13{,}8}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{13{,}8}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}051...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}051...-1)×100\%=5{,}2\%\) per jaar.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(22{,}3\) jaren.

3p

Bereken de procentuele afname per jaar.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{22{,}3}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{22{,}3}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}969...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}969...-1)×100\%=-3{,}1\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}1\%\) per jaar.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(1{,}9\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(72\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}}={1{,}9 \over 100}+1=1{,}019\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(72\%\) komt overeen met een factor \({72 \over 100}+1=1{,}72\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}019^t=1{,}72\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}019^x\)
\(y_2=1{,}72\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=28{,}813...\)

1p

○

Dus duurt het \(28{,}8\) jaren voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(72\%\text{.}\)

1p
"