Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per seconde met \(1{,}5\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{seconde}} = {1{,}5 \over 100} + 1 = 1{,}015 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}015^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}015^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 46{,}555...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(46{,}6\) seconden.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per kwartier met \(4{,}1\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{kwartier}} = {-4{,}1 \over 100} + 1 = 0{,}959 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}959^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}959^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 16{,}557...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(16{,}6\) kwartier.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(19{,}6\) jaren.

3p

Bereken de procentuele toename per jaar.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{19{,}6} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{19{,}6}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}035...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}035... - 1) × 100\% = 3{,}6\%\) per jaar.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(20{,}2\) jaren.

3p

Bereken de procentuele afname per jaar.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{20{,}2} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{20{,}2}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}966...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}966... - 1) × 100\% = -3{,}4\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}4\%\) per jaar.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(1{,}6\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(73\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}} = {1{,}6 \over 100} + 1 = 1{,}016 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(73\%\) komt overeen met een factor \({73 \over 100} + 1 = 1{,}73 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}016^{t} = 1{,}73 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}016^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}73\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 34{,}530...\)

1p

○

Dus duurt het \(34{,}5\) minuten voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(73\% \text{.}\)

1p
"