Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per week met \(2{,}7\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{week}} = {2{,}7 \over 100} + 1 = 1{,}027 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}027^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}027^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 26{,}017...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(26{,}0\) weken.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per uur met \(2{,}4\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{uur}} = {-2{,}4 \over 100} + 1 = 0{,}976 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}976^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}976^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 28{,}533...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(28{,}5\) uur.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(19{,}5\) dagen.

3p

Bereken de procentuele toename per dag.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per dag is de oplossing van de vergelijking \(g^{19{,}5} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{19{,}5}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}036...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}036... - 1) × 100\% = 3{,}6\%\) per dag.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(17{,}8\) jaren.

3p

Bereken de procentuele afname per jaar.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{17{,}8} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{17{,}8}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}961...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}961... - 1) × 100\% = -3{,}8\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}8\%\) per jaar.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per uur met \(1{,}9\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(75\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{uur}} = {1{,}9 \over 100} + 1 = 1{,}019 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(75\%\) komt overeen met een factor \({75 \over 100} + 1 = 1{,}75 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}019^{t} = 1{,}75 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}019^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}75\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 29{,}732...\)

1p

○

Dus duurt het \(29{,}7\) uur voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(75\% \text{.}\)

1p
"