Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B
'Wandelingen over platte figuren'.
| vwo wiskunde B | 10.2 Vectoren en rotaties |
opgave 1Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (4 , 2)\) en \(B (5 , 7) \text{.}\) Zie het figuur. 3p Bereken de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) Vierkant (1) 00ph - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 42ms ○ \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -5\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-5 \\ 1\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}5 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-5 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 8\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(C\) zijn dus \((0 , 8) \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (2 , 6)\) en \(C (3 , 0) \text{.}\) Zie het figuur. 4p Bereken de coördinaten van het punt \(B \text{.}\) Vierkant (2) 00po - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}2 \\ 6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3 \\ 0\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}2\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}2 \\ 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-3 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}2\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(B\) zijn dus \((-\frac{1}{2} , 2\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (3 , 2)\) en \(B (7 , 1) \text{.}\) Zijde \(B\kern{-.8pt}C\) is een diagonaal van vierkant \(B\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}F \text{.}\) Zie het figuur. 6p Bereken de coördinaten van het punt \(E \text{.}\) Wandeling (1) 00pw - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 1\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(B\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}8 \\ 5\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}7\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}7\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ -2\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}2 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{e} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}7\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(E\) zijn dus \((9\frac{1}{2} , 2\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p opgave 4Gegeven zijn de punten \(A (0 , 1)\) en \(B (2 , 7) \text{.}\) Op lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\) liggen de punten \(C\) en \(D\) met \(A\kern{-.8pt}C = C\kern{-.8pt}D = D\kern{-.8pt}B \text{.}\) Lijnstuk \(B\kern{-.8pt}D\) is een zijde van vierkant \(B\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}F \text{.}\) Diagonaal \(D\kern{-.8pt}F\) is een zijde van vierkant \(D\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}G\kern{-.8pt}H \text{.}\) Zie het figuur. 7p Bereken de coördinaten van het punt \(H \text{.}\) Wandeling (2) 00px - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 6\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} + \frac{2}{3} \begin{pmatrix}2 \\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{3} \\ 5\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{3} \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{2}{3} \\ -2\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BD}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-2 \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BD}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2 \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 7\frac{2}{3}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{f} - \overrightarrow{d} = \begin{pmatrix}0 \\ 7\frac{2}{3}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\frac{1}{3} \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\frac{1}{3} \\ 2\frac{2}{3}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{DF}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}2\frac{2}{3} \\ 1\frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{h} = \overrightarrow{d} + \overrightarrow{DF}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{3} \\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\frac{2}{3} \\ 1\frac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 6\frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(H\) zijn dus \((4 , 6\frac{1}{3}) \text{.}\) 1p opgave 5Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (4 , 7)\) en \(C (5 , 3) \text{.}\) Zijde \(A\kern{-.8pt}B\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}F \text{.}\) Op diagonaal \(B\kern{-.8pt}F\) liggen de punten \(G\) en \(H\) met \(B\kern{-.8pt}G = G\kern{-.8pt}H = H\kern{-.8pt}F \text{.}\) Zie het figuur. 8p Bereken de coördinaten van het punt \(H \text{.}\) Wandeling (3) 00py - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5 \\ 3\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ 2\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-2 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\frac{1}{2} \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}2\frac{1}{2} \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\frac{1}{2} \\ -2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ 1\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ 1\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ 8\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{f} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ 8\frac{1}{2}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\frac{1}{2} \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{h} = \overrightarrow{b} + \frac{2}{3} \overrightarrow{BF} = \begin{pmatrix}2\frac{1}{2} \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \frac{2}{3} \begin{pmatrix}-1 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\frac{5}{6} \\ 7\frac{1}{6}\end{pmatrix}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(H\) zijn dus \((1\frac{5}{6} , 7\frac{1}{6}) \text{.}\) 1p |