Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B
'Wandelingen over platte figuren'.
| vwo wiskunde B | 10.2 Vectoren en rotaties |
opgave 1Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A(0, 1)\) en \(B(4, 2)\text{.}\) Zie het figuur. 3p Bereken de coördinaten van het punt \(C\text{.}\) Vierkant (1) 00ph - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 56ms ○ \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 \\ -1\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}4 \\ 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 \\ -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(C\) zijn dus \((5, -2)\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A(4, 1)\) en \(C(5, 7)\text{.}\) Zie het figuur. 4p Bereken de coördinaten van het punt \(B\text{.}\) Vierkant (2) 00po - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C\text{,}\) dus \(\overrightarrow{m}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})=\frac{1}{2}(\begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5 \\ 7\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 4\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{m}=\begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ -3\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}3 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{m}+\overrightarrow{MA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\frac{1}{2} \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(B\) zijn dus \((7\frac{1}{2}, 3\frac{1}{2})\text{.}\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \(A(2, 0)\) en \(B(5, 6)\text{.}\) Op lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\) liggen de punten \(C\) en \(D\) met \(A\kern{-.8pt}C=C\kern{-.8pt}D=D\kern{-.8pt}B\text{.}\) Lijnstuk \(A\kern{-.8pt}C\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}F\text{.}\) Het punt \(G\) is het midden van diagonaal \(C\kern{-.8pt}F\text{.}\) Zie het figuur. 6p Bereken de coördinaten van het punt \(G\text{.}\) Wandeling (1) 00pw - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 50ms ○ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}5 \\ 6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 6\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3 \\ 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{AC}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{f}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{AC}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ -1\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{g}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{f})=\frac{1}{2}(\begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4 \\ -1\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((3\frac{1}{2}, \frac{1}{2})\text{.}\) 1p opgave 4Gegeven zijn de punten \(A(2, 3)\) en \(B(6, 5)\text{.}\) Het punt \(C\) is het midden van lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Lijnstuk \(B\kern{-.8pt}C\) is een zijde van vierkant \(B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E\text{.}\) Zijde \(C\kern{-.8pt}D\) is een diagonaal van vierkant \(C\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}G\text{.}\) Zie het figuur. 7p Bereken de coördinaten van het punt \(F\text{.}\) Wandeling (2) 00px - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\frac{1}{2}(\begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}4 \\ 4\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=\begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{CB}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{CB}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}4 \\ 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\ 2\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(C\kern{-.8pt}D\text{,}\) dus \(\overrightarrow{m}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d})=\frac{1}{2}(\begin{pmatrix}4 \\ 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5 \\ 2\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{m}=\begin{pmatrix}4 \\ 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ 1\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{MC}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}-1 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{f}=\overrightarrow{m}+\overrightarrow{MC}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}4\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(F\) zijn dus \((3\frac{1}{2}, 2\frac{1}{2})\text{.}\) 1p opgave 5Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A(5, 1)\) en \(C(7, 6)\text{.}\) Zijde \(A\kern{-.8pt}B\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}F\text{.}\) Op zijde \(B\kern{-.8pt}E\) liggen de punten \(G\) en \(H\) met \(B\kern{-.8pt}G=G\kern{-.8pt}H=H\kern{-.8pt}E\text{.}\) Zie het figuur. 8p Bereken de coördinaten van het punt \(H\text{.}\) Wandeling (3) 00py - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C\text{,}\) dus \(\overrightarrow{m}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})=\frac{1}{2}(\begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}7 \\ 6\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}6 \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{m}=\begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6 \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ -2\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}2\frac{1}{2} \\ -1\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{m}+\overrightarrow{MA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}6 \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\frac{1}{2} \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\frac{1}{2} \\ -1\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ -3\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}8\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ -3\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10 \\ -1\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{e}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}10 \\ -1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ -3\frac{1}{2}\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{h}=\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}=\begin{pmatrix}8\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix}+\frac{2}{3}\begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ -3\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9\frac{1}{2} \\ \frac{1}{6}\end{pmatrix}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(H\) zijn dus \((9\frac{1}{2}, \frac{1}{6})\text{.}\) 1p |