Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Wandelingen over platte figuren'.

vwo wiskunde B	10.2 Vectoren en rotaties
Wandelingen over platte figuren (5)	opgave 1 Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (2 , 7)\) en \(B (6 , 5) \text{.}\) Zie het figuur. 3p Bereken de coördinaten van het punt \(D \text{.}\) Vierkant (1) 00ph - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 50ms ○ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 11\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((4 , 11) \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (0 , 3)\) en \(C (6 , 5) \text{.}\) Zie het figuur. 4p Bereken de coördinaten van het punt \(D \text{.}\) Vierkant (2) 00po - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -1\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-1 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((2 , 7) \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A (0 , 2)\) en \(B (6 , 7) \text{.}\) Het punt \(C\) is het midden van lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) Lijnstuk \(B\kern{-.8pt}C\) is een zijde van vierkant \(B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E \text{.}\) Op zijde \(B\kern{-.8pt}E\) liggen de punten \(F\) en \(G\) met \(B\kern{-.8pt}F = F\kern{-.8pt}G = G\kern{-.8pt}E \text{.}\) Zie het figuur. 6p Bereken de coördinaten van het punt \(F \text{.}\) Wandeling (1) 00pw - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{c} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}3 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BC}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BC}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 10\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{e} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 10\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BE} = \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix} + \frac{1}{3} \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\frac{1}{6} \\ 8\end{pmatrix}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(F\) zijn dus \((5\frac{1}{6} , 8) \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven zijn de punten \(A (2 , 7)\) en \(B (6 , 4) \text{.}\) Het punt \(C\) is het midden van lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) Lijnstuk \(A\kern{-.8pt}C\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E \text{.}\) Zijde \(A\kern{-.8pt}E\) is een diagonaal van vierkant \(A\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}G \text{.}\) Zie het figuur. 7p Bereken de coördinaten van het punt \(G \text{.}\) Wandeling (2) 00px - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{c} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ 4\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}4 \\ 5\frac{1}{2}\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 5\frac{1}{2}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ -1\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AC}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-1\frac{1}{2} \\ -2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{e} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AC}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\frac{1}{2} \\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}E \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{e}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 5\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1\frac{1}{4} \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\frac{1}{4} \\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3}{4} \\ 1\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}1 \\ -\frac{3}{4}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{g} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{4} \\ 6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ -\frac{3}{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\frac{1}{4} \\ 5\frac{1}{4}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((2\frac{1}{4} , 5\frac{1}{4}) \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (2 , 1)\) en \(B (4 , 7) \text{.}\) Op diagonaal \(B\kern{-.8pt}D\) liggen de punten \(E\) en \(F\) met \(B\kern{-.8pt}E = E\kern{-.8pt}F = F\kern{-.8pt}D \text{.}\) Lijnstuk \(B\kern{-.8pt}E\) is een diagonaal van vierkant \(B\kern{-.8pt}G\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}H \text{.}\) Zie het figuur. 8p Bereken de coördinaten van het punt \(H \text{.}\) Wandeling (3) 00py - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 6\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-6 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-6 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}-4 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 \\ -4\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} + \frac{1}{3} \begin{pmatrix}-8 \\ -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{3} \\ 5\frac{2}{3}\end{pmatrix}\) 1p ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(B\kern{-.8pt}E \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{e}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\frac{1}{3} \\ 5\frac{2}{3}\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}2\frac{2}{3} \\ 6\frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\frac{2}{3} \\ 6\frac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}\frac{2}{3} \\ -1\frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{h} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}2\frac{2}{3} \\ 6\frac{1}{3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{2}{3} \\ -1\frac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\frac{1}{3} \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(H\) zijn dus \((3\frac{1}{3} , 5) \text{.}\) 1p

10.2 Vectoren en rotaties

Wandelingen over platte figuren (5)

opgave 1

Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (2 , 7)\) en \(B (6 , 5) \text{.}\) Zie het figuur.

Bereken de coördinaten van het punt \(D \text{.}\)

Vierkant (1)

00ph - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 50ms

○

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 11\end{pmatrix} \text{.}\)

○

De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((4 , 11) \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (0 , 3)\) en \(C (6 , 5) \text{.}\) Zie het figuur.

Bereken de coördinaten van het punt \(D \text{.}\)

Vierkant (2)

00po - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms

○

Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -1\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-1 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} \text{.}\)

○

De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((2 , 7) \text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(A (0 , 2)\) en \(B (6 , 7) \text{.}\) Het punt \(C\) is het midden van lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) Lijnstuk \(B\kern{-.8pt}C\) is een zijde van vierkant \(B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E \text{.}\) Op zijde \(B\kern{-.8pt}E\) liggen de punten \(F\) en \(G\) met \(B\kern{-.8pt}F = F\kern{-.8pt}G = G\kern{-.8pt}E \text{.}\) Zie het figuur.

Bereken de coördinaten van het punt \(F \text{.}\)

Wandeling (1)

00pw - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{c} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}3 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)

○

\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ -2\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BC}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BC}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 10\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{e} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 10\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix}\)

○

\(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BE} = \begin{pmatrix}6 \\ 7\end{pmatrix} + \frac{1}{3} \begin{pmatrix}-2\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\frac{1}{6} \\ 8\end{pmatrix}\)

○

De coördinaten van punt \(F\) zijn dus \((5\frac{1}{6} , 8) \text{.}\)

opgave 4

Gegeven zijn de punten \(A (2 , 7)\) en \(B (6 , 4) \text{.}\) Het punt \(C\) is het midden van lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) Lijnstuk \(A\kern{-.8pt}C\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E \text{.}\) Zijde \(A\kern{-.8pt}E\) is een diagonaal van vierkant \(A\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}G \text{.}\) Zie het figuur.

Bereken de coördinaten van het punt \(G \text{.}\)

Wandeling (2)

00px - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{c} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ 4\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}4 \\ 5\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)

○

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 5\frac{1}{2}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ -1\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AC}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-1\frac{1}{2} \\ -2\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{e} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AC}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\frac{1}{2} \\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\)

○

Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}E \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{e}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 5\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}1\frac{1}{4} \\ 6\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}2 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\frac{1}{4} \\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{3}{4} \\ 1\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}1 \\ -\frac{3}{4}\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{g} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{4} \\ 6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ -\frac{3}{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\frac{1}{4} \\ 5\frac{1}{4}\end{pmatrix} \text{.}\)

○

De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((2\frac{1}{4} , 5\frac{1}{4}) \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (2 , 1)\) en \(B (4 , 7) \text{.}\) Op diagonaal \(B\kern{-.8pt}D\) liggen de punten \(E\) en \(F\) met \(B\kern{-.8pt}E = E\kern{-.8pt}F = F\kern{-.8pt}D \text{.}\) Lijnstuk \(B\kern{-.8pt}E\) is een diagonaal van vierkant \(B\kern{-.8pt}G\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}H \text{.}\) Zie het figuur.

Bereken de coördinaten van het punt \(H \text{.}\)

Wandeling (3)

00py - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms

○

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 6\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-6 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AB}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-6 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}-4 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8 \\ -4\end{pmatrix}\)

○

\(\overrightarrow{e} = \overrightarrow{b} + \frac{1}{3} \overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} + \frac{1}{3} \begin{pmatrix}-8 \\ -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{3} \\ 5\frac{2}{3}\end{pmatrix}\)

○

Noem \(M\) het midden van diagonaal \(B\kern{-.8pt}E \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{e}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\frac{1}{3} \\ 5\frac{2}{3}\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}2\frac{2}{3} \\ 6\frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\frac{2}{3} \\ 6\frac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}\frac{2}{3} \\ -1\frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{.}\)

○

\(\overrightarrow{h} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}2\frac{2}{3} \\ 6\frac{1}{3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{2}{3} \\ -1\frac{1}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\frac{1}{3} \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\)

○

De coördinaten van punt \(H\) zijn dus \((3\frac{1}{3} , 5) \text{.}\)