Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B
'Wandelingen over platte figuren'.
| vwo wiskunde B | 10.2 Vectoren en rotaties |
opgave 1Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A(0, 4)\) en \(B(7, 1)\text{.}\) Zie het figuur. 3p Bereken de coördinaten van het punt \(D\text{.}\) Vierkant (1) 00ph - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 73ms ○ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}7 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7 \\ -3\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{AB}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{AB}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}0 \\ 4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 11\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((3, 11)\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A(3, 7)\) en \(C(5, 0)\text{.}\) Zie het figuur. 4p Bereken de coördinaten van het punt \(B\text{.}\) Vierkant (2) 00po - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C\text{,}\) dus \(\overrightarrow{m}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})=\frac{1}{2}(\begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}4 \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{m}=\begin{pmatrix}3 \\ 7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4 \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}-3\frac{1}{2} \\ -1\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{m}+\overrightarrow{MA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}4 \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-3\frac{1}{2} \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 2\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(B\) zijn dus \((\frac{1}{2}, 2\frac{1}{2})\text{.}\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \(A(0, 3)\) en \(B(4, 6)\text{.}\) Het punt \(C\) is het midden van lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Lijnstuk \(A\kern{-.8pt}C\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E\text{.}\) Op diagonaal \(A\kern{-.8pt}D\) liggen de punten \(F\) en \(G\) met \(A\kern{-.8pt}F=F\kern{-.8pt}G=G\kern{-.8pt}D\text{.}\) Zie het figuur. 6p Bereken de coördinaten van het punt \(F\text{.}\) Wandeling (1) 00pw - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 1ms ○ \(\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\frac{1}{2}(\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4 \\ 6\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}2 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ -1\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{CA}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}-1\frac{1}{2} \\ 2\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{CA}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}2 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\frac{1}{2} \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 6\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 6\frac{1}{2}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{f}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}\frac{1}{2} \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{6} \\ 4\frac{1}{6}\end{pmatrix}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(F\) zijn dus \((\frac{1}{6}, 4\frac{1}{6})\text{.}\) 1p opgave 4Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A(1, 0)\) en \(B(2, 4)\text{.}\) Op diagonaal \(B\kern{-.8pt}D\) liggen de punten \(E\) en \(F\) met \(B\kern{-.8pt}E=E\kern{-.8pt}F=F\kern{-.8pt}D\text{.}\) Lijnstuk \(B\kern{-.8pt}E\) is een zijde van vierkant \(B\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}G\kern{-.8pt}H\text{.}\) Zie het figuur. 7p Bereken de coördinaten van het punt \(G\text{.}\) Wandeling (2) 00px - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{AB}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}-4 \\ 1\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{AB}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-4 \\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 \\ 1\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}-3 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5 \\ -3\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}=\begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}-5 \\ -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} \\ 3\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{e}=\begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{1}{3} \\ 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\frac{2}{3} \\ 1\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{EB}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}1 \\ -1\frac{2}{3}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{g}=\overrightarrow{e}+\overrightarrow{EB}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3} \\ 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 \\ -1\frac{2}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\frac{1}{3} \\ 1\frac{1}{3}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((1\frac{1}{3}, 1\frac{1}{3})\text{.}\) 1p opgave 5Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A(1, 0)\) en \(B(3, 4)\text{.}\) Zijde \(A\kern{-.8pt}D\) is een diagonaal van vierkant \(A\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}F\text{.}\) Op zijde \(A\kern{-.8pt}E\) liggen de punten \(G\) en \(H\) met \(A\kern{-.8pt}G=G\kern{-.8pt}H=H\kern{-.8pt}E\text{.}\) Zie het figuur. 8p Bereken de coördinaten van het punt \(G\text{.}\) Wandeling (3) 00py - Wandelingen over platte figuren - basis - eind - 0ms ○ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{AB}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{AB}_{\text{R}}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}D\text{,}\) dus \(\overrightarrow{m}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{d})=\frac{1}{2}(\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}5 \\ -2\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{m}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ 1\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}-1 \\ -2\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{m}+\overrightarrow{MA}_{\text{L}}=\begin{pmatrix}3 \\ -1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1 \\ -2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{e}-\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}2 \\ -3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{g}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}=\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}+\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1 \\ -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\frac{1}{3} \\ -1\end{pmatrix}\) 1p ○ De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((1\frac{1}{3}, -1)\text{.}\) 1p |