Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde C

'Rijtjes en roosters'.

vwo wiskunde A	4.3 Rijtjes en roosters
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Bij een wedstrijd zijn in totaal \(6\) doelpunten gemaakt, waarvan team A \(5\) keer scoorde. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal} = \binom{6}{5} = 6\) 1p 1p b Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(5\) korte en \(5\) lange signalen? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal} = \binom{5 + 5}{5} = 252\) 1p 1p c Een slinger bestaat uit \(7\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers zijn er mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal} = 2^{7} = 128\) 1p 2p d Op een aanrecht staat een stapel van \(9\) borden in de kleuren roze en groen. Hoeveel verschillende stapels zijn er mogelijk met hoogstens \(2\) groene borden? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0 \text{,}\) \(1\) of \(2 \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{9}{0} + \binom{9}{1} + \binom{9}{2} = 46\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B \text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(3\) stappen naar rechts en \(5\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal} = \binom{8}{3} = 56\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P \text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{5}{2}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{11}{5} \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{5}{2} ⋅ \binom{11}{5} = 4\,620\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P \text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{8}{6} ⋅ \binom{9}{5} \text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{17}{11} \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{17}{11} - \binom{8}{6} ⋅ \binom{9}{5} = 8\,848\) 1p

4.3 Rijtjes en roosters

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Bij een wedstrijd zijn in totaal \(6\) doelpunten gemaakt, waarvan team A \(5\) keer scoorde. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal} = \binom{6}{5} = 6\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(5\) korte en \(5\) lange signalen?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal} = \binom{5 + 5}{5} = 252\)

Een slinger bestaat uit \(7\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers zijn er mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal} = 2^{7} = 128\)

Op een aanrecht staat een stapel van \(9\) borden in de kleuren roze en groen. Hoeveel verschillende stapels zijn er mogelijk met hoogstens \(2\) groene borden?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0 \text{,}\) \(1\) of \(2 \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{9}{0} + \binom{9}{1} + \binom{9}{2} = 46\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B \text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(3\) stappen naar rechts en \(5\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal} = \binom{8}{3} = 56\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P \text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{5}{2}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{11}{5} \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{5}{2} ⋅ \binom{11}{5} = 4\,620\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P \text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{8}{6} ⋅ \binom{9}{5} \text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{17}{11} \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{17}{11} - \binom{8}{6} ⋅ \binom{9}{5} = 8\,848\)