Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Betrouwbaarheidsintervallen'.

havo wiskunde A 7.1 Populatieproportie

Betrouwbaarheidsintervallen (3)

opgave 1

In een steekproef blijken \(62\) van de \(174\) deelnemers verkouden.

5p

Bereken het \(95\%\text{-}\)betrouwbaarheidsinterval van de populatieproportie.

BetrouwbaarheidsintervalBijProportie (1)
008h - Betrouwbaarheidsintervallen - basis - 0ms

De steekproefproportie is \(\hat{p}={62 \over 174}=0{,}356...\)

1p

\(\sigma =\sqrt{{\hat{p}(1-\hat{p}) \over n}}=\sqrt{{0{,}356...⋅0{,}643... \over 174}}=0{,}036...\)

1p

\(\hat{p}-2\sigma =0{,}356...-2⋅0{,}036...≈0{,}284\text{.}\)

1p

\(\hat{p}+2\sigma =0{,}356...+2⋅0{,}036...≈0{,}429\text{.}\)

1p

Het \(95\%\text{-}\)betrouwbaarheidsinterval is \([0{,}284; 0{,}429]\text{.}\)

1p

opgave 2

In een steekproef geeft \(23\%\) van de \(157\) deelnemers aan dat ze een huisdier hebben.

5p

Bereken het \(95\%\text{-}\)betrouwbaarheidsinterval van het percentage van de gehele populatie.

BetrouwbaarheidsintervalBijProportie (2)
008j - Betrouwbaarheidsintervallen - basis - 0ms

De steekproefproportie is \(\hat{p}=23\%=0{,}23\text{.}\)

1p

\(\sigma =\sqrt{{\hat{p}(1-\hat{p}) \over n}}=\sqrt{{0{,}23⋅0{,}77 \over 157}}=0{,}0335...\)

1p

\(\hat{p}-2\sigma =0{,}23-2⋅0{,}0335...≈0{,}163\text{.}\)

1p

\(\hat{p}+2\sigma =0{,}23+2⋅0{,}0335...≈0{,}297\text{.}\)

1p

Het \(95\%\text{-}\)betrouwbaarheidsinterval is \([16{,}3\%; 29{,}7\%]\text{.}\)

1p

opgave 3

In een steekproef onder \(211\) deelnemers blijkt het gemiddelde gelijk te zijn aan \(\bar{X}=3{,}31\text{.}\) De bijbehorende standaardafwijking is \(S=0{,}62\text{.}\)

3p

Bereken het \(95\%\text{-}\)betrouwbaarheidsinterval van het populatiegemiddelde in 2 decimalen nauwkeurig.

BetrouwbaarheidsintervalVanGemiddelde
008k - Betrouwbaarheidsintervallen - basis - 1ms

\(\bar{X}-2⋅{S \over \sqrt{n}}=3{,}31-2⋅{0{,}62 \over \sqrt{211}}≈3{,}22\text{.}\)

1p

\(\bar{X}+2⋅{S \over \sqrt{n}}=3{,}31+2⋅{0{,}62 \over \sqrt{211}}≈3{,}40\text{.}\)

1p

Het \(95\%\text{-}\)betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is \([3{,}22; 3{,}40]\text{.}\)

1p

havo wiskunde A 7.3 Steekproefomvang

Betrouwbaarheidsintervallen (2)

opgave 1

De populatieproportie ligt met \(95\%\) zekerheid in \([0{,}352; 0{,}488]\text{.}\)

4p

Bereken de steekproefomvang.

SteekproefomvangBijProportie
008i - Betrouwbaarheidsintervallen - basis - 0ms

\(\hat{p}={0{,}352+0{,}488 \over 2}=0{,}42\) en \(\text{breedte}=0{,}488-0{,}352=0{,}136\text{.}\)

1p

Los op \(4⋅\sqrt{{0{,}42⋅0{,}58 \over n}}=0{,}136\text{.}\)

1p

Voer in
\(y_1=4⋅\sqrt{{0{,}42⋅0{,}58 \over x}}\)
\(y_2=0{,}136\)
Optie 'intersect' geeft \(x=210{,}726...\)

1p

De steekproefomvang is dus \(211\text{.}\)

1p

opgave 2

Het populatiegemiddelde ligt met \(95\%\) zekerheid in \([22{,}4; 24{,}8]\text{.}\)

4p

Bereken de steekproefomvang als gegeven is dat \(S=9{,}4\text{.}\)

SteekproefomvangBijGemiddelde
008m - Betrouwbaarheidsintervallen - basis - 1ms

\(S=9{,}4\) en \(\text{breedte}=24{,}8-22{,}4=2{,}4\text{.}\)

1p

Los op \(4⋅{9{,}4 \over \sqrt{n}}=2{,}4\text{.}\)

1p

Voer in
\(y_1=4⋅{9{,}4 \over \sqrt{x}}\)
\(y_2=2{,}4\)
Optie 'intersect' geeft \(x=245{,}444...\)

1p

De steekproefomvang is dus \(245\text{.}\)

1p

"