Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(3{,}7\%\) per week. Op \(x = 0\) is \(y = 364 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in weken. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 5ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{week}} = 1 - {3{,}7 \over 100} = 0{,}963 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 364 \text{.}\) 1p ○ \(y = 364 ⋅ 0{,}963^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.2 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 479\) en bij \(x = 8\) is \(y = 588 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({588 \over 479})^{{1 \over 8 - 3}} = 1{,}041...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}041...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 479\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}041...^{3} = 479 \\ b = {479 \over 1{,}041...^{3}} ≈ 424\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 424 ⋅ 1{,}042^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 4\) is \(y = 307\) en bij \(x = 9\) is \(y = 240 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({240 \over 307})^{{1 \over 9 - 4}} = 0{,}951...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}951...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 307\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}951...^{4} = 307 \\ b = {307 \over 0{,}951...^{4}} ≈ 374\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 374 ⋅ 0{,}952^{x} \text{.}\) 1p opgave 24p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1 , 30\,000)\) en \((7 , 10)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({10 \over 30\,000})^{{1 \over 7 - 1}} = 0{,}263...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}263...^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 30\,000{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}263...^{1} = 30\,000{,}00 \\ b = {30\,000{,}00 \over 0{,}263...^{1}} \\ b = 113930{,}883...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 113\,931 ⋅ 0{,}263^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Exponentiële en lineaire groei | |||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({15{,}80 \over 13{,}06} ≈ 1{,}21\) 1p ○ \({19{,}12 \over 15{,}80} ≈ 1{,}21\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}21\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 13{,}06 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 13{,}06 ⋅ 1{,}21^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,023 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(12{,}28 - 13{,}35 = -1{,}07\) 1p ○ \(11{,}21 - 12{,}28 = -1{,}07\) 1p ○ Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = -1{,}07\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 13{,}35 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = -1{,}07 x + 13{,}35\) 1p opgave 33p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ Punt \(\text{A} (1 , 100\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (5 , 600) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (8 , 4\,000) \text{.}\) 1p opgave 43p Teken de punten \(A (1 , 2\,000\,000) \text{,}\) \(B (5 , 900\,000)\) en \(C (7 , 4\,000) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p opgave 5Gegeven zijn de punten \((2 , 11)\) en \((4 , 8) \text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 38ms - data pool: #87 (38ms) - dynamic variables a \(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {8 - 11 \over 4 - 2} = -1{,}5\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -1{,}5 x + b \\ \text{door } (2 , 11)\end{rcases} \begin{matrix}-1{,}5 ⋅ 2 + b = 11 \\ -3 + b = 11 \\ b = 14\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y = -1{,}5 x + 14\) 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({8 \over 11})^{{1 \over 4 - 2}} = 0{,}852...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}852...^{x} \\ \text{door } (2 , 11)\end{rcases} \begin{matrix}11 = b ⋅ 0{,}852...^{2} \\ b = {11 \over 0{,}852...^{2}} \\ b = 15{,}125\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 15{,}125 ⋅ 0{,}853^{x} \text{.}\) 1p |