Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

havo wiskunde A 9.4 Herleiden en redeneren

Redeneren met grenswaarden (4)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = {250 \over 6 + 19 ⋅ e^{x}}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(19 ⋅ e^{x}\) heel groot
en dus wordt \(6 + 19 ⋅ e^{x}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({250 \over 6 + 19 ⋅ e^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {882 \over 21 + 8 ⋅ 0{,}55^{x}}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}55^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}55 < 1 \text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(8 ⋅ 0{,}55^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(21 + 8 ⋅ 0{,}55^{x}\) naar \(21 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({882 \over 21 + 8 ⋅ 0{,}55^{x}}\) naar \({882 \over 21} = 42\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(42 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 16 (1 - 0{,}87^{x})\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}87^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}87 < 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(1 - 0{,}87^{x}\) naar \(1 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(16 (1 - 0{,}87^{x})\) naar \(16 ⋅ 1 = 16\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(16 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 78 + {83 \over 1{,}5^{x}}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}5^{x}\) heel groot (want \(1{,}5 > 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({83 \over 1{,}5^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(78 + {83 \over 1{,}5^{x}}\) naar \(78\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(78 \text{.}\)

1p
"