Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

havo wiskunde A 9.4 Herleiden en redeneren

Redeneren met grenswaarden (4)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = {400 \over 18 + 10 ⋅ 1{,}72^{x}}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}72^{x}\) heel groot (want \(1{,}72 > 1 \text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(10 ⋅ 1{,}72^{x}\) heel groot
en dus wordt \(18 + 10 ⋅ 1{,}72^{x}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({400 \over 18 + 10 ⋅ 1{,}72^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {420 \over 14 - 19 ⋅ 0{,}76^{x}}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}76^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}76 < 1 \text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(-19 ⋅ 0{,}76^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(14 - 19 ⋅ 0{,}76^{x}\) naar \(14 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({420 \over 14 - 19 ⋅ 0{,}76^{x}}\) naar \({420 \over 14} = 30\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(30 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 4 (3 + 0{,}29^{x})\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}29^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}29 < 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(3 + 0{,}29^{x}\) naar \(3 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(4 (3 + 0{,}29^{x})\) naar \(4 ⋅ 3 = 12\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(12 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 41 - {10 \over 1{,}68^{x}}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}68^{x}\) heel groot (want \(1{,}68 > 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({10 \over 1{,}68^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(41 - {10 \over 1{,}68^{x}}\) naar \(41\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(41 \text{.}\)

1p
"