Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

havo wiskunde A	4.3 Combinatoriek toepassen
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(4\) borden waarvan \(2\) roze? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal}=\binom{4}{2}=6\) 1p 1p b Een slinger bestaat uit rode en blauwe vlaggetjes. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(4\) rode en \(3\) blauwe vlaggetjes? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{4+3}{4}=35\) 1p 1p c Sara maakt een letterrijtje van \(5\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^5=32\) 1p 2p d Beertje Pol eet \(8\) pannenkoeken die met appel of spek zijn belegd. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten als er hoogstens \(3\) met appel zijn? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 1ms d Hoogstens \(3\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\text{,}\) \(2\) of \(3\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}+\binom{8}{3}=93\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(5\) stappen naar rechts en \(7\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{12}{5}=792\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{10}{3}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{11}{5}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{10}{3}⋅\binom{11}{5}=55\,440\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{9}{7}⋅\binom{10}{4}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{19}{11}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{19}{11}-\binom{9}{7}⋅\binom{10}{4}=68\,022\) 1p

4.3 Combinatoriek toepassen

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(4\) borden waarvan \(2\) roze?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal}=\binom{4}{2}=6\)

Een slinger bestaat uit rode en blauwe vlaggetjes. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(4\) rode en \(3\) blauwe vlaggetjes?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{4+3}{4}=35\)

Sara maakt een letterrijtje van \(5\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^5=32\)

Beertje Pol eet \(8\) pannenkoeken die met appel of spek zijn belegd. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten als er hoogstens \(3\) met appel zijn?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 1ms

Hoogstens \(3\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\text{,}\) \(2\) of \(3\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{8}{0}+\binom{8}{1}+\binom{8}{2}+\binom{8}{3}=93\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(5\) stappen naar rechts en \(7\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{12}{5}=792\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{10}{3}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{11}{5}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{10}{3}⋅\binom{11}{5}=55\,440\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{9}{7}⋅\binom{10}{4}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{19}{11}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{19}{11}-\binom{9}{7}⋅\binom{10}{4}=68\,022\)