Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

havo wiskunde A	4.3 Combinatoriek toepassen
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Sara maakt een letterrijtje van \(7\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er mogelijk met \(3\) A's? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 2ms a \(\text{aantal}=\binom{7}{3}=35\) 1p 1p b Bij een wedstrijd tussen teams A en B was de eindstand \(4\) - \(3\text{.}\) Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{4+3}{4}=35\) 1p 1p c Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van \(6\) signalen zijn er mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^6=64\) 1p 2p d Een slinger bestaat uit \(5\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken met hoogstens \(2\) rode vlaggetjes? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=16\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(7\) stappen naar rechts en \(4\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{11}{7}=330\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 1ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{9}{4}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{13}{6}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{9}{4}⋅\binom{13}{6}=216\,216\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 1ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{13}{7}⋅\binom{9}{4}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{22}{11}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{22}{11}-\binom{13}{7}⋅\binom{9}{4}=489\,216\) 1p

4.3 Combinatoriek toepassen

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Sara maakt een letterrijtje van \(7\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er mogelijk met \(3\) A's?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 2ms

\(\text{aantal}=\binom{7}{3}=35\)

Bij een wedstrijd tussen teams A en B was de eindstand \(4\) - \(3\text{.}\) Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{4+3}{4}=35\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van \(6\) signalen zijn er mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^6=64\)

Een slinger bestaat uit \(5\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken met hoogstens \(2\) rode vlaggetjes?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=16\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(7\) stappen naar rechts en \(4\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{11}{7}=330\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 1ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{9}{4}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{13}{6}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{9}{4}⋅\binom{13}{6}=216\,216\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 1ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{13}{7}⋅\binom{9}{4}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{22}{11}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{22}{11}-\binom{13}{7}⋅\binom{9}{4}=489\,216\)