Getal & Ruimte (13e editie) - havo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

havo wiskunde A	4.3 Combinatoriek toepassen
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Beertje Pol eet \(6\) pannenkoeken, waarvan \(4\) met appel en de rest met spek. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal}=\binom{6}{4}=15\) 1p 1p b Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(2\) korte en \(3\) lange signalen? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{2+3}{2}=10\) 1p 1p c Een slinger bestaat uit \(7\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers zijn er mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^7=128\) 1p 2p d Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(6\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er als team B minstens \(4\) keer scoorde? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 1ms d Minstens \(4\) wil zeggen \(4\text{,}\) \(5\) of \(6\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{6}{4}+\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=22\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(7\) stappen naar rechts en \(6\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{13}{7}=1\,716\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{12}{7}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{8}{2}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{12}{7}⋅\binom{8}{2}=22\,176\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{13}{7}⋅\binom{6}{2}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{19}{9}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{19}{9}-\binom{13}{7}⋅\binom{6}{2}=66\,638\) 1p

4.3 Combinatoriek toepassen

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Beertje Pol eet \(6\) pannenkoeken, waarvan \(4\) met appel en de rest met spek. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal}=\binom{6}{4}=15\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(2\) korte en \(3\) lange signalen?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{2+3}{2}=10\)

Een slinger bestaat uit \(7\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers zijn er mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^7=128\)

Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(6\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er als team B minstens \(4\) keer scoorde?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 1ms

Minstens \(4\) wil zeggen \(4\text{,}\) \(5\) of \(6\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{6}{4}+\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=22\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(7\) stappen naar rechts en \(6\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{13}{7}=1\,716\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{12}{7}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{8}{2}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{12}{7}⋅\binom{8}{2}=22\,176\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{13}{7}⋅\binom{6}{2}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{19}{9}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{19}{9}-\binom{13}{7}⋅\binom{6}{2}=66\,638\)